《信号与系统》第七章

第七章 拉普拉斯变换 连续时间系统的复频域分析,7.1 引言,1）应用傅氏变换，信号要绝对可积；2）拉氏变化是另一种求解系统响应的办法，运算简单，能同时求出系统的零输入响应和零状态响应；3）能直观表示出系统具有的复频域特性。,7.2 拉普拉斯变换,引入衰减因子 ，定义 则,得,所以，,拉普拉斯 反变换,拉普拉斯变换对,1 正变换公式,2 反变换公式,一对拉氏变换对,单边拉氏变换公式,拉氏变换和傅氏变换的区别：,分解为 和 的和；傅氏是从 ，而拉氏是从,指数阶函数：对于 ，若能找到实数 ，并满足则 为指数阶函数。,拉氏变换的收敛域,1）如果x(t)是有限持续期的信号，其收敛域是整个S域2）如果x(t)是一个右边信号，则X(s) 的收敛域求法：3）如果x(t)是一个左边信号，则X(s) 的收敛域求法：,4）当f(t)是一个双边信号时， ，当ROC边界不满足 ，则信号不存在双边拉氏变换。5）X(s)的收敛域内不含极点，收敛域的边界由极点决定。,拉氏变换的收敛域,注意：1 同一个象函数，如收敛域不一样，则对应的时间函数不一样。2 当象函数为有理函数，收敛域的边界是由系统的极点所决定的。,例71 设 求其拉氏变换的收敛域,解,例72 设 求其拉氏变换的收敛域,解,见 例7-3,7.3 拉氏变换的性质,1 线性性质,2 时域平移,3 S域平移,例,4 时间尺度变换,5 时域卷积定理,6 时域微分性质,7 单边拉氏变换的时域微分性质,8 时域积分性质,9 单边拉氏变换的时域积分性质,10 S域微分,例,推广,11 时域乘积,12 初值定理,13 终值定理,P282 表7-1,7.4 常用函数的拉氏变换,1 单边右向信号的拉氏变换 A 指数信号 B阶跃信号 C余弦信号 D正弦信号 E指数调制的余弦和正弦信号 F根据S域的微分性质,7.4常用函数的拉氏变换,2 单边左向信号的拉氏变换 A 指数信号 B根据S域的微分性质 C冲激信号,P284 表7-1,习题,2. x(t)=tu(t-1) 的拉氏变换为（ ）,3. x(t)=(t+1)u(t+1) 的单边拉氏变换为（ ）,4.,的拉氏变换及其收敛域为（ ）,7.5 拉普拉斯反变换,拉氏反变换共有三种方法: 1 根据性质直接查表计算法 2 部分分式展开法 3 留数定理,1 围线积分法 (留数法),以最右极点画出一条直线A,B，以原点为圆心R为半径，构成一闭合曲线，它包含全部的极点。,则x(t) 为曲线中被积函数 所有极点的函数之和,P286 例710,2 部分分式法,由拉氏变换的性质或直接查表得到,讨论：,其中,P287 例 7-12,长除法,7.6连续时间系统的复频域分析法,系统的复频域分析法的步骤：1 取输入信号和系统时域模型的拉氏变换，得到输入的拉氏变换式和系统的S域模型；2 由输入的拉氏变换和系统的S域模型，进行简单的代数运算，得到输出的拉氏变换式；3取输出的拉氏变换式的反变换，得到系统的输出。,系统的S域模型： 可通过将时域微分模型两边拉氏变化获得 可通过电路元件的S域特性获得。,7.6.1 电路的S域模型,将电路的时域模型转换为S域模型，并运用计算电阻电路所用的全部定律、方法和计算公式于S域电路模型，经过简单的代数运算，便可得到输出的拉氏变换。对于R,L,C,它们的S域表达式为：,例：求如图所示的RC电路的S域模型。已知输入为阶跃电压u(t),电容的断电压v（0）,7.6.2 零状态系统的S域分析,例：设某因果性LTI系统的微分方程描述为,求响应y(t)。解：,分解,反变换,7.6.3 非零状态系统的S域分析,例：,求响应y(t)。解： 微分方程各项进行单边拉氏变换，有,初始条件,反变换,7.6系统函数,定义：一个连续时间LTI系统的系统函数定义为系统的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比，是该系统单位冲激响应的拉氏变换。H(s)是系统的时域