新课标高中数学——常用公式及常用结论大全

新课标 袁轲教学资料 高中数学 新课标 袁轲教学资料 高中数学 1 新课标 高中数学常用公式及常用结论 1 元素与集合的关系元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA 2 2 德摩根公式德摩根公式 UUUUUU CABC AC B CABC AC B 3 3 包含关系包含关系 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 4 4 容斥原理容斥原理 card ABcardAcardBcard AB card ABCcardAcardBcardCcard AB card ABcard BCcard CAcard ABC 5 5 集合 集合的子集个数共有的子集个数共有 个 真子集有个 真子集有 1 1 个 非空子集有个 非空子集有 1 1 个 非空的真子集个 非空的真子集 12 n a aa 2n2n2n 有有 2 2 个个 2n 6 6 二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式 1 1 一般式一般式 2 0 f xaxbxc a 2 2 顶点式顶点式 2 0 f xa xhk a 3 3 零点式零点式 12 0 f xa xxxxa 7 解连不等式解连不等式常有以下转化形式常有以下转化形式 Nf xM Nf xM 0f xMf xN 22 MNMN f x 0 f xN Mf x 11 f xNMN 8 8 方程方程在在上有且只有一个实根上有且只有一个实根 与与不等价不等价 前者是后者的一个必要而不是前者是后者的一个必要而不是0 xf 21 kk0 21 kfkf 充分条件充分条件 特别地特别地 方程方程有且只有一个实根在有且只有一个实根在内内 等价于等价于 或或 0 0 2 acbxax 21 kk0 21 kfkf 且且 或或且且 0 1 kf 22 21 1 kk a b k 0 2 kf 2 21 22 k a bkk 9 9 闭区间上的二次函数的最值闭区间上的二次函数的最值 二次函数二次函数在闭区间在闭区间上的最值只能在上的最值只能在处及区间的两端点处取得 处及区间的两端点处取得 0 2 acbxaxxf qp a b x 2 具体如下 具体如下 1 1 当当 a 0a 0 时 若时 若 则 则 qp a b x 2 minmaxmax 2 b f xff xf pf q a qp a b x 2 maxmax f xf pf q minmin f xf pf q 2 2 当当 a 0a0 a 0 1 1 则 则的周期的周期 T aT a axfxf xf 2 2 0 axfxf 或或 0 1 xf xf axf 或或 1 f xa f x 0 f x 或或 则则的周期的周期 T 2aT 2a 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x xf 3 3 则 则的周期的周期 T 3aT 3a 0 1 1 xf axf xf xf 4 4 且且 则 则的周期的周期 T 4aT 4a 1 21 21 21 xfxf xfxf xxf 1212 1 1 0 2 f af xf xxxa xf 5 5 2 3 4 f xf xaf xa f xaf xa 则则的周期的周期 T 5aT 5a 2 3 4 f x f xa f xa f xa f xa xf 6 6 则 则的周期的周期 T 6a T 6a axfxfaxf xf 新课标 袁轲教学资料 高中数学 新课标 袁轲教学资料 高中数学 5 30 30 分数指数幂分数指数幂 1 1 且 且 1 m n nm a a 0 am nN 1n 2 2 且 且 1 m n m n a a 0 am nN 1n 3131 根式的性质 根式的性质 1 1 n n aa 2 2 当 当为奇数时 为奇数时 n nn aa 当当为偶数时 为偶数时 n 0 0 nn a a aa a a 3232 有理指数幂的运算性质 有理指数幂的运算性质 1 1 0 rsr s aaaar sQ 2 2 0 rsrs aaar sQ 3 3 0 0 rrr aba b abrQ 注 注 若若 a a 0 0 p p 是一个无理数 则是一个无理数 则 a ap p表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性质 对于无理数指表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性质 对于无理数指 数幂都适用数幂都适用 33 33 指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 34 34 对数的换底公式对数的换底公式 且且 且且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 推论推论 且且 且且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 0m n 1m 1n 0N 3535 对数的四则运算法则 对数的四则运算法则 若若 a a 0 0 a 1a 1 M M 0 0 N N 0 0 则 则 1 1 log loglog aaa MNMN 2 2 logloglog aaa M MN N 3 3 loglog n aa MnM nR 36 36 设函数设函数 记记 若若的定义域为的定义域为 则则 且 且 0 log 2 acbxaxxf m acb4 2 xfR0 a 