2012届高考数学一轮复习教案：5.4-解斜三角形

第 1 页 共 9 页 5 4 解斜三角形 知识梳理 1 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 A a sinB b sin C c sin 利用正弦定理 可以解决以下两类有关三角形的问题 1 已知两角和任一边 求其他两边和一角 2 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 从而进一步求出其他的边和角 2 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍 即 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 在余弦定理中 令 C 90 这时 cosC 0 所以 c2 a2 b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广 由 可得 cosA bc acb 2 222 cosB ca bac 2 222 cosC ab cba 2 222 利用余弦定理 可以解决以下两类有关三角形的问题 1 已知三边 求三个角 2 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角 特别提示 两定理的形式 内容 证法及变形应用必须引起足够的重视 通过向量的数量积把三 角形和三角函数联系起来 用向量方法证明两定理 突出了向量的工具性 是向量知识应 用的实例 另外 解三角形问题可能出现一解 两解或无解的情况 这时应结合 三角形中 大边对大角定理及几何作图来帮助理解 点击双基 1 2002 年上海 在 ABC 中 若 2cosBsinA sinC 则 ABC 的形状一定是 A 等腰直角三角形B 直角三角形 C 等腰三角形D 等边三角形 解析 由 2cosBsinA sinC 得 a c a b ac bca 222 答案 C 2 下列条件中 ABC 是锐角三角形的是 A sinA cosA B 0 5 1 ABBC 第 2 页 共 9 页 C tanA tanB tanC 0D b 3 c 3 B 30 3 解析 由 sinA cosA 得 2sinAcosA 0 A 为钝角 5 1 25 24 由 0 得 0 cos 0 B 为钝角 ABBCBABCBABC 由 tanA tanB tanC 0 得 tan A B 1 tanAtanB tanC 0 tanAtanBtanC 0 A B C 都为锐角 由 得 sinC C 或 B b sinC c sin2 3 3 3 2 答案 C 3 2004 年全国 理 11 ABC 中 a b c 分别为 A B C 的对边 如果 a b c 成等差数列 B 30 ABC 的面积为 那么 b 等于 2 3 A B 1 2 31 3 C D 2 2 32 3 解析 a b c 成等差数列 2b a c 平方得 a2 c2 4b2 2ac 又 ABC 的面积为 2 3 且 B 30 故由 S ABC acsinB acsin30 ac 得 ac 6 a2 c2 4b2 12 由余 2 1 2 1 4 1 2 3 弦定理 得 cosB 解得 b2 4 2 又 b 为边长 ac bca 2 222 62 124 22 bb 4 4 2 b 2 3 3 b 1 3 答案 B 4 已知 a b c b c a 3bc 则 A 解析 由已知得 b c 2 a2 3bc b2 c2 a2 bc A bc acb 2 222 2 1 3 答案 3 5 在锐角 ABC 中 边长 a 1 b 2 则边长 c 的取值范围是 解析 若 c 是最大边 则 cosC 0 0 c 又 c b a 1 ab cba 2 222 5 1 c 5 答案 1 5 典例剖析 例 1 ABC 的三个内角 A B C 的对边分别是 a b c 如果 a2 b b c 求证 A 2B 剖析 研究三角形问题一般有两种思路 一是边化角 二是角化边 第 3 页 共 9 页 证明 用正弦定理 a 2RsinA b 2RsinB c 2RsinC 代入 a2 b b c 中 得 sin2A sinB sinB sinC sin2A sin2B sinBsinC sinBsin A B 2 2cos1A 2 2cos1B cos2B cos2A sinBsin A B sin A B sin A B sinBsin A B 2 1 因为 A B C 为三角形的三内角 所以 sin A B 0 所以 sin A B sinB 所以 只能有 A B B 即 A 2B 评述 利用正弦定理 将命题中边的关系转化为角间关系 从而全部利用三角公式变 换求解 思考讨论 1 该题若用余弦定理如何解决 解 利用余弦定理 由 a2 b b c 得 cosA bc acb 2 222 bc cbbcb 2 22 cos2B 2cos2B 1 2 2 1 1 b bc 2 ac bca 2 222 2 22 2ccbb ccb b bc 2 所以 cosA cos2B 因为 A B 是 ABC 的内角 所以 A 