八年级数学各章知识点归纳和常考题训练.pdf

第 1 页 共 18 页 全等三角形知识点总结和常考题 知识点 1 基本定义 全等形 能够完全重合的两个图形叫做全等形 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 对应顶点 全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点 对应边 全等三角形中互相重合的边叫做对应边 对应角 全等三角形中互相重合的角叫做对应角 2 基本性质 三角形的稳定性 三角形三边的长度确定了 这个三角形的形状 大小就全确定 这个性质叫做三角形的稳定性 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等 对应角相等 3 全等三角形的判定方法 边边边 SSS 三边对应相等的两个三角形全等 边角边 SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角 ASA 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角角边 AAS 两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 斜边 直角边 HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 4 角平分线 画法 性质定理 角平分线上的点到角的两边的距离相等 性质定理的逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 5 证明的基本方法 明确命题中的已知和求证 包括隐含条件 如公共边 公共角 对顶角 角平分线 中线 高 等腰三角形等所隐含的边角关系 根据题意 画出图形 并用数字符号表示已知和求证 经过分析 找出由已知推出求证的途径 写出证明过程 常考题提高练习 一 选择题 1 使两个直角三角形全等的条件是 A 一个锐角对应相等 B 两个锐角对应相等 C 一条边对应相等 D 两条边对应相等 2 尺规作图作 AOB的平分线方法如下 以O为圆心 任意长为半径画弧交OA OB于 C D 再分别以点C D为圆心 以大于CD长 为半径画弧 两弧交于点P 作射线 OP由作法得 OCP ODP 的根据是 A SAS B ASA C AAS D SSS 3 如图 ACB A CB BCB 30 则 ACA 的度数为 A 20 B 30 C 35 D 40 4 如图 AD是 ABC中 BAC 的角平分线 DE AB于点 E S ABC 7 DE 2 AB 4 则 AC长是 A 3 B 4 C 6 D 5 第 2 页 共 18 页 5 如图 直线 l1 l2 l3表示三条相互交叉的公路 现要建一个货物中转站 要求它到三条公路的距离相等 则供选择的地址有 A 1 处 B 2 处C 3 处 D 4 处 二 填空题 1 西区期末 如图 已知AB CF E为 DF的中点 若AB 9cm CF 5cm 则 BD cm 2 期末 如图 ABC ADE B 100 BAC 30 那么 AED 度 3 模拟 如图 ABC中 C 90 AD平分 BAC AB 5 CD 2 则 ABD的面积是 4 区二模 如图所示 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃 那么最省事的办法是 带去玻璃店 三 解答题 1 已知 如图 OP是 AOC和 BOD 的平分线 OA OC OB OD 求证 AB CD 2 已知 如图所示 AB AC BD CD DE AB于点 E DF AC于点 F 求证 DE DF 第 3 页 共 18 页 3 已知 如图 在梯形ABCD 中 AD BC BC DC CF平分 BCD DF AB BF的延长线交DC于点 E 求 证 1 BFC DFC 2 AD DE 4 如图 点 M N分别是正五边形ABCDE 的边 BC CD上的点 且BM CN AM交 BN于点 P 1 求证 ABM BCN 2 求 APN的度数 5 已知 如图 ABC 和 DBE 均为等腰直角三角形 1 求证 AD CE 2 求证 AD 和 CE 垂直 A B C D E 第 4 页 共 18 页 轴对称知识点总结和常考题 一 知识框架 二 知识概念 1 基本概念 轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 这个图形就叫做轴对称图形 两个图形成轴对称 把一个图形沿某一条直线折叠 如果它能够与另一个图形重合 那么就说这两个图形关于这条直线对称 3 线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线 4 等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 相等的两条边叫做腰 另一条边叫做底边 两腰所夹的角叫做顶角 底边与 腰的夹角叫做底角 5 