若若的值域为的值域为 则则 且 且 对于对于的情形的情形 需要单独检验需要单独检验 0 xfR0 a0 0 a 37 37 对数换底不等式及其推广对数换底不等式及其推广 若若 则函数则函数 0a 0b 0 x 1 x a log ax ybx 1 1 当当时时 在在和和上上为增函数为增函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 2 2 当当时时 在在和和上上为减函数为减函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 推论推论 设设 且 且 则 则 1nm 0p 0a 1a 1 log log mpm npn 2 2 logloglog 2 aaa mn mn 新课标 袁轲教学资料 高中数学 新课标 袁轲教学资料 高中数学 6 38 38 平均增长率的问题平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N 平均增长率为 平均增长率为 则对于时间 则对于时间的总产值的总产值 有 有 pxy 1 xyNp 39 39 数列的同项公式与前数列的同项公式与前 n n 项的和的关系项的和的关系 数列数列的前的前 n n 项的和为项的和为 1 1 1 2 n nn sn a ssn n a 12nn saaa 40 40 等差数列的等差数列的通项公式通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 41 41 等比数列的等比数列的通项公式通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前其前 n n 项的和公式为项的和公式为 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 或或 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 42 42 等比差数列等比差数列 的通项公式为的通项公式为 n a 11 0 nn aqad ab q 1 1 1 1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 1 1 1 1 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq 43 分期付款分期付款 按揭贷款按揭贷款 每次还款每次还款元元 贷款贷款元元 次还清次还清 每期利率为每期利率为 1 1 1 n n abb x b anb 44 常见三角不等式 常见三角不等式 1 若 若 则 则 0 2 x sintanxxx 2 若若 则 则 0 2 x 1sincos2xx 3 sin cos 1xx 45 45 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 新课标 袁轲教学资料 高中数学 新课标 袁轲教学资料 高中数学 7 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 46 46 正弦 余弦的诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 正弦 余弦的诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 2 1 2 1 sin sin 2 1 s n n n co 2 1 2 1 s s 2 1 sin n n co n co 47 47 和角与差角公式和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan 平方正弦公式平方正弦公式 22 sin sin sinsin 22 cos cos cossin 辅助角辅助角所在象限由点所在象限由点的象限决定的象限决定 sincosab 22 sin ab a btan b a 48 48 二倍角公式二倍角公式 sin2sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 49 49 三倍角公式三倍角公式 3 sin33sin4sin4sinsin sin 33 3 cos34cos3cos4coscos cos 33 3 2 3tantan tan3tantan tan 1 3tan33 50 50 三角函数的周期公式三角函数的周期公式 函数函数 x Rx R 及函数及函数 x R x R A A 为常数 且为常数 且 A A 0 0 0 0 的周期的周期sin yx cos yx 函数 函数 A A 为常数 且为常数 且 A A 0 0 0 0 的周期的周期 2 T tan yx 2 xkkZ T 51 51 正弦定理正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 52 52 余弦定理余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 53 53 面积定理面积定理 1 1 分别分别 111 222 abc Sahbhch abc hhh 表示表示 a a b b c c 边上的高 边上的高 n 为偶数 n 为奇数 n 为偶数 n 为奇数 新课标 袁轲教学资料 高中数学 新课标 袁轲教学资料 高中数学 8 2 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 3 3 22 1 2 OAB SOAOBOA OB 54 