考研数学二真题解析

文档鉴赏 20072007 年考研数学二真题解析年考研数学二真题解析 一 选择题一 选择题 本题共 10 小题 每小题 4 分 满分 40 分 在每小题给的四个选项中 只有一 项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后括号内 1 当时 与等价的无穷小量是 B 0 x x A B C D 1 x e 1 ln 1 x x 11x 1 cosx 2 函数在区间上的第一类间断点是 A 1 1 tan x x eex f x x ee x A 0 B 1 C D 2 2 3 如图 连续函数在区间上的图形分别是直径为 1 的上 下半圆 yf x 3 2 2 3 周 在区间上图形分别是直径为 2 的上 下半圆周 设则下 2 0 0 2 0 x F xf t dt 列结论正确的是 C A 3 F 3 2 4 F B 3 F 5 2 4 F C 3 F 3 2 4 F D 3 F 5 2 4 F 4 设函数 f x 在 x 0 处连续 下列命题错误的是 C A 若存在 则 B 若存在 0 lim x f x x 0 0f 0 lim x f xfx x 0 0f C 若存在 则 D 存在 0 lim x f x x 0 0 f 0 lim x f xfx x 0 0f 5 曲线渐近线的条数为 D 1 ln 1 x ye x 0 1 2 3 A B C D 6 设函数在上具有二阶导数 且 令 则下 f x 0 0fx n u 1 2 f nn 列结论正确的是 D A 若 则必收敛 B 若 则必发散 12 uu n u 12 uu n u C 若 则必收敛 D 若 则必发散 12 uu n u 12 uu n u 7 二元函数在点 0 0 处可微的一个充分条件是 B f x y A 0 0 lim 0 00 x y f x yf 文档鉴赏 B 且 0 00 0 lim0 x f xf x 0 0 0 0 lim0 y fyf y C 22 0 0 00 0 lim0 x y f xf xy D 且 0 lim 0 0 0 0 xx x fxf 0 lim 0 0 0 0 yy y fxf 8 设函数连续 则二次积分等于 B f x y 1 sin 2 x dxf x y dy A 1 0arcsin y dyf x y dx B 1 0arcsin y dyf x y dy C 1arcsin 0 2 y dyf x y dx D 1arcsin 0 2 y dyf x y dx 9 设向量组线形无关 则下列向量组线形相关的是 A 123 A B 122331 122331 C D 1223312 2 2 1223312 2 2 10 设矩阵 A B 则 A 于 B B 211 1 21 11 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 A 合同 且相似 B 合同 但不相似 C 不合同 但相似 D 既不合同 也不相似 二 填空题 二 填空题 11 16 小题 每小题 4 分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上 11 3 0 arctansin lim x xx x 1 6 曲线上对应于的点处的法线斜率为 12 2 coscos 1 sin xtt yt 4 t 21 设函数 则 13 1 23 y x 0 n y2 3 n 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解 y 14 2 4 32 x yyye 32 12 2 xxx C eC ee 设是二元可微函数 则 15 f u v y x zf x y 文档鉴赏 12 22 zzyy xxy x xyff xyxx yyx y 设矩阵 则的秩为 1 16 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 A 3 A 三 解答题 三 解答题 17 24 小题 共 86 分 请将解答写在答题纸指定的位置上 解答应写出文字 说明 证明过程或演算步骤 17 设是区间上单调 可导函数 且满足 f x0 4 1 00 cossin sincos f xx tt ft dttdt tt 其中是的反函数 求 1 f f f x 详解详解 设则 yf t 1 tfy 则原式可化为 1 0 0 cossin sincos xx f tt yfy dytdt tt 等式两边同时求导得 cossin sincos xx xfxx xx cossin sincos xx fx xx 18 本题满分 11 分 设 D 是位于曲线 下方 轴上方的无界区域 yxa 1 0ax x 求区域 D 绕轴旋转一周所成旋转体的体积 x V a 当为何值时 最小 并求此最小值 a V a 详解详解 2 22 2 2 00 ln x a a I V ay dxxadx a 得 22 4 1 2 ln 2ln 2 0 ln aaaa II V a a ln ln1 0aa 故ln1a 即是唯一驻点 也是最小值点 最小值ae 2 V ee 文档鉴赏 19 求微分方程满足初始条件的特解 