等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形 2 基本性质 对称的性质 不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称 对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 对称的图形都全等 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分 那么这两个图形关于这条直线对称 两个图形关于某条直线成轴对称 如果它们的对应线段或延长线相交 那么交点在对称轴上 线段垂直平分线的性质和判定 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 关于坐标轴对称的点的坐标性质 点 x y 关于 x轴对称的点的坐标为 x y 点 x y 关于y轴对称的点的坐标为 x y 点 x y 关于原点对称的点的坐标为 x y 等腰三角形的性质和判定 等腰三角形两腰相等 等腰三角形两底角相等 等边对等角 等腰三角形的顶角角平分线 底边上的中线 底边上的高相互重合 三线合一 等腰三角形是轴对称图形 等边三角形的性质和判定 等边三角形三边都相等 等边三角形三个内角都相等 都等于60 等边三角形每条边上都存在三线合一 等边三角形是轴对称图形 对称轴是三线合一 3 条 6 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 这个点到三角形三个顶点的距离相等 3 基本判定 第 5 页 共 18 页 等腰三角形的判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 等角对等边 等边三角形的判定 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 4 尺规作图基本方法 作已知直线的垂线 作已知线段的垂直平分线 作对称轴 连接两个对应点 作所连线段的垂直平分线 作已知图形关于某直线的对称图形 在直线上作一点 使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短 常考题提高练习 一 选择题 1 下列图形中 不是轴对称图形的是 2 如图 3 30 为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中 那么击打白球时 必须保证 1 的度数为 A 30 B 45 C 60 D 75 3 如图 ABC中 AB AC B 70 则 A 的度数是 A 70 B 55 C 50 D 40 4 若等腰三角形的两边长分别为4 和 8 则它的周长为 A 12 B 16 C 20 D 16 或 20 二 填空题 1 如图 AC BD相交于 O AB DC AB BC D 40 ACB 35 则 AOD 2 如图 在3 3 的正方形网格中 已有两个小正方形被涂黑 再将图中其余小正方形任意涂黑一个 使整个图案构成一个轴对称图 形的方法有种 3 如图 ABC中 D E分别是 AC AB上的点 BD与 CE交于点 O 给出下列三个条件 EBO DCO BEO CDO BE CD 上述三个条件中 哪两个条件可判定 ABC是等腰三角形 用序号写出一种情形 4 如图 已知 AOB 30 OC平分 AOB 在 OA上有一点M OM 10 cm 现要在 OC OA上分别找点Q N 使 QM QN最小 则其 最小值为 三 解答题 1 如图 小河边有两个村庄A B 要在小河的对岸EF建一个自来水厂P 分别向两村庄供水 要使厂部到两村的水管最省料 应建 在什么地方 保留作图痕迹 2 如图 某地有两所大学和两条相交叉的公路 点M N表示大学 AO BO表示公路 现计划修建一座物资仓库 希望仓库到两所 大学的距离相等 到两条公路的距离也相等 你能确定仓库应该建在什么位置吗 在所给的图形中画出你的设计方案 3 如图 写出 ABC的各顶点坐标 并画出 ABC关于 Y轴对称的 A1B1C1 写出 ABC关于 X轴对称的 A2B2C2的各点坐标 N M O B A C D A B E F 第 7 页 共 18 页 4 如图 给出五个等量关系 ADBC AC BD CE DE DC DABCBA 请你以其中两 个为条件 另三个中的一个为结论 推出一个正确的结论 只需写出一种情况 并加以证明 已知 求证 证明 5 如图 已知在 ABC中 AB AC D 是 AB上一点 DE BC E 是垂足 ED的延长线交 CA的延长线于点F 求证 AD AF 6 如图 在 ABC中 AB AC 在 AB上取一点 E 在 AC延长线上取一点F 使 BE CF 求证 EG FG A B C 第 8 页 共 18 页 7 如图 ABC和 ADE 是等边三角形 AD是 BC边上的中线 求证 BE BD 新课标第一 网 8 在 ABC中 90ACB BCAC 直线MN经过点C 且 MNAD 于D MNBE 于E 1 当直线MN绕点C旋转到图 1 的位置时 求证 BEADDE 2 当直线 