54 三角形内角和定理三角形内角和定理 在在 ABC ABC 中 有中 有 ABCCAB 222 CAB 222 CAB 55 55 简单的三角方程的通解简单的三角方程的通解 sin 1 arcsin 1 k xaxka kZa s2arccos 1 co xaxka kZa tanarctan xaxka kZ aR 特别地特别地 有有 sinsin 1 k kkZ scos2 cokkZ tantan kkZ 56 56 最简单的三角不等式及其解集最简单的三角不等式及其解集 sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ cos 1 2arccos 2arccos xa axkaka kZ cos 1 2arccos 22arccos xa axkaka kZ tan arctan 2 xa aRxka kkZ tan arctan 2 xa aRxkka kZ 57 57 实数与向量的积的运算律实数与向量的积的运算律 设设 为实数 那么为实数 那么 1 1 结合律 结合律 a a a a 2 2 第一分配律 第一分配律 a a a a a a 3 3 第二分配律 第二分配律 a b a b a b a b 58 58 向量的数量积的运算律 向量的数量积的运算律 1 1 a a b b b b a a 交换律 交换律 2 2 a a b b a a b b a a b b a a b b 3 3 a a b b c c a a c c b c b c 59 59 平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果 e e1 1 e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 1 1 2 2 使得 使得 a a 1 1e e1 1 2 2e e2 2 不共线的向量不共线的向量 e e1 1 e e2 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 6060 向量平行的坐标表示 向量平行的坐标表示 设设 a a b b 且 且 b b0 0 则 则 a a b bb b0 0 11 x y 22 xy A 1221 0 x yx y 53 53 a a与与 b b 的数量积的数量积 或内积或内积 a a b b a a b cos b cos 61 61 a b 的几何意义的几何意义 数量积数量积 a b 等于等于 a 的长度的长度 a 与与 b 在在 a 的方向上的投影的方向上的投影 b cos 的乘积 的乘积 62 62 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 1 1 设设 a a b b 则 则 a b a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 新课标 袁轲教学资料 高中数学 新课标 袁轲教学资料 高中数学 9 2 2 设设 a a b b 则 则 a b a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 3 3 设设 A A B B 则则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 4 4 设设 a a 则 则a a x yR xy 5 5 设设 a a b b 则 则 a b a b 11 x y 22 xy 1212 x xy y 63 63 两向量的夹角公式两向量的夹角公式 a a b b 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy 11 x y 22 xy 64 64 平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式 A B d ABAB AB A A B B 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy 65 65 向量的平行与垂直向量的平行与垂直 设设 a a b b 且 且 b b0 0 则 则 11 x y 22 xy A bA bb ab a 1221 0 x yx y a ab ab a0 0 a a b 0 b 0 1212 0 x xy y 66 66 线段的定比分公式线段的定比分公式 设设 是线段是线段的分点的分点 是实数 且是实数 且 则 则 111 P x y 222 P xy P x y 12 PP 12 PPPP 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 67 67 三角形的重心坐标公式三角形的重心坐标公式 ABC ABC 三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为 则则 ABC ABC 的重心的坐标是的重心的坐标是 11 A x y 22 B x y 33 C x y 123123 33 xxxyyy G 68 68 点的平移公式点的平移公式 xxhxxh yykyyk OPOPPP 注注 图形图形 F F 上的任意一点上的任意一点 P xP x y y 在平移后图形在平移后图形上的对应点为上的对应点为 且 且的坐标为的坐标为 F P x y PP h k 69 69 按向量平移按向量平移 的几个结论的几个结论 1 1 点 点按向量按向量 a a 平移后得到点平移后得到点 P x y h k P xh yk 2 2 