2B 2 该题根据命题特征 能否构造一个符合条件的三角形 利用几何知识解决 解 由题设 a2 b b c 得 cb a a b 作出 ABC 延长 CA 到 D 使 AD AB c 连结 BD 式表示的即是 所以 DC BC BC AC BCD ABC 所以 1 D A BC D a b c 2 1 又 AB AD 可知 2 D 所以 1 2 因为 BAC 2 D 2 2 2 1 所以 A 2B 评述 近几年的高考题中 涉及到三角形的题目 重点考查正弦 余弦定理 考查的 侧重点还在于三角转换 这是命题者的初衷 例 2 2004 年全国 17 已知锐角 ABC 中 sin A B sin A B 5 3 5 1 1 求证 tanA 2tanB 2 设 AB 3 求 AB 边上的高 剖析 有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式 结合图形 以 1 为铺垫 解 决 2 第 4 页 共 9 页 1 证明 sin A B sin A B 5 3 5 1 2 5 1 sincoscossin 5 3 sincoscossin BABA BABA B A BA BA tan tan 5 1 sincos 5 2 cossin tanA 2tanB 2 解 A B sin A B tan A B 2 5 3 4 3 即 将 tanA 2tanB 代入上式整理得 2tan2B 4tanB 1 0 解得 BA BA tantan1 tantan 4 3 tanB 负值舍去 得 tanB tanA 2tanB 2 2 62 2 62 6 设 AB 边上的高为 CD 则 AB AD DB 由 AB 3 得 A CD tanB CD tan 62 3 CD CD 2 所以 AB 边上的高为 2 66 评述 本题主要考查三角函数概念 两角和与差的公式以及应用 分析和计算能力 例 3 2004 年春季北京 在 ABC 中 a b c 分别是 A B C 的对边长 已知 a b c 成等比数列 且 a2 c2 ac bc 求 A 的大小及的值 c Bbsin 剖析 因给出的是 a b c 之间的等量关系 要求 A 需找 A 与三边的关系 故可 用余弦定理 由 b2 ac 可变形为 a 再用正弦定理可求的值 c b2 c Bbsin 解法一 a b c 成等比数列 b2 ac 又 a2 c2 ac bc b2 c2 a2 bc 在 ABC 中 由余弦定理得 cosA A 60 bc acb 2 222 bc bc 22 1 在 ABC 中 由正弦定理得 sinB a Absin b2 ac A 60 sin60 ac b c Bb 60sinsin 2 2 3 解法二 在 ABC 中 由面积公式得bcsinA acsinB 2 1 2 1 b2 ac A 60 bcsinA b2sinB sinA c Bbsin 2 3 评述 解三角形时 找三边一角之间的关系常用余弦定理 找两边两角之间的关系常 用正弦定理 闯关训练 夯实基础夯实基础 1 2004 年浙江 8 在 ABC 中 A 30 是 sinA 的 2 1 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 第 5 页 共 9 页 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 解析 在 ABC 中 A 30 0 sinA 1sinA sinA 30 2 1 2 1 A 150 A 30 答案 B 2 如图 ABC 是简易遮阳棚 A B 是南北方向上两个定点 正东方向射出的太阳光 线与地面成 40 角 为了使遮阴影面 ABD 面积最大 遮阳棚 ABC 与地面所成的角为 A C D B 阳光 地面 A 75 B 60 C 50 D 45 解析 作 CE 平面 ABD 于 E 则 CDE 是太阳光线与地面所成的角 即 CDE 40 延长 DE 交直线 AB 于 F 连结 CF 则 CFD 是遮阳棚与地面所成的角 设为 要使 S ABD最大 只需 DF 最大 在 CFD 中 40sin CF 140sin DF DF 40sin 140sin CF CF 为定值 当 50 时 DF 最大 答案 C 3 在 ABC 中 角A B C 所对的边分别是a b c 若三角形的面积S a2 b2 c2 4 1 则 C 的度数是 解析 由 S a2 b2 c2 得absinC 2abcosC tanC 1 C 4 1 2 1 4 1 4 答案 45 4 在 ABC 中 若 C 60 则 ca b cb a 解析 ca b cb a cacb bcbaca 22 2 22 cbcacab bcacba C 60 a2 b2 c2 2abcosC ab a2 b2 ab c2 代入 式得 1 2 22 cbcacab bcacba 答案 1 5 在 ABC 中 由已知条件解三角形 其中有两解的是 A b 20 A 45 C 80 B a 30 c 28 B 60 C a 14 b 16 A 45 D a 12 c 15 A 120 解析 由 a 14 b 16 A 45 及正弦定理 