MN 绕点C旋转到图 2 的位置时 1 中的结论还成立吗 若成立 请给出证明 若不成立 说明理由 B A D C E 第 9 页 共 18 页 整式的乘法与因式分解知识点总结和常考题 知识点 1 基本运算 同底数幂的乘法 mnm n aaa 幂的乘方 n mmn aa 积的乘方 n nn aba b 2 整式的乘法 单项式单项式 系数系数 相同字母相同字母 不同字母为积的因式 单项式多项式 用单项式乘以多项式的每一项 多项式多项式 用一个多项式每一项乘以另一个多项式每一项 3 乘法公式 平方差公式 22 ababab 完全平方公式 2 22 2abaabb 2 22 2abaabb 4 整式的除法 同底数幂的除法 mnm n aaa 单项式单项式 系数系数 同字母同字母 不同字母作为商的因式 多项式单项式 用多项式每一项分别除以单项式 5 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式 这种变形叫做把这个式子因式分解 6 因式分解方法 提公因式法 找出最大公因式 公式法 平方差公式 22 ababab 完全平方公式 2 22 2aabbab 立方和 3322 abab aabb 立方差 3322 abab aabb 第 10 页 共 18 页 十字相乘法 2 xpq xpqxpxq 拆项法 添项法 常考题提高练习 一 选择题 1 下列运算中 结果正确的是 A x 3 x3 x6 B 3x 2 2x2 5x4 C x 2 3 x5 D x y 2 x2 y2 2 计算 ab 2 3 的结果是 A ab 5 B ab 6 C a 3b5 D a 3b6 3 计算 2x 2 3x3 的结果是 A 6x 5 B 6x 5 C 2x 6 D 2x 6 4 下列各式由左边到右边的变形中 是分解因式的为 A a x y ax ay B x 2 4x 4 x x 4 4 C 10 x 2 5x 5x 2x 1 D x 2 16 3x x 4 x 4 3x 5 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 A a 2 b 2 B 5m 2 20mn C x 2 y 2 D x 2 9 6 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是 A x 2 x 1 B x 2 2x 1 C x 2 1 D x 2 6x 9 7 下列因式分解错误的是 A x 2 y2 x y x y B x 2 6x 9 x 3 2 C x 2 xy x x y D x 2 y2 x y 2 8 把代数式 ax 2 4ax 4a 分解因式 下列结果中正确的是 A a x 2 2 B a x 2 2 C a x 4 2 D a x 2 x 2 9 x m x 3 的乘积中不含x 的一次项 则m的值为 A 3 B 3 C 0 D 1 10 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形 a b 如图甲 把余下的部分拼成一个矩形 如图乙 根据两个图 形中阴影部分的面积相等 可以验证 第 11 页 共 18 页 A a b 2 a2 2ab b2 B a b 2 a2 2ab b2 C a 2 b2 a b a b D a 2b a b a 2 ab 2b2 11 图 1 是一个长为2a 宽为 2b a b 的长方形 用剪刀沿图中虚线 对称轴 剪开 把它分成四块形状和大小都一样的小长 方形 然后按图 2 那样拼成一个正方形 则中间空的部分的面积是 A ab B a b 2 C a b 2 D a 2 b2 二 填空题 分解因式 3x 2 27 x 3 4x 2a 2 4a 2 ab 2 2ab a 三 解答题 1 计算 x y 2 y 2x y 2x 2 若 2x 5y 3 0 求 4 x 32y 的值 3 已知 a b 3 ab 2 求下列各式的值 1 a 2b ab2 2 a 2 b2 4 若 x y 3 且 x 2 y 2 12 1 求 xy 的值 2 求 x 2 3xy y2 的值 5 先化简 再求值3a 2a 2 4a 3 2a2 3a 4 其中 a 2 第 12 页 共 18 页 6 计算 2a b 1 2a b 1 7 分解因式 1 a 4 16 2 x 2 2xy y2 9 3 x 2 x y y x 4 a 2 x y 16 y x 5 x 2 y2 2 4x2y2 8 若 x 2 2xy y2 a x y 25 是完全平方式 求 a 的值 第 13 页 共 18 页 分式知识点总结和常考题 知识点 1 分式 形如 A B A B 是整式 B中含有字母且B不等于 0 的整式叫做分式 其中A叫做分式的分子 B叫做分式的分母 2 分式有意义的条件 分母不等于0 3 分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以 或除以 同一个不为0 的整式 分式的值不变 4 约分 把一个分式的分子和分母的公因式 不为 1 的数 约去 这种变形称为约分 