函数函数的图象的图象按向量按向量 a a 平移后得到图象平移后得到图象 则则的函数解析式为的函数解析式为 yf x C h k C C yf xhk 3 3 图象图象按向量按向量 a a 平移后得到图象平移后得到图象 若若的解析式的解析式 则则的函数解析式为的函数解析式为 C h kCC yf x C yf xhk 4 4 曲线曲线 按向量按向量 a a 平移后得到图象平移后得到图象 则则的方程为的方程为 C 0f x y h k C C 0f xh yk 5 5 向量向量 m m 按向量按向量 a a 平移后得到的向量仍然为平移后得到的向量仍然为 m m x y h k x y 70 70 三角形五三角形五 心心 向量形式的充要条件向量形式的充要条件 设设为为所在平面上一点 角所在平面上一点 角所对边长分别为所对边长分别为 则 则OABC A B C a b c 1 1 为为的外心的外心 OABC 222 OAOBOC 2 2 为为的重心的重心 OABC 0OAOBOC 新课标 袁轲教学资料 高中数学 新课标 袁轲教学资料 高中数学 10 3 3 为为的垂心的垂心 OABC OA OBOB OCOC OA 4 4 为为的内心的内心 OABC 0aOAbOBcOC 5 5 为为的的的旁心的旁心 OABC A aOAbOBcOC 71 71 常用不等式 常用不等式 1 1 当且仅当当且仅当 a a b b 时取时取 号号 a bR 22 2abab 2 2 当且仅当当且仅当 a a b b 时取时取 号号 a bR 2 ab ab 3 3 333 3 0 0 0 abcabc abc 4 4 柯西不等式 柯西不等式 22222 abcdacbda b c dR 5 5 bababa 72 72 极值定理极值定理 已知已知都是正数 则有都是正数 则有yx 1 1 若积 若积是定值是定值 则当 则当时和时和有最小值有最小值 xypyx yx p2 2 2 若和 若和是定值是定值 则当 则当时积时积有最大值有最大值 yx syx xy 2 4 1 s 推广推广 已知已知 则有 则有Ryx xyyxyx2 22 1 1 若积 若积是定值是定值 则当则当最大时最大时 最大 最大 xy yx yx 当当最小时最小时 最小最小 yx yx 2 2 若和 若和是定值是定值 则当则当最大时最大时 最小 最小 yx yx xy 当当最小时最小时 最大最大 yx xy 73 73 一元二次不等式一元二次不等式 如果 如果与与同号 则其同号 则其 2 0 0 axbxc 或 2 0 40 abac a 2 axbxc 解集在两根之外 如果解集在两根之外 如果与与异号 则其解集在两根之间异号 则其解集在两根之间 简言之 同号两根之外 异号两根之简言之 同号两根之外 异号两根之a 2 axbxc 间间 121212 0 xxxxxxxxx 121212 0 xxxxxxxxxx 或 74 74 含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式 当当 a a 0 0 时 有时 有 2 2 xaxaaxa 或或 22 xaxaxa xa 75 75 无理不等式无理不等式 1 1 0 0 f x f xg xg x f xg x 2 2 2 0 0 0 0 f x f x f xg xg x g x f xg x 或 3 3 2 0 0 f x f xg xg x f xg x 76 76 指数不等式与对数不等式指数不等式与对数不等式 1 1 当当时时 1a 新课标 袁轲教学资料 高中数学 新课标 袁轲教学资料 高中数学 11 f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 2 2 当当时时 01a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 77 斜率公式斜率公式 21 21 yy k xx 111 P x y 222 P xy 78 直线的五种方程直线的五种方程 1 点斜式 点斜式 直线直线 过点过点 且斜率为 且斜率为 11 yyk xx l 111 P x yk 2 2 斜截式 斜截式 b b 为直线为直线 在在 y y 轴上的截距轴上的截距 ykxb l 3 3 两点式 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 12 xx 4 4 截距式截距式 分别为直线的横 纵截距 分别为直线的横 纵截距 1 xy ab ab 0ab 5 5 一般式 一般式 其中其中 A B 不同时为不同时为 0 0AxByC 79 两条直线的平行和垂直两条直线的平行和垂直 1 若若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1212 1llk k 2 若若 且且 A1 A2 B1 B2都不为零都不为零 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 111 12 222 ABC ll ABC 121212 0llA AB B 80 夹角公式夹角公式 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线直线时 直线时 直线 l1与与 l2的夹角是的夹角是 12 ll 2 81 到到的角公式的角公式 1 l 2 l 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 新课标 袁轲教学资料 高中数学 新课标 袁轲教学资料 高中数学 12 