“费马点”与中考试题.doc

“费马点”与中考试题费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点 费尔马的结论：对于一个各角不超过120的三角形，费马点是对各边的张角都是120的点，对于有一个角超过120的三角形，费马点就是这个内角的顶点下面简单说明如何找点P使它到三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？这就是所谓的费尔马问题 图1解析：如图1，把APC绕A点逆时针旋转60得到APC，连接PP则APP为等边三角形，AP= PP，PC=PC，所以PA+PB+PC= PP+ PB+ PC点C可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60而得的定点，BC为定长 ，所以当B、P、P、C 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小这时BPA=180-APP=180-60=120，APC=A PC=180-APP=180-60=120，BPC=360-BPA-APC=360-120-120=120 因此，当的每一个内角都小于120时，所求的点P对三角形每边的张角都是120，可在AB、BC边上分别作120的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120时，所求的P点就是钝角的顶点费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考例1 （2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长 图2 图3 分析：连接AC，发现点E到A、B、C三点的距离之和就是到三个顶点的距离之和，这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同解 如图2，连接AC，把AEC绕点C顺时针旋转60，得到GFC，连接EF、BG、AG，可知EFC、AGC都是等边三角形，则EF=CE又FG=AE，AE+BE+CE = BE+EF+FG（图4） 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60所得） 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上（图3）设正方形的边长为，那么BO=CO=，GC=, GO= BG=BO+GO =+ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为 +=，解得=2注 本题旋转AEB、BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试例2 （2009年北京中考题） 如图4，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为，延长AC到点D, 使CD=,过点D作DEAB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标； （2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短分析和解：（1）D点的坐标（3，）（过程略）（2） 直线BM的解析式为（过程略） 图4 （3）如何确定点G的位置是本题的难点也是关健所在设Q点为y轴上一点，P在y轴上运动的速度为v，则P沿MQA运动的时间为，使P点到达A点所用的时间最短，就是MQAQ最小，或MQ2AQ最小解法1 BQ=AQ， MQ2AQ最小就是MQAQBQ最小，就是在直线MO上找点G使他到A、B、M三点的距离和最小至此，再次发现这又是一个费尔马问题的变形，注意到题目中等边三角形的信息，考虑作旋转变换 把MQB绕点B顺时针旋转60，得到MQB，连接QQ、MM（图5），可知QQB、MMB都是等边三角形，则QQ=BQ又MQ=MQ，MQAQBQ= MQ+ QQ+AQ点A、M为定点，所以当Q、Q两点在线段A M上时，MQAQBQ最小由条件可证明Q点总在AM上，所以A M与OM的交点就是所要的G点（图6）可证OG=MG 图5 图6 图7解法2 考虑MQAQ最小，过Q作BM的垂线交BM于K，由OB=6，OM=，可得BMO30，所以QKMQ要使MQAQ最小，只需使AQQK最小，根据“垂线段最短”，可推出当点A、Q、K在一条直线上时，AQ+QK最小，并且此时的QK垂直于BM，此时的点Q即为所求的点G（图7）过A点作AHBM于H,则AH与y轴的交点为所求的G点.由OB=6，OM=，可得OBM=60， BAH=30在RtOAG中，OG=AOtanBAH=G点的坐标为（0，）（G点为线段OC的中点）例3 （2009年湖州中考题）若点P 为ABC所在平面上一点，且APB=BPC=CPA=120, 则点P叫做ABC的费马点（1） 若P为锐角ABC的费马点，且ABC=60，PA=3，PC=4, 则PB的值为 ；（2）如图8，在锐角ABC的外侧作等边ACB，连结BB求证：BB 过ABC的费马点P，且BB=PA+PB+PC 图8 解：（1）利用相似三角形可求PB的值为 （2）设点P为锐角ABC的费马点，即APB=BPC=CPA=120如图8，把ACP绕点C顺时针旋转60到BCE，连结PE，则EPC为正三角形 BEC = APC =120，PEC=60 BEC+PEC=180 即 P、E、B 三点在同一直线上 BPC=120, CPE=60 ， BPC +CPE =180，即 B、P、E 三点在同一直线上 B、P、E、B 四点在同一直线上，即BB 过ABC的费马点P 又PE=PC，BE= PA， BB=E B+PB+PE=PA+PB+PC注 通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段