2010年全国高考文科数学试题及答案-江西

学联网高考频道 学联网高考频道 绝密 启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 江西卷 文科数学文科数学 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 4 页 共 150 分 考生注意 考生注意 1 答题前 考生务必将自己的准考证号 姓名填写在答题卡上 考生要认真核对答 题卡上粘贴的条形码的 准考证号 姓名 考试科目 与考生本人准考证号 姓 名是否一致 2 第 I 卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需 改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 第 卷用黑色墨水签字笔在答题 卡上作答 若在试题卷上作答 答案无效 3 考试结束 监考员将试题卷 答题卡一并收回 参考公式 如果事件互斥 那么 球的表面积公式 A B P ABP AP B 2 4SR 如果事件 相互独立 那么 其中表示球的半径 A BR 球的体积公式 P A BP AP B 如果事件在一次试验中发生的概率是 那么 Ap 3 4 3 VR 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径nkR 1 kkn k nn P kC pp 第第 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 对于实数 是 的 a b cab 22 acbc A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必 要条件 答案 B 解析 主要考查不等式的性质 当 C 0 时显然左边无法推导出右边 但右边可以推出左 边 2 若集合 则 1Ax x 0Bx x AB A B C D 11xx 0 x x 01xx 答案 C 解析 考查集合与简单不等式 解决有关集合的问题关键是把握住集合中的元素 由题 知集合 A 是由大于等于 1 小于等于 1 的数构成的集合 所以不难得出答案 学联网高考频道 学联网高考频道 3 展开式中项的系数为 10 1 x 3 x A B C D 720 720120120 答案 D 解析 考查二项式定理展开式中特定项问题 解决此类问题主要是依据二项展开式的通 项 由 4 若满足 则 42 f xaxbxc 1 2 f 1 f A B C 2D 44 2 答案 B 解析 考查函数的奇偶性 求导后导函数为奇函数 所以选择 B 5 不等式的解集是22xx A B C D 2 2 2 2 答案 A 解析 考查含绝对值不等式的解法 对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解 可以通过绝对值的意义 零点分区间法 平方等方法去掉绝对值 但此题利用代值法会更好 6 函数的值域为 2 sinsin1yxx A B C D 1 1 5 1 4 5 1 4 5 1 4 答案 C 解析 考查二次函数型值域问题 通过函数形状发现此函数很像二次函数 故令 可得 2 1ytt 从而求解出二次函数值域sin Xt 7 等比数列中 则 n a 15252 1 8 aaa aa n a A B C D 1 2 n 1 2 n 2 n 2 n 答案 A 解析 考查等比数列的通项公式 用代特值法解决会更好 8 若函数的图像关于直线对称 则为 1 ax y x yx a A B C D 任意实数11 1 答案 B 解析 考查反函数 因为图像本身关于直线对称故可知原函数与反函数是同一函yx 数 所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案 或利用反函数的性质 依题知 1 a 2 与 a 2 1 皆在原函数图故可得 a 1 9 有位同学参加某项选拔测试 每位同学能通过测试的概率都是 假设np 01 p 每位同学能否通过测试是相互独立的 则至少有一位同学通过测试的概率为 A B C D 1 np 1 n p n p 学联网高考频道 学联网高考频道 1 1 np 答案 D 解析 考查 n 次独立重复事件中 A 事件恰好发生 K 次的公式 可先求 n 次测试中没有人 通过的概率再利用对立事件得答案 D 10 直线与圆相交于 M N 两点 若 MN 则3ykx 22 2 3 4xy 2 3 的取值范围是k A B C D 3 0 4 33 33 3 3 2 0 3 答案 B 解析 考查相交弦问题 法一 可联立方程组利用弦长公式求 MN 再结合 MN 可得答案2 3 法二 利用圆的性质知 圆心到直线的距离的平方加上弦长的一半的平方等于半径 的平方求出 MN 再结合 MN 可得答案2 3 11 如图 M 是正方体的棱的中点 给出下列命题 1111 ABCDABC D 1 DD 过 M 点有且只有一条直线与直线 都相交 AB 11 BC 过 M 点有且只有一条直线与直线 都垂直 AB 11 BC 过 M 点有且只有一个平面与直线 都相交 AB 11 BC 过 M 点有且只有一个平面与直线 都平行 AB 11 BC 其中真命题是 A B C D 答案 C 解析 