新北师大九年级数学下册第一章《直角三角形边角关系》

第 1 页 共 19 页 新北师大九年级数学下册第一章新北师大九年级数学下册第一章 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 小题 1 已知 A 为锐角 且 tanA 那么下列判断正确的是 A 0 A 30 B 30 A 45 C 45 A 60 D 60 A 90 2 在正方形网格中 的位置如图所示 则 tan 的值是 A B C D 2 3 如图 在 Rt ABC 中 BAC 90 AD BC 于点 D 则下列结论不正确的是 A B C D 4 在 Rt ABC 中 C 90 sinA 则 cosA 的值等于 A B C D 5 如图 在 Rt ABC 中 C 90 B 30 AB 8 则 BC 的长是 A B 4C 8D 4 6 如图 在 Rt ABC 中 B 90 A 30 以点 A 为圆心 BC 长为半径画弧交 AB 于点 D 分别以 点 A D 为圆心 AB 长为半径画弧 两弧交于点 E 连接 AE DE 则 EAD 的余弦值是 A B C D 第 2 题 第 3 题 第 5 题 第 6 题 第 7 题 7 如图 ABC 中 AB AC 4 C 72 D 是 AB 中点 点 E 在 AC 上 DE AB 则 cosA 的值为 A B C D 8 在 Rt ABC 中 C 90 则下列式子定成立的是 A sinA sinBB cosA cosBC tanA tanBD sinA cosB 9 如图 为了测量某建筑物 MN 的高度 在平地上 A 处测得建筑物顶端 M 的仰角 为 30 向 N 点方向前进 16m 到达 B 处 在 B 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 45 则建筑物 MN 的高度 等于 A 8 m B 8 mC 16 mD 16 m 10 如图 一艘轮船以 40 海里 时的速度在海面上航行 当它行驶到 A 处时 发现它的北偏东 30 方向有 一灯塔 B 轮船继续向北航行 2 小时后到达 C 处 发现灯塔 B 在它的北偏东 60 方向 若轮船继续向北航 行 那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近 第 2 页 共 19 页 A 1 小时B 小时C 2 小时D 小时 二 填空题 共二 填空题 共 6 小题 小题 11 求值 sin60 tan30 12 已知 tan 3 则 13 在 Rt ABC 中 C 90 cosA 则 tanA 14 如图 在直角三角形 ABC 中 C 90 AC 5 AB 10 则 A 度 15 一艘轮船在小岛 A 的北偏东 60 方向距小岛 80 海里的 B 处 沿正西方向航行 3 小时后到达小岛的北 偏西 45 的 C 处 则该船行驶的速度为 海里 小时 16 如图 在高楼 AB 前 D 点测得楼顶 A 的仰角为 30 向高楼前进 60 米到 C 点 又测得楼顶 A 的仰角 为 60 则该高楼 AB 的高度为 米 第第 14 题题 第第 15 题题 第第 16 题题 三 解答题 共三 解答题 共 9 小题 小题 17 计算 sin45 6tan30 2cos30 18 计算 19 在 Rt ABC 中 C 90 若 求 cosA sinB cosB 20 在 ABC 中 已知 C 90 sinA sinB 求 sinA sinB 的值 第 3 页 共 19 页 21 如图 在 ABC 中 ACB 90 D 为 AC 上一点 DE AB 于点 E AC 12 BC 5 1 求 cos ADE 的值 2 当 DE DC 时 求 AD 的长 22 如图 平地上一个建筑物 AB 与铁塔 CD 相距 60m 在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为 30 测 得铁塔顶部的仰角为 45 求铁塔的高度 取 1 732 精确到 1m 23 如图 ABC 中 ACB 90 sinA BC 8 D 是 AB 中点 过点 B 作直线 CD 的垂线 垂足 为点 E 1 求线段 CD 的长 2 求 cos ABE 的值 第 4 页 共 19 页 24 如图 有一段斜坡 BC 长为 30 米 坡角 CBD 30 为方便车辆通行 现准备把坡角降为 CAD 15 1 求坡高 CD 2 求 tan75 的值 结果保留根号 25 如图 一渔船自西向东追赶鱼群 在 A 处测得某无名小岛 C 在北偏东 60 方向上 前进 2 海里到达 B 