2 yxyy 1 1 1yy 详解详解 设 则代入得 dy py dx dp y dx 2 2 dpdxxpx xppp dxdppp 设 则 x u p d pu up dp du upup dp 1 du dp 1 upc 即 由于 2 1 xpc p 1 1 y 故 11 110cc 即 2 xp 3 2 2 2 3 dy pxxyxc dx 由或 2 1 1 1 3 yc 2 5 3 c 特解为或 3 2 21 33 yx 3 2 25 33 yx 20 已知函数具有二阶导数 且 1 函数由方程所确 f a 0 f yy x 1 1 y yxe 定 设求 lnsin zfyx 0 x dz dx 2 0 2 x d z dx 详解详解 两边对求导得 1 1 y yxe x 11 0 yy yexey 得 当 1 1 1 y y e y xe 01 xy 故有 1 1 0 1 2 1 x e y 00 1 lnsin cos 0 1 1 1 0 xx dz fyxyxf dxy 文档鉴赏 22 2 00 22 1 lnsin cos lnsin sin xx d zy fyxyxfyxx dxyy 2 2 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 ff 本题 11 分 21 设函数在上连续 在内具有二阶导数且存在相等的最大值 f x g x a b a b 证明 存在使得 f ag af bg b a b fg 详解详解 证明 设在内某点同时取得最大值 则 此时的 c f x g x a b ca b f cg c 就是所求点 若两个函数取得最大值的点不同则有设 fg 使得 故有 由介值定理 max max f cf x g dg x 0 0f cg cg df d 在内肯定存在由罗尔定理在区间内分别存在一点 c d fg 使得 ab 0 在区间内再用罗尔定理 即 1212 ff 使得 12 a bfg 存在 使得 22 本题满分 11 分 设二元函数 2 22 1 1 12 xxy f x y xy xy 计算二重积分其中 D f x y d 2Dx yxy 详解详解 D 如图 1 所示 它关于 x y 轴对称 对 x y 均为偶函数 得 f x y 1 4 DD f x y df x y d 其中是 D 的第一象限部分 1 D 文档鉴赏 由 11 D 12 D 1 D 2 2 2 2x y x 12 1 2 y 1 2 于被积函数分块表示 将分成 如图 2 且 1 D 11112 DDD 1112 1 0 0 12 0 0DxyxyDxyxy 于是 而 11212 DDD f x y df x y df x y d 11 111 22 000 111 1 3412 x D f x y ddxx dyxx dx 1212 2 2cossin 1 220 cossin 11 DD f x y dddrdr r xy 极坐标变换 22 00 22 11 2 22 000 2 1 11 2 00 1 0 1 cossin cossin2sincos 22 2 tan 22 2 122 1 1tan2tan 22 2111 2222 12121 lnln2ln 21 22221 ut d d d dudu uuu dt dt ttt t t 所以 1 12 ln 21 122 D f x y d 文档鉴赏 得 12 4 ln 21 122 D f x y d 本题满分 11 分 23 设线性方程组 123 123 2 123 0 20 1 40 xxx xxax xxa x 与方程 123 21 2 xxxa 有公共解 求的值及所有公共解a 详解详解 因为方程组 1 2 有公共解 即由方程组 1 2 组成的方程组 的解 123 123 2 123 123 0 20 3 40 21 xxx xxax xxa x xxxa 即矩阵方程组 3 有解的充要条件为 2 11 10 020 140 1211 a a a 2 1110 0110 0010 00340 a aa 1 2aa 当时 方程组 3 等价于方程组 1 即此时的公共解为方程组 1 的解 解方程组 1 的基1a 础解系为此时的公共解为 1 0 1 T 1 2 xkk 当时 方程组 3 的系数矩阵为此时方程组 3 2a 11 101110 12200110 14400001 1 1 110000 的解为 即公共解为 123 0 1 1xxx 0 1 1 Tk 24 设 3 阶对称矩阵 A 的特征向量值是 A 的属于的 123 1 2 2 1 1 1 1 T 1 一个特征向量 记其中为 3 阶单位矩阵 53 4BAAE E 验证是矩阵的特征向量 并求的全部特征值的特征向量 I 1 BB 文档鉴赏 求矩阵 IIB 详解详解 可以很容易验证 于是 111 1 2 3 nn An 5353 111111 4 41 2BAAE 于是是矩阵 B 的特征向量 1 B 的特征值可以由 A 的特征值以及 B 与 A 的关系得到 即 53 4 1BAA 所以 B 的全部特征值为 2 1 1 前面已经求得为 B 的属于 2 的特征值 而 A 为实对称矩阵 1 于是根据 B 与 A 的关系可以知道 B 也是实对