考查立体几何图形中相交平行垂直性质 12 如图 四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间 各自作出三个函数 的图像如下 结果发现其中有一位同学作sin2yx sin 6 yx sin 3 yx 出的图像有错误 那么有错误的图像是 A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D A D CB MA xx xx 学联网高考频道 学联网高考频道 答案 C 解析 考查三角函数图像 通过三个图像比较不难得出答案 C 绝密 启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 江西卷 文科数学文科数学 第第 卷卷 注意事项 注意事项 第第 卷卷 2 页 须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答 若在试题上作答 答案无效 页 须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答 若在试题上作答 答案无效 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分 请把答案填在答题卡上分 请把答案填在答题卡上 13 已知向量 满足 与的夹角为 则在上的投影是 a b 2b a b 60 b a 答案 1 解析 考查向量的投影定义 在上的投影等于的模乘以两向量夹角的余弦值b a b 14 将 5 位志愿者分成 3 组 其中两组各 2 人 另一组 1 人 分赴世博会的三个不同场馆 服务 不同的分配方案有 种 用数字作答 答案 90 解析 考查排列组合里分组分配问题 15 点在双曲线的右支上 若点到右焦点的距离 00 A xy 22 1 432 xy A 等于 则 0 2x 0 x 答案 2 解析 考查双曲线的比值定义 利用点 A 到右焦点比上到右准线的距离 等于离心率得出2 0 x 16 长方体的顶点均在同一个球面上 1111 ABCDABC D 则 两点间的球面距离为 1 1ABAA 2BC AB 答案 3 解析 考查球面距离 可先利用长方体三边长求出球半径 在三角形中求出球心角 再 利用球面距离公式得出答案 三 解答题 本大题共解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 74 分 解答应写出文字说明分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 1 A 1 B 1 C 1 D A D CB 学联网高考频道 学联网高考频道 设函数 32 63 2 2f xxaxax 1 若的两个极值点为 且 求实数的值 f x 12 x x 12 1x x a 2 是否存在实数 使得是上的单调函数 若存在 求出的值 若不a f x a 存在 说明理由 解析 考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识 解 2 186 2 2fxxaxa 1 由已知有 从而 所以 12 0fxfx 12 2 1 18 a x x 9a 2 由 22 36 2 4 18 236 4 0aaa 所以不存在实数 使得是上的单调函数 a f xR 18 本小题满分 12 分 某迷宫有三个通道 进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门 首次到达此门 系统会随 机 即等可能 为你打开一个通道 若是 1 号通道 则需要 1 小时走出迷宫 若是 2 号 3 号通道 则分别需要 2 小时 3 小时返回智能门 再次到达智能门时 系统会随机打开 一个你未到过的通道 直至走出迷宫为止 1 求走出迷宫时恰好用了 1 小时的概率 2 求走出迷宫的时间超过 3 小时的概率 解析 考查数学知识的实际背景 重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概 率 随机事件的数学特征和对思维能力 运算能力 实践能力的考查 解 1 设 A 表示走出迷宫时恰好用了 1 小时这一事件 则 1 3 P A 2 设 B 表示走出迷宫的时间超过 3 小时这一事件 则 1111 6662 P B 19 本小题满分 12 分 已知函数 2 1 cot sin2sin sin 44 f xxxxx 1 若 求 tan2 f 2 若 求的取值范围 12 2 x f x 解析 考查三角函数的化简 三角函数的图像和性质 三角函数值域问题 依托三角函 数化简 考查函数值域 作为基本的知识交汇问题 考查基本三角函数变换 属于中等题 解 1 2 sinsin coscos2f xxxxx 1 cos21 sin2cos2 22 x xx 学联网高考频道 学联网高考频道 11 sin2cos2 22 xx 由得 tan2 222 2sincos2tan4 sin2 sincos1tan5 222 222 cossin1tan3 cos2 sincos1tan5 所以 3 5 f 2 由 1 得 1121 sin2cos2 sin 2 22242 f xxxx 由得 所以 12 2 x 55 2 4124 x 2 sin 2 1 