点 此时测得无名小岛 C 在东北方向上 已知无名小岛周围 2 5 海里内有暗礁 问渔船继续追赶鱼群有 无触礁危险 参考数据 第 5 页 共 19 页 答案答案 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 小题 1 2016 雅安校级自主招生 已知 A 为锐角 且 tanA 那么下列判断正确的是 A 0 A 30 B 30 A 45 C 45 A 60 D 60 A 90 考点 特殊角的三角函数值 菁优网版权所有 分析 根据正切函数的增减性 可得答案 解答 解 1 由正切函数随锐角的增大而增大 得 tan30 tanA tan45 即 30 A 45 故选 B 点评 本题考查了特殊角的三角函数值 利用正切函数的增减性是解题关键 2 2016 东方校级模拟 在正方形网格中 的位置如图所示 则 tan 的值是 A B C D 2 考点 锐角三角函数的定义 菁优网版权所有 分析 此题可以根据 角的正切值 对边 邻边 求解即可 解答 解 由图可得 tan 2 1 2 故选 D 点评 本题考查了锐角三角函数的定义 正确理解正切值的含义是解决此题的关键 3 2016 乐山 如图 在 Rt ABC 中 BAC 90 AD BC 于点 D 则下列结论不正确的是 A B C D 第 6 页 共 19 页 考点 锐角三角函数的定义 菁优网版权所有 分析 根据锐角三角函数的定义 即可解答 解答 解 在 Rt ABC 中 BAC 90 sinB AD BC sinB sinB sin DAC 综上 只有 C 不正确 故选 C 点评 本题考查了锐角三角函数 解决本题的关键是熟记锐角三角函数的定义 4 2016 秋 南岗区校级期中 在 Rt ABC 中 C 90 sinA 则 cosA 的值等于 A B C D 考点 同角三角函数的关系 菁优网版权所有 分析 由三角函数的定义可知 sinA 可设 a 3 c 5 由勾股定理可求得 b 再利用余弦的定义代入 计算即可 解答 解 sinA sinA 可设 a 3 c 5 由勾股定理可求得 b 4 cosA 故选 B 点评 本题主要考查三角函数的定义 掌握正弦 余弦函数的定义是解题的关键 5 2016 沈阳 如图 在 Rt ABC 中 C 90 B 30 AB 8 则 BC 的长是 A B 4C 8D 4 考点 解直角三角形 菁优网版权所有 分析 根据 cosB 及特殊角的三角函数值解题即可 解答 解 在 Rt ABC 中 C 90 B 30 AB 8 cosB 即 cos30 第 7 页 共 19 页 BC 8 4 故选 D 点评 本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值 是基础知识 需要熟练掌握 6 2016 绍兴 如图 在 Rt ABC 中 B 90 A 30 以点 A 为圆心 BC 长为半径画弧交 AB 于 点 D 分别以点 A D 为圆心 AB 长为半径画弧 两弧交于点 E 连接 AE DE 则 EAD 的余弦值是 A B C D 考点 解直角三角形 菁优网版权所有 分析 设 BC x 由含 30 角的直角三角形的性质得出 AC 2BC 2x 求出 AB BC x 根据题意 得出 AD BC x AE DE AB x 作 EM AD 于 M 由等腰三角形的性质得出 AM AD x 在 Rt AEM 中 由三角函数的定义即可得出结果 解答 解 如图所示 设 BC x 在 Rt ABC 中 B 90 A 30 AC 2BC 2x AB BC x 根据题意得 AD BC x AE DE AB x 作 EM AD 于 M 则 AM AD x 在 Rt AEM 中 cos EAD 故选 B 点评 本题考查了解直角三角形 含 30 角的直角三角形的性质 等腰三角形的性质 三角函数 通过 作辅助线求出 AM 是解决问题的关键 7 2016 绵阳 如图 ABC 中 AB AC 4 C 72 D 是 AB 中点 点 E 在 AC 上 DE AB 则 cosA 的值为 第 8 页 共 19 页 A B C D 考点 解直角三角形 菁优网版权所有 分析 先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出 EBC 36 BEC 72 AE BE BC 再证明 BCE ABC 根据相似三角形的性质列出比例式 求出 AE 然后在 ADE 中利用余弦函数定义求出 cosA 的值 解答 解 ABC 中 AB AC 4 C 72 ABC C 72 A 36 D 是 AB 中点 DE AB AE BE