得 所以 sinB 因而 16 sin B 14 sin A 7 24 B 有两值 答案 C 培养能力培养能力 第 6 页 共 9 页 6 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 依次成等比数列 求 y 的取值范围 BB B cossin 2sin1 解 b2 ac cosB ac bca 2 222 ac acca 2 22 2 1 c a a c 2 1 2 1 0 B 3 y sinB cosB sin B B BB B cossin 2sin1 BB BB cossin cossin 2 2 4 4 4 12 7 sin B 1 故 1 y 2 2 4 2 7 已知 ABC 中 2 sin2A sin2C a b sinB 外接圆半径为 22 1 求 C 2 求 ABC 面积的最大值 解 1 由 2 sin2A sin2C a b sinB 得 2 22 2 2 4R a 2 2 4R c a b R b 2 又 R a2 c2 ab b2 a2 b2 c2 ab cosC 2 ab cba 2 222 2 1 又 0 C 180 C 60 2 S absinC ab 2 1 2 1 2 3 2sinAsinB 2sinAsin 120 A 33 2sinA sin120 cosA cos120 sinA 3 3sinAcosA sin2A3 sin2A sin2Acos2A 2 3 2 3 2 3 sin 2A 30 3 2 3 当 2A 120 即 A 60 时 Smax 2 33 8 在 ABC 中 BC a 顶点 A 在平行于 BC 且与 BC 相距为 a 的直线上滑动 求 的取值范围 AC AB 解 令 AB kx AC x k 0 x 0 则总有 sinB sinC 图略 且由正弦 kx a x a 定理得 sinB sinA 所以 a2 kx2 sinBsinC kx2sinA 由余弦定理 可得 cosA a x 第 7 页 共 9 页 k sinA 所以 k sinA 2cosA 所以 2 2222 2 sin kx Akxxxk 2 1 k 1 k 1 22 21 5 k2 k 1 0 所以 k 5 2 15 2 15 所以的取值范围为 AC AB 2 15 2 15 探究创新探究创新 9 某城市有一条公路 自西向东经过 A 点到市中心 O 点后转向东北方向 OB 现要修 建一条铁路 L L 在 OA 上设一站 A 在 OB 上设一站 B 铁路在 AB 部分为直线段 现要 求市中心 O 与 AB 的距离为 10 km 问把 A B 分别设在公路上离中心 O 多远处才能使 AB 最短 并求其最短距离 不要求作近似计算 A B L O 解 在 AOB 中 设 OA a OB b 因为 AO 为正西方向 OB 为东北方向 所以 AOB 135 则 AB 2 a2 b2 2abcos135 a2 b2 ab 2ab ab 2 ab 当且仅当 a b222 时 成立 又 O 到 AB 的距离为 10 设 OAB 则 OBA 45 所以 a b sin 10 45sin 10 ab sin 10 45sin 10 45sinsin 100 sin 2 2 cos 2 2 sin 100 2cos1 4 2 2sin 4 2 100 2452sin2 400 22 400 当且仅当 22 30 时 成立 所以 AB 2 400 1 2 22 22400 2 当且仅当 a b 22 30 时 成立 所以当 a b 10时 AB 最短 其最短距离为 20 1 即 0322sin 10 222 2 当 AB 分别在OA OB 上离O 点 10 km 处 能使 AB 最短 最短距离为 222 20 1 2 第 8 页 共 9 页 思悟小结 1 在 ABC 中 A B C sin cos cos sin tan cot 2 BA 2 C 2 BA 2 C 2 BA 2 C 2 A B C 成等差数列的充分必要条件是 B 60 3 在非直角三角形中 tanA tanB tanC tanA tanB tanC 4 根据所给条件确定三角形的形状 主要有两种途径 化边为角 化角为边 并常 用正弦 余弦 定理实施边角转化 5 用正 余 弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量 的模求三角形的边长 6 用向量的数量积求三角形内角时 需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补 教师下载中心 教学点睛教学点睛 1 一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用 另一方面要让学生体会解三 角形是重要的测量手段 通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问 题的能力 2 要加大以三角形为背景 以三角恒等变换公式 向量等为工具的小型综合题的训练 拓展题例拓展题例 例 1 已知 A B C 是 ABC 的三个内角 y cotA CBA A coscos si