42 x 从而 2112 sin 2 0 2422 f xx 20 本小题满分 12 分 如图 与都是边长为 2 的正三角形 平面BCD MCD 平面 平面 MCD BCDAB BCD 2 3AB 1 求直线与平面所成的角的大小 AMBCD 2 求平面与平面所成的二面角的正弦值 ACMBCD 解析 本题主要考查了考查立体图形的空间感 线面角 二面角 空 间向量 二面角平面角的判断有关知识 同时也考查了空间想象能力和推 理能力 解法一 1 取 CD 中点 O 连 OB OM 则 OB CD OM CD 又平面平面 则 MO 平面 所以MCD BCDBCD MO AB A B O M 共面 延长 AM BO 相交于 E 则 AEB 就是 AM 与平面 BCD 所 成的角 OB MO MO AB 则 3 1 2 EOMO EBAB 所以 故 3EOOB 2 3EBAB 45AEB 2 CE 是平面与平面的交线 ACMBCD 由 1 知 O 是 BE 的中点 则 BCED 是菱形 D M C B A C H M D E B O A F 学联网高考频道 学联网高考频道 作 BF EC 于 F 连 AF 则 AF EC AFB 就是二面角 A EC B 的平面角 设为 因为 BCE 120 所以 BCF 60 sin603BFBC tan2 AB BF 2 5 sin 5 所以 所求二面角的正弦值是 2 5 5 解法二 取 CD 中点 O 连 OB OM 则 OB CD OM CD 又平面平面MCD 则 MO 平面 BCDBCD 以 O 为原点 直线 OC BO OM 为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空 间直角坐标系如图 OB OM 则各点坐标分别为 O 0 0 0 C 1 0 0 3 M 0 0 B 0 0 A 0 2 3333 1 设直线 AM 与平面 BCD 所成的角为 因 0 平面的法向量为 AM 33 BCD 0 0 1 n 则有 所以 32 sincos 26 AM n AM n AMn 45 2 1 0 3 CM 1 3 2 3 CA 设平面 ACM 的法向量为 由得 解得 1 nx y z 1 1 nCM nCA 30 32 30 xz xyz 取 又平面 BCD 的法向量为 则3xz yz 1 3 1 1 n 0 0 1 n 1 1 1 1 cos 5 n n n n nn 设所求二面角为 则 2 12 5 sin1 55 21 本小题满分 12 分 已知抛物线 经过椭圆 1 C 22 xbyb 2 C 的两个焦点 22 22 1 0 xy ab ab N x Q M O y y x M D C B O A z 学联网高考频道 学联网高考频道 1 求椭圆的离心率 2 C 2 设 又为与不在轴上的两个交点 若的重心在抛物 3 Qb M N 1 C 2 CyQMN 线上 求和的方程 1 C 1 C 2 C 解析 考查椭圆和抛物线的定义 基本量 通过交点三角形来确认方程 解 1 因为抛物线经过椭圆的两个焦点 1 C 2 C 12 0 0 FcF c 所以 即 由得椭圆的 22 0cbb 22 cb 2222 2abcc 2 C 离心率 2 2 e 2 由 1 可知 椭圆的方程为 22 2ab 2 C 22 22 1 2 xy bb 联立抛物线的方程得 1 C 22 xbyb 22 20ybyb 解得 或 舍去 所以 2 b y yb 6 2 xb 即 所以的重心坐标为 66 2222 bb MbNb QMN 1 0 因为重心在上 所以 得 所以 1 C 22 10bb 1b 2 2a 所以抛物线的方程为 1 C 2 1xy 椭圆的方程为 2 C 2 2 1 2 x y 22 本小题满分 14 分 正实数数列中 且成等差数列 n a 12 1 5aa 2 n a 1 证明数列中有无穷多项为无理数 n a 2 当为何值时 为整数 并求出使的所有整数项的和 n n a200 n a N x Q M O y 学联网高考频道 学联网高考频道 解析 考查等差数列及数列分组求和知识 证明 1 由已知有 从而 2 124 1 n an 124 1 n an 方法一 取 则 21 124 k n 2 124 k n a kN 用反证法证明这些都是无理数 n a 假设为有理数 则必为正整数 且 2 124 k n a n a24k n a 故 与矛盾 241 k n a 241 k n a 24 24 1 kk nn aa 所以 都是无理数 即数列中有无穷多项为无理数 2 124 k n a kN n a 方法二 因为 当的末位数字是时 的末 2 1 124 n annN n3 4 8 9124n 位数字是和 它不是整数的平方 也不是既约分数的平方 故此时不37 1 124 n an 是有理数 因这种有无穷多 故这种无理项也有无穷多 n 1n a 2 要使为整数 由可知 n a 1 1 24 1 nn aan 同为偶数 且其中一个必为 3 的倍数 所以有或1 1 nn aa 16 n am 16 n am 当时 有 61 n am 22 361211 12 31 n ammmm mN 又必为偶数 所以 满足 31 mm 61 n am mN 2 124 1 n an 即 时 为整数 31 1 2 mm n mN n a 