ABE A 36 EBC ABC ABE 36 BEC 180 EBC C 72 BEC C 72 BE BC AE BE BC 设 AE x 则 BE BC x EC 4 x 在 BCE 与 ABC 中 BCE ABC 即 解得 x 2 2 负值舍去 AE 2 2 在 ADE 中 ADE 90 cosA 故选 C 点评 本题考查了解直角三角形 等腰三角形的性质与判定 三角形内角和定理 线段垂直平分线的 性质 相似三角形的判定与性质 难度适中 证明 BCE ABC 是解题的关键 8 2016 春 凉州区校级月考 在 Rt ABC 中 C 90 则下列式子定成立的是 第 9 页 共 19 页 A sinA sinBB cosA cosBC tanA tanBD sinA cosB 考点 互余两角三角函数的关系 菁优网版权所有 分析 根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答 解答 解 C 90 A B 90 sinA cosB 故选 D 点评 本题考查了互余两角三角函数的关系 熟记同角 或余角 的三角函数关系式是解题的关键 9 2016 南通 如图 为了测量某建筑物 MN 的高度 在平地上 A 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 30 向 N 点方向前进 16m 到达 B 处 在 B 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 45 则建筑物 MN 的高度等于 A 8 m B 8 mC 16 mD 16 m 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 菁优网版权所有 分析 设 MN xm 由题意可知 BMN 是等腰直角三角形 所以 BN MN x 则 AN 16 x 在 Rt AMN 中 利用 30 角的正切列式求出 x 的值 解答 解 设 MN xm 在 Rt BMN 中 MBN 45 BN MN x 在 Rt AMN 中 tan MAN tan30 解得 x 8 1 则建筑物 MN 的高度等于 8 1 m 故选 A 点评 本题是解直角三角形的应用 考查了仰角和俯角的问题 要明确哪个角是仰角或俯角 知道仰 角是向上看的视线与水平线的夹角 俯角是向下看的视线与水平线的夹角 并与三角函数相结合求边的 长 10 2016 开平区二模 如图 一艘轮船以 40 海里 时的速度在海面上航行 当它行驶到 A 处时 发现 它的北偏东 30 方向有一灯塔 B 轮船继续向北航行 2 小时后到达 C 处 发现灯塔 B 在它的北偏东 60 方 向 若轮船继续向北航行 那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近 A 1 小时B 小时C 2 小时D 小时 第 10 页 共 19 页 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 菁优网版权所有 专题 应用题 分析 过 B 作 AC 的垂线 设垂足为 D 由题易知 DAB 30 DCB 60 则 CBD CBA 30 得 AC BC 由此可在 Rt CBD 中 根据 BC 即 AC 的长求出 CD 的长 进而可求出该船需要继续航 行的时间 解答 解 作 BD AC 于 D 如下图所示 易知 DAB 30 DCB 60 则 CBD CBA 30 AC BC 轮船以 40 海里 时的速度在海面上航行 AC BC 2 40 80 海里 CD BC 40 海里 故该船需要继续航行的时间为 40 40 1 小时 故选 A 点评 本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题 注意掌握 化斜为直 是解三角形的常规思路 需作垂线 高 原则上不破坏特殊角 30 45 60 二 填空题 共二 填空题 共 6 小题 小题 11 2016 闸北区一模 求值 sin60 tan30 考点 特殊角的三角函数值 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 根据 sin60 tan30 得到原式 然后通分合并即可 解答 解 原式 故答案为 点评 本题考查了特殊角的三角函数值 sin60 tan30 也考查了二次根式的运算 12 2016 秋 成都校级月考 已知 tan 3 则 考点 同角三角函数的关系 菁优网版权所有 第 11 页 共 19 页 分析 首先将分子分母同除以 