5 通分 异分母的分式可以化成同分母的分式 这一过程叫做通分 6 最简分式 一个分式的分子和分母没有公因式时 这个分式称为最简分式 约分时 一般将一个分式化为最简分式 7 分式的四则运算 同分母分式加减法则 同分母的分式相加减 分母不变 把分子相加减 用字母表示为 abab ccc 异分母分式加减法则 异分母的分式相加减 先通分 化为同分母的分式 然后再按同分母分式的加减法法则进行计算 用字母表示 为 acadcb bdbd 分式的乘法法则 两个分式相乘 把分子相乘的积作为积的分子 把分母相乘的积作为积的分母 用字母表示为 acac bdbd 分式的除法法则 两个分式相除 把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 用字母表示为 acadad bdbcbc 分式的乘方法则 分子 分母分别乘方 用字母表示为 n n n aa bb 8 整数指数幂 mnm n aaa mn 是整数 n mmn aa mn 是整数 n nn aba b n是整数 mnmn aaa 0a mn 是整数 n n n aa bb n是正整数 第 14 页 共 18 页 1 n n a a 0a n 是正整数 9 分式方程的意义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 10 分式方程的解法 去分母 方程两边同时乘以最简公分母 将分式方程化为整式方程 按解整式方程的步骤求出未知 数的值 验根 求出未知数的值后必须验根 因为在把分式方程化为整式方程的过程中 扩大了未知数的取值范围 可能产 生增根 常考题提高训练 一 选择题 1 在式子 中 分式的个数有 A 2 个 B 3 个C 4 个 D 5 个 2 化简的结果是 A x 1 B x 1 C x D x 3 如果把分式中的 x 和 y 都扩大 2 倍 则分式的值 A 扩大 4 倍 B 扩大 2 倍C 不变 D 缩小 2 倍 4 把分式方程的两边同时乘以 x 2 约去分母 得 A 1 1 x 1 B 1 1 x 1 C 1 1 x x 2 D 1 1 x x 2 5 化简 1 的结果是 A B C D 6 计算的结果为 A B C D 7 已知关于x 的分式方程 1 的解是非负数 则m的取值范围是 A m 2 B m 2 C m 2 且 m 3 D m 2 且 m 3 8 下列运算正确的是 A a 2 a3 a6 B 1 2 C 4 D 6 6 第 15 页 共 18 页 9 某服装加工厂计划加工400 套运动服 在加工完160 套后 采用了新技术 工作效率比原计划提高了20 结果共用了18 天完成 全部任务 设原计划每天加工x 套运动服 根据题意可列方程为 A B C D 10 货车行驶 25 千米与小车行驶35 千米所用时间相同 已知小车每小时比货车多行驶20 千米 求两车的速度各为多少 设货车的速 度为 x 千米 小时 依题意列方程正确的是 A B C D 11 A B 两地相距 48 千米 一艘轮船从A地顺流航行至B地 又立即从B地逆流返回A地 共用去9 小时 已知水流速度为4 千米 时 若设该轮船在静水中的速度为x 千米 时 则可列方程 A B C 4 9 D 12 计算的结果为 A 1 B x 1 C D 13 若分式 A B 为常数 则A B的值为 A B C D 二 填空题 1 计算 2 若分式有意义 则实数x 的取值范围是 3 若代数式的值为零 则x 4 若关于 x 的方程 1 无解 则 a 的值是 5 已知关于x 的方程的解是正数 则m的取值范围是 6 某工厂现在平均每天比原计划多生产50 台机器 现在生产600 台机器所需时间与原计划生产450 台机器所需时间相同 现在平均 每天生产台机器 7 杭州到北京的铁路长1487 千米 火车的原平均速度为x 千米 时 提速后平均速度增加了70 千米 时 由杭州到北京的行驶时间缩 短了 3 小时 则可列方程为 三 解答题 1 先化简 再求值 其中 第 16 页 共 18 页 2 先化简代数式 然后选取一个使原式有意义的a 值代入求值 3 已知 x 3y 0 求 x y 的值 4 解方程 5 先化简 再求值 其中 x 是不等式 3x 7 1 的负整数解 6 先化简 a 1 然后 a 在 1 1 2 三个数中任选一个合适的数代入求值 7 2017 广州 已知A 1 化简 A 2 当 x 满足不等式组 且 x 为整数时 求A的值 第 17 页 共 18 页 8 甲 乙两个工程队共同承担一项筑路任务 甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10 天 且甲队单独施工 45 天和乙队单独施工30 天的工作量相同 1 甲 乙两队单独完成此项任务需要多少天 2 若甲 乙两队共同工作了3 天后 乙队因设备检修停止施工 由甲队继续施工 为了不影响工程进度 甲队的工作效率提高到原 来的 2 倍 要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2 倍 那么甲队至少再单独施工多