同理有 61 n ammN 22 361211 12 31 n ammmm mN 也满足 即 时 为整数 2 124 1 n an 31 1 2 mm n mN n a 显然和 是数列中的不同项 61 n ammN 61 n am mN 所以当 和 时 为整数 31 1 2 mm n mN 31 1 2 mm n mN n a 由 有 61200 n am mN 033m 由 有 61200 n am mN 133m 学联网高考频道 学联网高考频道 设中满足的所有整数项的和为 则 n a200 n a S 5 11197 17199 S 5 1971 199 33346733 22 绝密 启用前 秘密 启用后 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 江西卷 文科数学参考答案文科数学参考答案 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 题号123456789101112 答案BCDBACABDBCC 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分分 13 1 14 90 15 2 16 3 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 74 分分 17 本小题满分 12 分 解 2 186 2 2fxxaxa 1 由已知有 从而 所以 12 0fxfx 12 2 1 18 a x x 9a 2 由 22 36 2 4 18 236 4 0aaa 所以不存在实数 使得是上的单调函数 a f xR 18 本小题满分 12 分 解 1 设 A 表示走出迷宫时恰好用了 1 小时这一事件 则 1 3 P A 2 设 B 表示走出迷宫的时间超过 3 小时这一事件 则 1111 6662 P B 19 本小题满分 12 分 解 1 2 sinsin coscos2f xxxxx 1 cos21 sin2cos2 22 x xx 11 sin2cos2 22 xx 由得 tan2 222 2sincos2tan4 sin2 sincos1tan5 222 222 cossin1tan3 cos2 sincos1tan5 学联网高考频道 学联网高考频道 所以 3 5 f 2 由 1 得 1121 sin2cos2 sin 2 22242 f xxxx 由得 所以 12 2 x 55 2 4124 x 2 sin 2 1 42 x 从而 2112 sin 2 0 2422 f xx 20 本小题满分 12 分 解法一 1 取 CD 中点 O 连 OB OM 则 OB CD OM CD 又平面平面 则 MO 平面 所以 MO AB A B O M 共面 MCD BCDBCD 延长 AM BO 相交于 E 则 AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角 OB MO MO AB 则 3 1 2 EOMO EBAB 所以 故 3EOOB 2 3EBAB 45AEB 2 CE 是平面与平面的交线 ACMBCD 由 1 知 O 是 BE 的中点 则 BCED 是菱形 作 BF EC 于 F 连 AF 则 AF EC AFB 就是二面角 A EC B 的平面角 设为 因为 BCE 120 所以 BCF 60 sin603BFBC tan2 AB BF 2 5 sin 5 所以 所求二面角的正弦值是 2 5 5 解法二 取 CD 中点 O 连 OB OM 则 OB CD OM CD 又平面平面MCD 则 MO 平面 BCDBCD 以 O 为原点 直线 OC BO OM 为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空 间直角坐标系如图 OB OM 则各点坐标分别为 O 0 0 0 C 1 0 0 3 M 0 0 B 0 0 A 0 2 3333 1 设直线 AM 与平面 BCD 所成的角为 因 0 平面的法向量为 AM 33 BCD 0 0 1 n y x M D C B O A z C H M D E B O A F 学联网高考频道 学联网高考频道 则有 所以 32 sincos 26 AM n AM n AMn 45 2 1 0 3 CM 1 3 2 3 CA 设平面 ACM 的法向量为 由得 解得 1 nx y z 1 1 nCM nCA 30 32 30 xz xyz 取 又平面 BCD 的法向量为 则3xz yz 1 3 1 1 n 0 0 1 n 1 1 1 1 cos 5 n n n n nn 设所求二面角为 则 2 12 5 sin1 55 21 本小题满分 12 分 解 1 因为抛物线经过椭圆的两个焦点 1 C 2 C 12 0 0 FcF c 所以 即 由得椭圆的 22 0cbb 22 cb 2222 2abcc 2 C 离心率 2 2 e 2 由 1 可知 椭圆的方程为 22 2ab 2 C 22 22 1 2 xy bb 联立抛物线的方程得 1 C 22 xbyb 22 20ybyb 解得 或 舍去 所以 2 b y yb 6 2 xb 即 所以的重心坐标为 66 2222 bb MbNb QMN 1 0 因为重