2016年高考数学理试题分类汇编：数列(含答案)

2016 年高考数学理试题分类汇编 数列 一、选择题 1、（ 2016 年上海高考） 已知无穷等比数列 q ，前 n 项和为 得 ） （ A） 1 （ B） 1 （ C） 1 （ D） 1 【答案】 B 2、（ 2016 年全国 I 高考） 已知等差数列 9 项的和为 27， 10=8a ，则 100=a （ A） 100 （ B） 99 （ C） 98 （ D） 97 【答案】 C 3、（ 2016 年全国 考） 定义 “ 规范 01 数列 ” 下： 有 2m 项，其中 m 项为 0， m 项为 1，且对任意 2，12, , , ka a 的个数不少于 1 的个数 .若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有 （ A） 18 个 （ B） 16 个 （ C） 14 个 （ D） 12 个 【答案】 C 4、（ 2016 年浙江高考） 如图，点列 别在某锐角的两边上，且1 1 2 2,n n n n n A A A A n *N， 1 1 2 2,n n n n n B B B B n *N，（ P Q P Q 表 示 点 与 不 重 合） . 若1n n n n n n B S A B B ， 为 的 面 积 ， 则A B 2 C D 2【答案】 A 二、填空题 1、（ 2016 年北京高考） 已知 n 项和，若1 6a ，350，则6= 【答案】 6 2、（ 2016 年上海高考） 无穷数列 k 个不 同的数组成，n 项和 3,2 k 的最大值为 _. 【答案】 4 3、（ 2016 年全国 I 高考） 设等比数列 科 网满足 a1+0， a2+，则 最大值为 . 【答 案】 64 4、（ 2016 年浙江高考） 设数列 前 n 项和为 2=4， =2， n N*，则 ， . 【答案】 1 121 三、解答题 1、（ 2016 年北京高考） 设数列 A：1a，2a, )n ( 2 )的每个正整数 k 都有ka称 n 是数列 A 的一个 “ G 时刻 ” )(数列 A 的所有 “ G 时刻 ” 组成的集合 . （ 1）对数列 A： 2， 1， 3，写出 )(所有元素； （ 2）证明：若数列 A 中存在a，则 )(； （ 3）证明：若数列 A 满足1（ n=2,3, ,N ） ,则 )(元素个数不小于 如果 m 则对任何ii ,1. 从而 )(且1 ii 又因为(的最大元素，所以 2、（ 2016 年山东高考） 已知数列 n 项和 n， 1.n n na b b （ ）求数列 （ ） 令 1( 1) .( 2 )求数列 n 项和 【解析】 ( )因为数列 n 项和 3 2 ， 所以 111a ，当 2n 时， 56)1(8)1(383 221 又 56 n 也成立，所以 56 又因为 公差为 d ，则 21 当 1n 时， 112 1 ；当 2n 时， 172 2 ， 解得 3d ，所以数列 32 ( )由 111 2)33()33()66()2()1( 于是 1432 2)33(2122926 nn ， 两边同乘以，得 2143 2)33(2)3(29262 ， 两式相减，得 21432 2)33(23232326 222 2)33(21 )21(2323 nn n 222 232)33()21(2312 3、（ 2016 年上海高考） 若无穷数列 要 *( , )a p q N，必有11，则称 . （ 1）若 ，且1 2 4 51 , 2 , 3 , 2a a a a ，6 7 8 21a a a ，求3a； （ 2）若无穷数列 穷数列 51，5181，n n na b c判断 ，并说明理由； （ 3）设 知 *1 s i n ( )n n na b a n N 对任意1, ”的充要条件为“ . 【解析】 试题分析：（ 1）根据已知条件，得到6 7 8 3 32a a a a ，结合6 7 8 21a a a 求解 （ 2）根据 0 ， 3，写出通项公式，从而可得 52 0 1 9 3 nn n na b c n 通过计算1582，2 48a ，6 3043a ，26即知 （ 3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明 试题解析：（ 1）因为52所以63743，852 于是6 7 8 3 32a a a a ，又因为6 7 8 21a a a ，解得3 16a （ 2） 0 ， 3， 所以 1 2 0 1 2 0 1 9nb n n ， 1 518 1 33 52 0 1 9 3 nn n na b c n 1582，但2 48a ，6 3043a ，26 所以 （ 3） 证 充分性： 当 1s b a 对任意给定的1a，只要则由11s i n s i a b a ，必有11 充分性得证 必要性： 用反证法证明假设 存在 k ， 使得12 kb b b b ，而1 下面证明存在满足1 s n na b a 的 得1 2 1ka a a ，但21 设 s i nf x x x b ，取 m ，使得 ，则 0f m m b ， 0f m m b ，故存在 c 使得 0 取1因为1 s b a （ 1 ），所以21s i na b c c a ， 依此类推，得1 2 1ka a a c 但2 1 1 1s i n s i n s i nk k k ka b a b c b c ，即21 所以 ，矛盾 必要 性得证 综上，“对任意1a， ”的充要条件为“ 4、（ 2016 年四川高考） 已知数列 首项为 1，前 n 项和，1 1，其中q0， * . （ I）若2322 , , 2a a a 成等差数列，求 (双曲线 222 1的离心率为2 53e ，证明：12 1433ne e e . 