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线直线时 直线时 直线 l1到到 l2的角是的角是 12 ll 2 8282 四种常用直线系方程 四种常用直线系方程 1 1 定点直线系方程 经过定点定点直线系方程 经过定点的直线系方程为的直线系方程为 除直线除直线 其中其中是待是待 000 P xy 00 yyk xx 0 xx k 定的系数定的系数 经过定点经过定点的直线系方程为的直线系方程为 其中其中是待定的系数 是待定的系数 000 P xy 00 0A xxB yy A B 2 2 共点直线系方程 经过两直线共点直线系方程 经过两直线 的交点的直线系方程为的交点的直线系方程为 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 除除 其中 其中 是待定的系数 是待定的系数 111222 0AxB yCA xB yC 2 l 3 3 平行直线系方程 直线平行直线系方程 直线中当斜率中当斜率 k k 一定而一定而 b b 变动时 表示平行直线系方程 与直线变动时 表示平行直线系方程 与直线ykxb 平行的直线系方程是平行的直线系方程是 是参变量 是参变量 0AxByC 0AxBy 0 4 4 垂直直线系方程 与直线垂直直线系方程 与直线 A 0 A 0 B 0 B 0 垂直的直线系方程是垂直的直线系方程是 0AxByC 0BxAy 是参变量 是参变量 83 点到直线的距离点到直线的距离 点点 直线直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 84 84 或或所表示的平面区域所表示的平面区域0AxByC 0 设直线设直线 则 则或或所表示的平面区域是 所表示的平面区域是 0l AxByC 0AxByC 0 若若 当 当与与同号时 表示直线同号时 表示直线 的上方的区域 当的上方的区域 当与与异号时 表示直线异号时 表示直线0B BAxByC lBAxByC 的下方的区域的下方的区域 简言之简言之 同号在上同号在上 异号在下异号在下 l 若若 当 当与与同号时 表示直线同号时 表示直线 的右方的区域 当的右方的区域 当与与异号时 表示直线异号时 表示直线0B AAxByC lAAxByC 的左方的区域的左方的区域 简言之简言之 同号在右同号在右 异号在左异号在左 l 85 85 或或所表示的平面区域所表示的平面区域 111222 0AxB yCA xB yC 0 设曲线设曲线 则 则 111222 0CAxB yCA xB yC 1212 0A A B B 或或所表示的平面区域是 所表示的平面区域是 111222 0AxB yCA xB yC 0 所表示的平面区域上下两部分 所表示的平面区域上下两部分 111222 0AxB yCA xB yC 所表示的平面区域上下两部分所表示的平面区域上下两部分 111222 0AxB yCA xB yC 86 圆的四种方程圆的四种方程 1 1 圆的标准方程 圆的标准方程 222 xaybr 2 2 圆的一般方程 圆的一般方程 0 0 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 3 3 圆的参数方程 圆的参数方程 cos sin xar ybr 4 4 圆的直径式方程 圆的直径式方程 圆的直径的端点是圆的直径的端点是 1212 0 xxxxyyyy 11 A x y 22 B xy 87 87 圆系方程圆系方程 1 1 过点过点 的圆系方程是的圆系方程是 11 A x y 22 B xy 1212112112 0 xxxxyyyyxxyyyyxx 其中其中是直线是直线的方程的方程 是待定的是待定的 1212 0 xxxxyyyyaxbyc 0axbyc AB 系数 系数 2 2 过直线过直线 与圆与圆 的交点的圆系方程是的交点的圆系方程是l0AxByC C 22 0 xyDxEyF 是待定的系数 是待定的系数 22 0 xyDxEyFAxByC 3 3 过圆过圆 与圆与圆 的交点的圆系方程是的交点的圆系方程是 1 C 22 111 0 xyD xE yF 2 C 22 222 0 xyD xE yF 新课标 袁轲教学资料 高中数学 新课标 袁轲教学资料 高中数学 13 是待定的系数 是待定的系数 2222 111222 0 xyD xE yFxyD xE yF 88 88 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 点点与圆与圆的位置关系有三种的位置关系有三种 00 P xy 222 rbyax 若若 则 则 22 00 daxby 点点在圆外在圆外 点点在圆上在圆上 点点在圆内在圆内 dr Pdr Pdr P 89 89 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 直线直线与圆与圆的位置关系有三种的位置关系有三种 0 CByAx 222 rbyax 0 交交rd 0 交交rd 0 交交rd 其中其中 22 BA CBbAa d 90 90 两圆位置关系的判定方法两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为设两圆圆心分别为 O O1 1 O O2 2 半径分别为 半径分别为 r r1 1 r r2 2 dOO 21 交交交交交交4 21 rrd 交交交交交交3 21 rrd 交交交交交交2 2121 rrdrr 交交交交交交1 21 rrd 交交交交交交 21 0rrd 91 91 圆的切线方程圆的切线方程 1 1 已知圆已知圆 22 0 xyDxEyF 