福建省莆田四中2012-2013学年高二数学上学期第二次月考试题 理 新人教A版

1 俯视图 主视图 左视图 俯视图 主视图 左视图 莆田四中莆田四中 2012 20132012 2013 学年高二上学期第二次月考学年高二上学期第二次月考 理科数学 选修 理科数学 选修 1 1 选修选修 2 22 2 考试卷 考试卷 命题者 翁建新命题者 翁建新 审核者 黄旭东审核者 黄旭东 2012 12 272012 12 27 一一 选择题选择题 本大题共本大题共 1010 小题 小题 每小题每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 分 在每小题给出的四个选项中 只有在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 请将所选答案写在答题卷上一项是符合题目要求的 请将所选答案写在答题卷上 1 抛物线的准线方程是 2 4yx A B C D 1y 1y 1 16 y 1 16 y 2 一质点沿直线运动 如果由始点起经过 秒后的位移为 那么速度为tttts2 2 3 3 1 23 零的时刻是 A 秒 B 秒末 C 秒末 D 秒末和秒末01212 3 下列命题中 真命题是的 A B 0 0 0 x xR e 2 2xxRx C 的充要条件是 D 是的充分条件0ab 1 a b 1 1ab 1ab 4 如右图 一个简单空间几何体的三视图 其主视图与左视图都是边长为2的正三角 形 其俯视图轮廓为正方形 则其体积是 A 3 6 B 4 2 3 C 4 3 3 D 8 3 5 过点与抛物线 y2 8x 只有一个公共点的直线有 条 2 0 A 1B 2C 3D 4 6 空间四边形 OABC 中 点 M 在 OA 上 且 OM 2MA N 为线段OA a OB b OC c BC 的中点 则 MN A B C D 2 1 a 2 3 b 2 1 c 2 3 a 2 1 b 2 1 c 2 1 a 2 1 b 2 1 c 2 3 a 2 3 b 2 1 c 7 椭圆的两个焦点分别为 F1 F2 P 为椭圆上的一点 已知 PF1PF2 则 22 1 259 xy PF1F2的面积为 A 9 B 12C 10 D 8 2 8 已知抛物线的准线与双曲线交于 两点 点为抛物线的焦点 2 4yx 2 2 2 1 x y a A BF 若为直角三角形 则双曲线的离心率为 FAB A6B 6 2 C3D2 9 如图 函数 xfy 的图像是中心在原点 焦点在x轴上的椭圆的两段弧 则不等式xxfxf 的解集为 A 2 2 2 2 2 2 xxx或 B 22 22 xxx或 C 22 02 xxx或 D 0 22 xxx且 10 椭圆的焦距为 过点作圆的两条切 22 22 1 0 xy ab ab 2c 2 0 a P c 222 xya 线 切点分别为 若椭圆的离心率的取值范围为 则的取值范围为 M N 12 22 MPN A B C D 32 43 64 63 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 5 5 小题 每题小题 每题 4 4 分 共分 共 2020 分 分 11 已知 3 4 8 3 x y 与共线 则x y AB AC AB AC 12 如右图长方体中 AA1 AB 4 AD 2 E F G 分别是 1111 DCBAABCD DD1 AB CC1 的中点 则直线 A1E FG 所夹的角的余弦值为 13 已知定点 点 P 为抛物线上一动点 F 为抛物线的焦点 则 4 2 Axy4 2 PA PF 的最小值为 14 已知函数 则 2012 sin2 41 x x f x x 1 f 15 以下四个命题 q 是 p 的必要不充分条件 则 p 是 q 的充分不必要条件 和定点及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为 0 5 A 25 4 l x 5 4 22 1 169 xy 当无限趋近于 0 时 无限趋近于 d 33d d 3 6 B 1 D 1 C 1 A 1 F E D C B A G 3 设点 