数学分析三试卷及答案

精品文档 1欢迎下载 数学分析数学分析 三三 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一 计算题 共 8 题 每题 9 分 共 72 分 1 求函数在点 0 0 处的二次极限与二重极限 3 3 11 sinsinf x yxy yx 解 解 因此二重极限为 4 33 33 11 sinsinf x yxyxy yx 0 分 因为与均不存在 3 3 0 11 limsinsin x xy yx 3 3 0 11 limsinsin y xy yx 故二次极限均不存在 9 分 2 设 是由方程组所确定的隐函数 其中和分别 yy x zz x 0 zxf xy F x y z fF 具有连续的导数和偏导数 求 dz dx 解 解 对两方程分别关于求偏导 x 4 分 解此方程组并整理得 9 分 yyx yz Ff xyxfxy FF dz dxFxfxy F 3 取为新自变量及为新函数 变换方程 wwv 22 2 zzz z xx yx 设 假设出现的导数皆连续 22 y xyxy wze 解 解 看成是的复合函数如下 z x y 4 分 22 y wxyxy zww e 代人原方程 并将变换为 整理得 x y z w 9 分 22 2 2 ww w 4 要做一个容积为的有盖圆桶 什么样的尺寸才能使用料最省 3 1m 解 解 设圆桶底面半径为 高为 则原问题即为 求目标函数在约束条件下rh 的最小值 其中 1 0 xyz dzdy f xyxfxy dxdx dydz FFF dxdx 精品文档 2欢迎下载 目标函数 2 22Srhr 表 约束条件 3 分 2 1r h 构造 Lagrange 函数 22 22 1 F r hrhrr h 令 6 分 2 2420 20 r h Fhrrh Frr 解得 故有 由题意知问题的最小值必存在 当底面2hr 33 14 2 rh 半径为高为时 制作圆桶用料最省 9 3 1 2 r 3 4 h 分 5 设 计算 3 2 2 y x y y F yedx F y 解 解 由含参积分的求导公式 5 分 33 2222 32 22 22 32 yy x yx yx yx y x yx y yy y F yedxx edxy eye 3 275 2 22 32 y x yyy y x edxy eye 9 分 3 752 2 2 751 222 y yyx y y y eyeedx y 6 求曲线所围的面积 其中常数 2 22 222 xyxy abc 0a b c 解 解 利用坐标变换 由于 则图象在第一三象限 从而可 cos sin xa yb 0 xy 以利用对称性 只需求第一象限内的面积 3 分 2 0 0sincos 2 ab c 则 6 分 2 x y Vd d 1 2 2 sin cos 2 00 2 ab c dab d 22 2 2 0 sincos a b d c 9 分 22 2 2 a b c 7 计算曲线积分 其中是圆柱面与平面352 L zdxxdyydz L 22 1xy 的交线 为一椭圆 从轴的正向看去 是逆时针方向 3zy z 精品文档 3欢迎下载 解 解 取平面上由曲线所围的部分作为 Stokes 公式中的曲面 定3zy L 向为上侧 则的法向量为 3 分 11 cos cos cos0 22 由 Stokes 公式得 352 L zdxxdyydz coscoscos 352 dS xyz zxy 6 分 2dS 22 1 22 xy dxdy 9 分 2 8 计算积分 为椭球的上半部分的下侧 S yzdzdx S 222 222 1 xyz abc 解 解 椭球的参数方程为 其中sincos sinsin cosxaybzc 且02 0 2 3 分 2 sinsin z x ac 积分方向向下 取负号 因此 6 分 yzdzdx 2 232 2 00 sincossindbacd 2 223 2 00 sinsincosbacdd 9 分 2 4 abc 二 证明题 共 3 题 共 28 分 9 9 分 讨论函数在原点 0 0 处的连续性 3 22 24 22 0 0 0 xy xy xyf x xy 可偏导性和可微性 解 解 连续性 当时 22 0 xy 当 224 2424 0 22 xyxyyy f xy xyxy 0 0 x y 从而函数在原点处连续 3 分 0 0 可偏导性 0 0 00 0 0 0lim0 x x fxf f x 精品文档 4欢迎下载 0 0 y f 0 0 00 0 lim0 y fyf y 即函数在原点处可偏导 5 分 0 0 可微性 不存在 2222 