若已知切点若已知切点在圆上 则切线只有一条 其方程是在圆上 则切线只有一条 其方程是 00 xy 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 当当圆外时圆外时 表示过两个切点的切点弦方程 表示过两个切点的切点弦方程 00 xy 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 过圆外一点的切线方程可设为过圆外一点的切线方程可设为 再利用相切条件求 再利用相切条件求 k k 这时必有两条切线 注意 这时必有两条切线 注意 00 yyk xx 不要漏掉平行于不要漏掉平行于 y y 轴的切线 轴的切线 斜率为斜率为 k k 的切线方程可设为的切线方程可设为 再利用相切条件求 再利用相切条件求 b b 必有两条切线 必有两条切线 ykxb 2 2 已知圆已知圆 222 xyr 过圆上的过圆上的点的切线方程为点的切线方程为 000 P xy 2 00 x xy yr 斜率为斜率为的圆的切线方程为的圆的切线方程为 k 2 1ykxrk 92 92 椭圆椭圆的参数方程是的参数方程是 22 22 1 0 xy ab ab cos sin xa yb 93 93 椭圆椭圆焦半径公式焦半径公式 22 22 1 0 xy ab ab 2 1 c a xePF 2 2 x c a ePF 9494 椭圆的的内外部 椭圆的的内外部 1 1 点 点在椭圆在椭圆的内部的内部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 新课标 袁轲教学资料 高中数学 新课标 袁轲教学资料 高中数学 14 2 2 点 点在椭圆在椭圆的外部的外部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 95 95 椭圆的切线方程椭圆的切线方程 1 1 椭圆椭圆上一点上一点处的切线方程是处的切线方程是 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 2 过椭圆 过椭圆外一点外一点所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 3 椭圆 椭圆与直线与直线相切的条件是相切的条件是 22 22 1 0 xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 96 96 双曲线双曲线的焦半径公式的焦半径公式 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 1 a PFe x c 2 2 a PFex c 97 97 双曲线的内外部双曲线的内外部 1 1 点点在双曲线在双曲线的内部的内部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 2 点点在双曲线在双曲线的外部的外部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 98 98 双曲线的方程与渐近线方程的关系双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 1 若双曲线方程为 若双曲线方程为渐近线方程 渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 2 若渐近线方程为若渐近线方程为双曲线可设为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 3 若双曲线与若双曲线与有公共渐近线 可设为有公共渐近线 可设为 焦点在 焦点在 x x 轴上 轴上 焦点 焦点1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 0 在在 y y 轴上 轴上 99 99 双曲线的切线方程双曲线的切线方程 1 1 双曲线双曲线上一点上一点处的切线方程是处的切线方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 2 过双曲线 过双曲线外一点外一点所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 3 双曲线 双曲线与直线与直线相切的条件是相切的条件是 22 22 1 0 0 xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 100 100 抛物线抛物线的焦半径公式的焦半径公式pxy2 2 抛物线抛物线焦半径焦半径 2 2 0 ypx p 0 2 p CFx 过焦点弦长过焦点弦长 pxx p x p xCD 2121 22 101 101 抛物线抛物线上的动点可设为上的动点可设为 P P或或 P P 其中 其中 pxy2 2 2 2 y p y 交 2 2 2 ptptP x y 2 2ypx 新课标 袁轲教学资料 高中数学 新课标 袁轲教学资料 高中数学 15 102 102 二次函数二次函数的图象是抛物线 的图象是抛物线 1 1 顶点坐标为 顶点坐标为 2 22 4 24 bacb yaxbxca x aa 0 a 2 2 焦点的坐标为 焦点的坐标为 3 3 准线方程是 准线方程是 2 4 24 bacb aa 2 41 24 bacb aa 2 41 4 acb y a 103 103 抛物线的内外部抛物线的内外部 1 1 点点在抛物线在抛物线的内部的内部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 