cos 原始可变形为 继而求得答案 解答 解 tan 3 故答案为 点评 此题考查了三角函数之间的关系 注意 tan 是关键 13 2015 西藏一模 在 Rt ABC 中 C 90 cosA 则 tanA 考点 同角三角函数的关系 菁优网版权所有 分析 根据锐角三角函数的概念 可以证明 同一个角的正弦和余弦的平方和等于 1 同一个角的正切等于它的正弦除以它的余弦 解答 解 因为在 ABC 中 C 90 cosA 所以 sinA 所以 tanA 2 点评 解答此题要用到同角三角函数关系式 同角三角函数关系常用的是 sin2x cos2x 1 tanx cotx 1 tanA cotA 14 2016 厦门校级一模 如图 在直角三角形 ABC 中 C 90 AC 5 AB 10 则 A 30 度 考点 特殊角的三角函数值 锐角三角函数的定义 菁优网版权所有 分析 根据条件求出 即可得到 cos A 的值 再根据特殊角的三角函数值求出 A 的度数 解答 解 C 90 AC 5 AB 10 cosA A 30 第 12 页 共 19 页 故答案为 30 点评 此题主要考查了锐角三角函数定义 以及特殊角的三角函数值 解决此题的关键是求出 cosA 15 2016 大庆 一艘轮船在小岛 A 的北偏东 60 方向距小岛 80 海里的 B 处 沿正西方向航行 3 小时后 到达小岛的北偏西 45 的 C 处 则该船行驶的速度为 海里 小时 考点 解直角三角形的应用 方向角问题 菁优网版权所有 分析 设该船行驶的速度为 x 海里 时 由已知可得 BC 3x AQ BC BAQ 60 CAQ 45 AB 80 海里 在直角三角形 ABQ 中求出 AQ BQ 再在直角三角形 AQC 中求出 CQ 得出 BC 40 40 3x 解方程即可 解答 解 如图所示 设该船行驶的速度为 x 海里 时 3 小时后到达小岛的北偏西 45 的 C 处 由题意得 AB 80 海里 BC 3x 海里 在直角三角形 ABQ 中 BAQ 60 B 90 60 30 AQ AB 40 BQ AQ 40 在直角三角形 AQC 中 CAQ 45 CQ AQ 40 BC 40 40 3x 解得 x 即该船行驶的速度为海里 时 故答案为 点评 本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题 等腰直角三角形的性质 含 30 角的直角三角 形的性质等知识 通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键 16 2016 滨州一模 如图 在高楼 AB 前 D 点测得楼顶 A 的仰角为 30 向高楼前进 60 米到 C 点 又 测得楼顶 A 的仰角为 60 则该高楼 AB 的高度为 30 米 第 13 页 共 19 页 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 菁优网版权所有 专题 应用题 推理填空题 分析 设 AB 的长度为 x 在 Rt ABC 中利用三角函数可以用 x 表示 BC 的长度 同理也可以表示 BD 的长度 而 CD BD BC 然后根据已知条件即可求出 x 也就求出了相等 AB 的长度 解答 解 设 AB 的长度为 x 在 Rt ABC 中 tan ACB tan60 BC 同理在 Rt ABD 中 BD x 而 CD BD BC 60 60 x x 30 即 AB 30米 故答案为 30 点评 此题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用 解题时首先正确理解仰角的定义 然后 利用三角函数和已知条件构造方程解决问题 三 解答题 共三 解答题 共 9 小题 小题 17 2016 浦东新区一模 计算 sin45 6tan30 2cos30 考点 特殊角的三角函数值 菁优网版权所有 分析 将特殊角的三角函数值代入求解 解答 解 原式 6 2 1 点评 本题考查了特殊角的三角函数值 解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值 18 2016 金华校级模拟 计算 考点 特殊角的三角函数值 零指数幂 负整数指数幂 菁优网版权所有 专题 存在型 分析 先根据二次根式的化简 负整数指数幂 特殊角的三角函数值及 0 指数幂把原式化简 再根据 实数混合运算的法则进行计算即可 第 14 页 共 19 页 解答 解 原式 2 2 4 1 2 2 2 1 1 故答案为 1 点评 本题考查实数的综合运算能力 是各地中考题中常见的计算题型 