3 24 2222 00 1 limlim xy xyxy ffxfy x y xy xyxy 从而函数在原点处不可微 9 分 0 0 10 9 分 9 分 设满足 F x y 1 在上连续 00 Dx yxxayyb 2 00 0F xy 3 当固定时 函数是的严格单减函数 x F x yy 试证 存在 使得在上通过定义了一个0 0 xxx 0F x y 函数 且在上连续 yy x yy x 证明 证明 i 先证隐函数的存在性 由条件 3 知 在上是的严格单减函数 而由条件 0 F xy 00 yb yb y 2 知 从而由函数的连续性得 00 0F xy 0 F xy 00 0F xyb 00 0F xyb 现考虑一元连续函数 由于 则必存在使得 0 F x yb 00 0F xyb 1 0 0 0F x yb x 01 O x 同理 则必存在使得 2 0 0 0F x yb x 02 O x 取 则在邻域内同时成立 12 min 0 O x 3 分 0 0F x yb 0 0F x yb 于是 对邻域内的任意一点 都成立 0 O x x 0 0F x yb 0 0F x yb 固定此 考虑一元连续函数 由上式和函数关于的连续性可x F x y F x yy 知 存在的零点使得 F x y 00 yyb yb 0 F x y 而关于严格单减 从而使 0 的是唯一的 再由的任意性 F x yy F x yyx 证明了对内任意一点 总能从找到唯一确定的与相 0 O x 0F x y yx 对应 即存在函数关系或 此证明了隐函数的存在性 fxy yf x 6 分 ii 下证隐函数的连续性 yf x 设是内的任意一点 记 x 0 O x yf x 精品文档 5欢迎下载 对任意给定的 作两平行线0 yy yy 由上述证明知 0F x y 0F x y 由的连续性 必存在的邻域使得 F x y x O x 0F x y 0F x y xO x 对任意的 固定此并考虑的函数 它关于严格单减且 xO x xy F x yy 0F x y 0F x y 于是在内存在唯一的一个零点使 yy y 0F x y 即 对任意的 它对应的函数值满足 这证明了函数 xO x y yy 是连续的 9 分 yf x 11 10 分 判断积分在上是否一致收敛 并给出证明 1 0 11 sindx xx 02 证明 证明 此积分在上非一致收敛 证明如下 02 作变量替换 则 1 x t 3 分 1 2 01 111 sinsindxtdt xxt 不论正整数多么大 当时 恒有 n 3 2 2 44 tA Ann 2 sin 2 t 5 分 因此 7 分 22 121 sin 2 AA AA tdtdt tt 2 21 4 t A t 当时 2 22 0 4 3 4 2 4 n 2 因此原积分在上非一致收敛 10 分 02 注 注 不能用 Dirichlet 判别法证明原积分是一致收敛的 原因如下 尽管对任意的积分一致有界 且函数关于单调 但是当1B 1 sin B tdt 2 1 t x 时 关于并非一致趋于零 事实上 取 相应地取x 2 1 t 0 2 tn 则 并非趋于零 1 2 n 112 111 limlim10 lim tn nn n t nn 精品文档 6欢迎下载 数学分析 3 模拟试题 一 解答下列各题 每小题 5 分 共 40 分 1 设 ln yxz 求 y z y x z x 2 32 24 23 sin 2232 tsztsytsx x y zu 求 t u s u 3 设 sin y x eu x 求 yx u 2 在点 1 2 处的值 4 求由方程 2 222 zyxxyz 所确定的函数 yxzz 在点 1 0 1 处的全微分dz 5 求函数 ln 222 zyxu 在点 2 2 1 M 处的梯度 2 2 1 gradu 6 求曲面 32 xyez z 在点 1 2 0 处的切平面和法线方程 7 计算积分 dx x ee xx 0 2 8 计算积分 11 0 2 x y dyedxI 二 10 分 求内接于椭球 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的最大长方体的体积 长方体的各个面 平行于坐标面 三 10 分 若D是由 1 yx 和两坐标轴围成的三角形区域 且 1 0 dxxdxdyxf D 求 x 四 10 分 计算 D d x y arctg 其中D是由圆周 1 4 2222 yxyx 及 0 y xy 所围成的在第一象限内的闭区域 五 10 分 计算 L x dyyydxyeI sin cos1 其中L为 x0 xysin0 的全部边界曲线 取逆时针方向 六 10 