点点在抛物线在抛物线的外部的外部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 2 2 点点在抛物线在抛物线的内部的内部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 点点在抛物线在抛物线的外部的外部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 3 3 点点在抛物线在抛物线的内部的内部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 点点在抛物线在抛物线的外部的外部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 4 4 点点在抛物线在抛物线的内部的内部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 点点在抛物线在抛物线的外部的外部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 104 104 抛物线的切线方程抛物线的切线方程 1 1 抛物线抛物线上一点上一点处的切线方程是处的切线方程是 pxy2 2 00 P xy 00 y yp xx 2 2 过抛物线 过抛物线外一点外一点所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 pxy2 2 00 P xy 00 y yp xx 3 3 抛物线 抛物线与直线与直线相切的条件是相切的条件是 2 2 0 ypx p 0AxByC 2 2pBAC 105 105 两个常见的曲线系方程两个常见的曲线系方程 1 1 过曲线过曲线 的交点的曲线系方程是的交点的曲线系方程是 1 0f x y 2 0fx y 为参数为参数 12 0f x yfx y 2 2 共焦点的有心圆锥曲线系方程共焦点的有心圆锥曲线系方程 其中其中 当当时时 表示椭表示椭 22 22 1 xy akbk 22 max ka b 22 min ka b 圆圆 当当时时 表示双曲线表示双曲线 2222 min max a bka b 106 106 直线与圆锥曲线相交的弦长公式直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或或 22 1212 ABxxyy 弦端点 弦端点 A A 2222 211212 1 1tan 1tABkxxxxyyco 2211 yxByx 由方程由方程 消去消去 y y 得到得到 为直线为直线的倾斜角 的倾斜角 为直线的斜率 为直线的斜率 0 y x F bkxy 0 2 cbxax0 ABk 107 107 圆锥曲线的两类对称问题圆锥曲线的两类对称问题 1 1 曲线 曲线关于点关于点成中心对称的曲线是成中心对称的曲线是 0F x y 00 P xy 00 2 2 0Fx xyy 2 2 曲线 曲线关于直线关于直线成轴对称的曲线是成轴对称的曲线是 0F x y 0AxByC 2222 2 2 0 A AxByCB AxByC F xy ABAB 108 108 四线四线 一方程一方程 对于一般的二次曲线对于一般的二次曲线 用 用代代 用 用代代 用 用代代 22 0AxBxyCyDxEyF 0 x x 2 x 0 y y 2 y 00 2 x yxy 用 用代代 用 用代代即得方程即得方程xy 0 2 xx x 0 2 yy y 曲线的切线 切点弦 中点弦 弦中点方程均 曲线的切线 切点弦 中点弦 弦中点方程均 0000 00 0 222 x yxyxxyy Ax xBCy yDEF 是此方程得到是此方程得到 109109 证明直线与直线的平行的思考途径 证明直线与直线的平行的思考途径 1 转化为判定共面二直线无交点 转化为判定共面二直线无交点 新课标 袁轲教学资料 高中数学 新课标 袁轲教学资料 高中数学 16 2 转化为二直线同与第三条直线平行 转化为二直线同与第三条直线平行 3 转化为线面平行 转化为线面平行 4 转化为线面垂直 转化为线面垂直 5 转化为面面平行 转化为面面平行 110 证明直线与平面的平行的思考途径 证明直线与平面的平行的思考途径 1 转化为直线与平面无公共点 转化为直线与平面无公共点 2 转化为线线平行 转化为线线平行 3 转化为面面平行 转化为面面平行 111 证明平面与平面平行的思考途径 证明平面与平面平行的思考途径 1 转化为判定二平面无公共点 转化为判定二平面无公共点 2 转化为线面平行 转化为线面平行 3 转化为线面垂直 转化为线面垂直 112 证明直线与直线的垂直的思考途径 证明直线与直线的垂直的思考途径 1 转化为相交垂直 转化为相交垂直 2 转化为线面垂直 转化为线面垂直 3 转化为线与另一线的射影垂直 转化为线与另一线的射影垂直 4 转化为线与形成射影的斜线垂直 转化为线与形成射影的斜线垂直 113 证明直线与平面垂直的思考途径 证明直线与平面垂直的思考途径 1 转化为该直线与平面内任一直线垂直 转化为该直线与平面内任一直线垂直 2 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 3 转化为该直线与平面的一条垂线平行 转化为该直线与平面的一条垂线平行 4 转化为该直线垂直于另一个平行平面 转化为该直线垂直于另一个平行平面 5 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 114 证明平面与平面的垂直的思考途径 