解决此类题目的关键是熟记 特殊角的三角函数值 熟练掌握负整数指数幂 零指数幂及二次根式等考点的运算 19 2013 春 修水县校级月考 在 Rt ABC 中 C 90 若 求 cosA sinB cosB 考点 互余两角三角函数的关系 同角三角函数的关系 菁优网版权所有 分析 先根据 sin2 cos2 1 计算出 cosA 然后根据互余两角三角函数的关系求解 解答 解 C 90 sinA cosA A B 90 sinB cosA cosB sinA 点评 本题考查了互余两角三角函数的关系 在直角三角形中 A B 90 时 sinA cosB 或 sinB cosA 也考查了同角三角形函数的关系 20 2016 春 陕西校级期中 在 ABC 中 已知 C 90 sinA sinB 求 sinA sinB 的值 考点 互余两角三角函数的关系 菁优网版权所有 分析 直接利用完全平方公式以及结合互余两角的关系得出答案 解答 解 sinA sinB sinA sinB 2 sin2A sin2B 2sinA sinB sinB cosA sin2A cos2A 2sinA sinB 2sinA sinB sinA sinB 2 1 sinA sinB 点评 此题主要考查了完全平方公式以及互余两角的关系 正确应用完全平方公式是解题关键 第 15 页 共 19 页 21 2016 仪征市一模 如图 在 ABC 中 ACB 90 D 为 AC 上一点 DE AB 于点 E AC 12 BC 5 1 求 cos ADE 的值 2 当 DE DC 时 求 AD 的长 考点 解直角三角形 菁优网版权所有 分析 1 根据三角形的内角和得到 A ADE 90 A B 90 根据余角的性质得到 ADE B 根据勾股定理得到 AB 13 由三角函数的定义即可得到结论 2 由 1 得 设 AD 为 x 则 由于 AC AD CD 12 列方程即可 得到结论 解答 解 1 DE AB DEA 90 A ADE 90 ACB 90 A B 90 ADE B 在 Rt ABC 中 AC 12 BC 5 AB 13 2 由 1 得 设 AD 为 x 则 AC AD CD 12 解得 点评 本题考查了解直角三角形 正确掌握解直角三角形的方法是解题的关键 22 2016 邳州市一模 如图 平地上一个建筑物 AB 与铁塔 CD 相距 60m 在建筑物的顶部测得铁塔底 部的俯角为 30 测得铁塔顶部的仰角为 45 求铁塔的高度 取 1 732 精确到 1m 第 16 页 共 19 页 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 菁优网版权所有 分析 先过 A 点作 AE CD 于 E 点 根据题意得出四边形 ABDE 为矩形 再根据特殊角的三角函数值 求出 DE 然后根据等腰直角三角形的特点求出 CE 的值 最后根据 CD CE ED 即可得出答案 解答 解 过 A 点作 AE CD 于 E 点 由题意得 四边形 ABDE 为矩形 DAE 30 BD 60m AE BD 60m tan30 DE tan30 AE 60 20m CAE 45 ACE 45 AE EC CE 60m CD CE ED 60 20 60 20 1 732 95 m 铁塔的高度是 95 米 点评 本题考查了仰角的定义 要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形 23 2016 江西模拟 如图 ABC 中 ACB 90 sinA BC 8 D 是 AB 中点 过点 B 作直线 CD 的垂线 垂足为点 E 1 求线段 CD 的长 2 求 cos ABE 的值 第 17 页 共 19 页 考点 解直角三角形 勾股定理 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 1 在 ABC 中根据正弦的定义得到 sinA 则可计算出 AB 10 然后根据直角三角形 斜边上的中线性质即可得到 CD AB 5 2 在 Rt ABC 中先利用勾股定理计算出 AC 6 在根据三角形面积公式得到 S BDC S ADC 则 S BDC S ABC 即CD BE AC BC 于是可计算出 BE 然后在 Rt BDE 中利用余弦的定义 求解 解答 解 1 在 ABC 中 ACB 90 sinA 而 BC 8 AB 10 D 是 AB 中点 CD AB 5 2 在 Rt ABC 中 AB 10 BC 8 AC 6 D 是 AB 中点 BD 5 S BDC S ADC S BD