分 计算 dSzyxI 其中 是半球面 0 0 2222 azazyx 七 10 分 讨论含参变量反常积分 dx x xy 2 4 sin 在 y 内的一致收敛性 参考答案参考答案 一 解答下列各题 每小题 5 分 共 40 分 精品文档 7欢迎下载 1 设 ln yxz 求 y z y x z x 解 yyx y z xyx x z1 2 11 1 2 11 2 1 2 1 2 1 yx y yx x y z y x z x 2 32 24 23 sin 2232 tsztsytsx x y zu 求 t u s u 解 s z z u s y y u s x x u s u s x y xx y zs x y x y z4sin4 1 cos6cos 2 x y s x y x z x y x yzs sin4cos 4 cos 6 2 t z z u t y y u t x x u t u 6 sin 6 1 cos2cos 2 2 t x y t xx y z x y x y z x y t x y x zt x y x yz sin6cos 6 cos 2 2 2 3 设 sin y x eu x 求 yx u 2 在点 1 2 处的值 解 cos 2 y x e y x y u x sin cos 1 2 2 y x y x y x x y e yx u x 2 22 1 2 eyx u 4 求由方程 2 222 zyxxyz 所确定的函数 yxzz 在点 1 0 1 处的全微分dz 解 在原方程的两边求微分 可得 0 222 zyx zdzydyxdx xydzxzdyyzdx 将 1 0 1 zyx 代入上式 化简后得到 dydxdz2 5 求函数 ln 222 zyxu 在点 2 2 1 M 处的梯度 2 2 1 gradu 解 z u y u x u gradu 精品文档 8欢迎下载 222222222 2 2 2 zyx z zyx y zyx x 2 2 1 9 2 2 2 1 gradu 6 求曲面 32 xyez z 在点 1 2 0 处的切平面和法线方程 解 记 3 2 xyezzyxF z 在点 1 2 0 处的法向量为 0 2 4 0 2 1 1 2 2 z exyn 则切平面方程为 0 2 2 1 4 yx 即 042 yx 法线方程为 0 0 2 2 4 1 zyx 即 0 032 z yx 7 计算积分 dx x ee xx 0 2 解 2 1 2 dye x ee xy xx dyedxdx x ee xy xx 2 100 2 而 xy eyxf 在 2 1 0 上连续 且 0 dxe xy 在 1 2 上一致收敛 则可交换积分次序 于是有 原式 2ln 1 2 10 2 1 dy y dxedy xy 8 计算积分 11 0 2 x y dyedxI 解 交换积分顺序得 1 2 1 1 1 00 1 0 22 edyyedxdyeI y y y 八 求内接于椭球 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的最大长方体的体积 长方体的各个面平行于 坐标面 解 设长方体在第一卦限的顶点坐标为 x y z 则长方体的体积为 xyzV8 拉格朗日函数为 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x xyzL 由 4 1 3 0 2 2 0 2 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c z b y a x c z xy b y xz a x yz 解得 3 3 3 c z b y a x 精品文档 9欢迎下载 根据实际情况必有最大值 所以当长方体在第一卦限内的顶点坐标为 3 3 3 cba 时体积最大 33 8 max abcV 九 若 D 是由 1 yx 和两坐标轴围成的三角形区域 且 1 0 dxxdxdyxf D 求 x 解 1 0 1 0 1 0 1 dxxfxdyxfdxdxdyxf x D 1 xfxx 十 计算 D d x y arctg 其中D是由圆周 1 4 2222 yxyx 及 0 yxy 所 围成的在第一象限内的闭区域 解 21 4 0 rrD 2 1 4 0 rdrdd x y arctg D 64 3 2 2 1 4 0 rdrd 十一 计算 L x dyyydxyeI sin cos1 其中L为 x0 xysin0 的全部边界曲线 取逆时针方向 解 由格林公式 x ye y P x Q 所以 0 sin 0 x x D x ydydxedxdyyeI 1 5 1 2sin 2 1 