证明平面与平面的垂直的思考途径 1 转化为判断二面角是直二面角 转化为判断二面角是直二面角 2 转化为线面垂直 转化为线面垂直 115 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 1 1 加法交换律 加法交换律 a a b bb b a a 2 2 加法结合律 加法结合律 a a b b c ac a b b c c 3 3 数乘分配律 数乘分配律 a a b ab a b b 116 116 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点 的对角线所表示的向量的对角线所表示的向量 117 共线向量定理共线向量定理 对空间任意两个向量对空间任意两个向量 a b b 0 a b存在实数存在实数 使使 a b 三点共线三点共线 PAB APAB APtAB 1 OPt OAtOB 共线且共线且不共线不共线且且不共线不共线 AB CD AB CD ABCD ABtCD ABCD 118 118 共面向量定理共面向量定理 向量向量 p p 与两个不共线的向量与两个不共线的向量 a a b b 共面的共面的存在实数对存在实数对 使使 x ypaxby 推论推论 空间一点空间一点 P P 位于平面位于平面 MABMAB 内的内的存在有序实数对存在有序实数对 使使 x yMPxMAyMB 或对空间任一定点或对空间任一定点 O O 有序实数对 有序实数对 使 使 x yOPOMxMAyMB 119 119 对空间任一点对空间任一点和不共线的三点和不共线的三点 A A B B C C 满足 满足 则当 则当OOPxOAyOBzOC xyzk 时 对于空间任一点时 对于空间任一点 总有 总有 P P A A B B C C 四点共面 当四点共面 当时 若时 若平面平面 ABCABC 则 则 P P A A B B C C 四点四点1k O1k O 共面 若共面 若平面平面 ABCABC 则 则 P P A A B B C C 四点不共面 四点不共面 O 四点共面四点共面与与 共面共面 C AB D AD AB AC ADxAByAC 平面平面 ABCABC 1 ODxy OAxOByOC O 120 120 空间向量基本定理空间向量基本定理 如果三个向量如果三个向量 a a b b c c 不共面 那么对空间任一向量不共面 那么对空间任一向量 p p 存在一个唯一的有序实数组 存在一个唯一的有序实数组 x x y y z z 使 使 p p xaxa ybyb zczc 新课标 袁轲教学资料 高中数学 新课标 袁轲教学资料 高中数学 17 推论推论 设设 O O A A B B C C 是不共面的四点 则对空间任一点是不共面的四点 则对空间任一点 P P 都存在唯一的三个有序实数 都存在唯一的三个有序实数 x x y y z z 使 使 OPxOAyOBzOC 121 121 射影公式射影公式 已知向量已知向量 a a和轴和轴 e e 是是 上与上与 同方向的单位向量同方向的单位向量 作作 A A 点在点在 上的射影上的射影 作 作 B B 点在点在 上的射影上的射影 AB llll Al B 则则 a a e e a a e e cosABAB 122 122 向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算 设设a a b b 则则 123 a a a 123 b b b 1 1 a a b b 112233 ab ab ab 2 2 a a b b 112233 ab ab ab 3 3 a a R R 123 aaa 4 4 a a b b 1 1223 3 aba ba b 123 123 设设 A A B B 则 则 111 x y z 222 xyz ABOBOA 212121 xx yy zz 124124 空间的线线平行或垂直 空间的线线平行或垂直 设设 则 则 111 ax y z r 222 bxyz r a b rr P 0 ab b rr rr 12 12 12 xx yy zz ab rr 0a b r r 12121 2 0 x xy yz z 125 125 夹角公式夹角公式 设设a a b b 则 则 123 a a a 123 b b b cos cos a a b b 1 1223 3 222222 123123 aba ba b aaabbb 推论推论 此即三维柯西不等式 此即三维柯西不等式 2222222 1 1223 3123123 aba ba baaabbb 126 126 四面体的对棱所成的角四面体的对棱所成的角 四面体四面体中中 与与所成的角为所成的角为 则则ABCDACBD 2222 cos 2 ABCDBCDA AC BD 127 异面直线所成角 异面直线所成角 cos cos a b r r 12121 2 222222 111222 x xy yz za b abxyzxyz r r rr 其中 其中 为异面直线 为异面直线所成角 所成角 分别表示异面直线分别表示异面直线的方向向量 的方向向量 090 oo a b a b r r a b 128 直线直线与平面所成角与平面所成角AB 为平面为平面的法向量的法向量 sin AB m arc AB m m 129 129 若若所在平面若所在平面若与过若与过若的平面的平面成的角成的角 另两边另两边 与平面与平面成的角分别是成的角分别是 ABC AB ACBC 1 为为的两个内角 则的两个内角 则 2 AB ABC 新课标 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