【答案】（） 1= ）详见解析 . 解析： （ ）由已知，1 2 11 , 1 ,n n n nS q S S q S+ + += + = +两式相减得到21,1q a n+=?. 又由211S 得到21a 故1=对所有 1n 都成立 . 所以，数列 ，公比为 q 的等比数列 . 从而 1= 由2322 + 2a a a， ，成等比数列，可得322 =3 2即 22 =3 2,，则 ( 2 1)( 2 ) 0q + q -=， 由已知 , 0q ，故 =2q . 所以 1*2 ( )N. （ ）由（ ）可知， 1 所以双曲线 22 2 1离心率 2 2 ( 1 )11 a q -= + = + . 由2 51 3+ =解得 43q=. 因为 2 ( 1 ) 2 ( 1 )1+ 所以 2 ( 1 ) 1 *1+ q k?N（ ）. 于是112 11+ 1qe e e q q + 鬃 ? + 鬃 ?= -， 故1 2 3 1433e e 鬃 ?. 5、（ 2016 年天津高考） 已知 项均为正数的 等 差 数列， 公差为 d ， 对任意的 ,是等 比 中项 . ( )设 2 2 *1 ,n n nc b b n N ，求证： 差 数列； ( )设 2 2*1 1, 1 ,n d T b n N ， 求证： 【解析】 221 1 2 1 12n n n n n n n nC b b a a a a d a 21 2 12 ( ) 2n n n d a a d 为定值 22 1 3 2 11( 1 )n kn k b C C C 21 ( 1 ) 42 d 21 2 ( 1 )n C d n n （ *） 由已知 2 2 21 2 1 2 3 1 2 2 12 2 ( ) 4C b b a a a a d a d a d d 将 21 4入（ *）式得 22 ( 1)nT d n n2111 1 12 ( 1 )d k k 212d，得证 6、（ 2016 年全国 考）n 项和，且17=1 2 8 记 = 中 x 表示不超过 x 的最大整数，如 0 0 9 = 1， （）求1 11 101b b b， ，； （）求数列 000 项和 【解析】 设 747 28， 44a， 4113， 1( 1)na a n d n lg 0 ， 11 11lg 1 1 ， 101 101 101lg 记和为 1000 1 2 1000T b b b 1 2 1000lg lg a a 当0 时，1 2 9 ， ， ，； 当1 l n时，10 11 99n ， ， ，； 当2 时，100 101 999 ， ， ，； 当时，1000n 10000 9 1 90 2 900 3 1 1893T 7、（ 2016 年全国 考） 已知数列 ，其中 0 （ I）证明 求其通项公式； （ 5 3132S ，求 【解析】 8、（ 2016 年浙江高考） 设数列 2nn ， n （ I）证明： 1122， n ； （ 32， n ，证明： 2， n （ 取 n ，由（ I）知，对于任意 ， 1 1 2 11 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2n m n n n n m mn m n n n n m ma a a a a a a a 111 1 12 2 2n n m 112n， 故 11 222m nn 11 1 3 22 2 2 3224 从而对于任意 ，均有 9、 (2016江苏省高考 ) 记 1, 2, 100U ， *na n N和，若,定义0若 12, kt t t ，定义+ kt t tS a a a = 1,3,66 3 66+TS a a *na n N是公比为 3 的等比数列，且当 = 2,430T. (1) 求数列 (2) 对任意正整数 1 100，若 1, 2, k ，求证：1； （ 3）设 D U S S ,求证：2C C D S. （ 1）由已知得1*1 3,a n N . 于是当2,4T时，2 4 1 1 13 27 30rS a a a a a . 又30130 30a ，即1a. 所以数列,nn n N. （ 2）因为1, 2, , ，3 0,n N ， 所以112 11 3 3 ( 3 1 ) 32k k a . 因此，1. （ 3）下面分三种情况证明 . 若 2C C D C D D D S S S S S . 若 是 的子集，则22C C