0 exdxe x 十二 计算 dSzyxI 其中 是半球面 0 0 2222 azazyx 解 dxdyzzxyxI ayxD yx 222 22 1 3 222 222 adxdy yxa a yxayx D 十三 讨论含参变量反常积分 dx x xy 2 4 sin 在 y 内的一致收敛性 解 22 4 1 4 sin xx xy 而 24 1 2 dx x收敛 所以由 M 判别法知 dx x xy 2 4 sin 在 y 内的一致收敛 精品文档 10欢迎下载 数学分析 3 模拟试题 十四 解答下列各题 每小题 5 分 共 40 分 1 设 1 0 xxxz y 求 y z xx z y x ln 1 2 yxvyxuuvvuzsin cos 22 求 y z x z 3 设 ln xyxz 求 yx z 2 4 设z是方程 z ezyx 所确定的x与 y的函数 求dz 5 求函数 y xez 2 在点 0 1 P 处沿从点 0 1 P 到点 1 2 Q 的方向导数 精品文档 11欢迎下载 6 已知曲面 22 4yxz 上点 P 处的切平面平行于平面 122 zyx 求 P 点的坐标 7 计算积分 dx x ee xx 0 32 8 计算积分 11 0 2 y x dxedyI 二 10 分 原点到曲线 1 22 zyx zyx 的最大距离和最小距离 三 10 分 已知 R dxxdxdydzzyxf 0 222 其中 为球体 2222 Rzyx 求 x 四 10 分 计算 dxdyyx D 2 2 其中 D 是由圆周 1 22 yx 所围成的区域 五 10 分 计算 L ydxxdyxyI 22 其中L为圆周 1 22 yx 取逆时针方 向 六 10 分 计算 dSzxyzxyI 其中 为锥面 22 yxz 被拄面 axyx2 22 所割下部分 七 10 分 讨论含参变量反常积分 dxxe yx 0 sin 在 0 00 yyy 内的一 致收敛性 参考答案参考答案 十五 解答下列各题 每小题 5 分 共 40 分 1 设 1 0 xxxz y 求 y z xx z y x ln 1 解 xx y z yx x z yy ln 1 zxxxx x yx y x y z xx z y x yyyy 2ln ln 1 ln 1 1 2 yxvyxuuvvuzsin cos 22 求 y z x z 解 x v v z x u u z x z yuvuyvuvsin 2 cos 2 22 精品文档 12欢迎下载 sin cossincos3 2 yyyyx y v v z y z u z y z yxuvuyxvuvcos 2 sin 2 22 sin cos cos sincossin2 3333 yyxyyyyx 3 设 ln xyxz 求 yx z 2 解 1lnln xy xy y xxy x z yxy x yx z1 2 4 设z是方程 z ezyx 所确定的x与 y的函数 求dz 解 方程两边求微分 得 dzedzdydx z dy e dx ee dydx dz zzz 1 1 1 1 1 5 求函数 y xez 2 在点 0 1 P 处沿从点 0 1 P 到点 1 2 Q 的方向导数 解 方向l即向量 1 1 PQ 的方向 因此 x 轴到方向l的转角 4 yy xe y z e x z 22 2 2 0 1 1 0 1 y z x z 故所求方向导数为 2 2 4 sin 2 4 cos 1 l z 6 已知曲面 22 4yxz 上点 P 处的切平面平行于平面 122 zyx 求 P 点 的坐标 解 设 P 点的坐标为 000 zyx 则 P 点处的切平面为 0 2 2 00000 zzyyyxxx 又因该平面与平面 122 zyx 平行 则有 1 1 2 2 2 2 00 yx 2 1 1 000 zyx 即 2 1 1 P 7 计算积分 dx x ee xx 0 32 解 3 2 32 dye x ee xy xx dyedxdx x ee xy xx 3 200 32 而 xy eyxf 在 3 2 0 上连续 且 0 dxe xy 在 2 3 上一致收敛 精品文档 13欢迎下载 则可交换积分次序 于是有 原式 2 3 ln 1 3 20 3 2 dy y dxedy xy 8 计算积分 11 0 2 y x dxedyI 解 交换积分顺序得 1 2 1 1 1 00 1 0 22 edxxedydxeI x x x 三 原点到曲线 1 22 zyx zyx 的最大距离和最小距离 解 设 P x y z 为曲线上任意点 则目标函数为 222 zyxzyxd 约 束条件为 1 22 zyx zyx 建立拉格朗日函数