点 P 满足 则点 P 的轨迹为椭圆 1 0 3 F 2 0 3 F 12 9 0 PFPFaa a 其中真命题为 写出所以真命题的序号 三 解答题三 解答题 共共 6 6 题题 共共 8080 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 13 分 已知函数 f xlnxx 1 求在点处的切线方程 f x 1 1 Pf 2 求的单调区间 f x 17 本小题满分 13 分 若双曲线与椭圆有相 1 C1 2516 22 yx 同的焦点 与双 曲线 有相同渐近线 2 C1 2 2 2 y x 1 求的实轴长和渐近线方程 2 C 2 求的方程 1 C 18 本小题满分 13 分 如图 1 6 在 ABC中 ABC 60 BAC 90 AD是BC上的高 且 BD 2 沿 AD把 ABD折起 使 BDC 90 1 证明 平面ADB 平面BDC 2 求点 D 到平面 ABC 的距离 19 本小题满分 13 分 4 如图 某旅游区拟在公路 南北向 旁开发一个抛物线形的人工湖 湖沿岸上每一点到公l 路的距离与到 A 处的距离相等 并在湖中建造一个三角形的游乐区 三个顶点都在湖沿l 岸上 直线通道 MN 经过 A 经测算 A 在公路正东方向 200m 处 C 在 A 的正西方向 100ml 处 现以点 C 为坐标原点 以线段 CA 所在直线为 x 轴 建立平面直角坐标系 1 求抛物线的方程 2 试判断是否存在直线通道 MN 使得三角形的游乐区的面积为 2 20000 2m 并作说明 20 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱中 是的中 111 ABCA BC 1 2ABBCAA 0 90ABC DBC 点 1 求证 平面 1 A B 1 ADC 2 求二面角的余弦值 1 CADC 3 试问线段上是否存在点 使与平面成 1 A BE 1 C E 1 ADC 0 30 角 若存在 确定点位置 若不存在 说明理由 E 21 本小题满分 14 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 短轴端点分别为 且 12 F F A B 四边形是边长为的正方形 12 F AF B2 5 1 求椭圆的方程 2 若分别是椭圆长轴的左 右端点 动点满足0MD CD 连结交椭圆 C DMCM 于 证明OM OP 为定值 为坐标原点 PO 3 在 2 的条件下 试问在x轴上是否存在异于点的定点 使以线段为直径的圆CQMP 恒过直线的交点 若存在 求出的坐标 若不存在 说明理由 DP MQQ 莆田四中莆田四中 2012 20132012 2013 学年高二上学期第二次月考理科数学考试答案卷学年高二上学期第二次月考理科数学考试答案卷 一 选择题 DDDCC BACCA 二 填空题 4 0 5 1 2ln2 4 三 解答题 16 解 1 为切线 切线方程 1 0 P ln1fxx 11k f 6 分1yx 2 7 分0 x 由 9 分 ln1fxx ln10 xfx 1 x e 由 11 分 ln10 xfx 1 0 x e 的单调增区间 减区间 13 分 f x 1 e 1 0 e 解 17 1 中 实轴长 可得渐近线方程 5 分 2 C2 2 2 2 0 2 x y 2 2 yx 6 2 法一 依题意可设所求的双曲线的方程为 6 分 0 2 2 2 x y 即 7 分1 2 22 xy 又双曲线与椭圆有相同的焦点解 1 2516 22 yx 916252 得 11 分3 求的标准方程为 13 分 1 C1 63 22 xy 法二 设 6 分 1 C 22 2 2 1 0 0 yx ab ab 可得求得 222 3 2 2 c a b cab 11 分 2 2 3 6 a b 求的标准方程为 13 分 1 C1 63 22 xy 18 解 1 折起前AD是BC边上的高 当 ABD折起后 AD DC AD DB 又DB DC D AD 平面BDC AD 平面ABD 平面ABD 平面BDC 6 分 2 由 1 知 如图建立空间直角坐标系 由 BD 2 则 D 0 0 0 B 2 0 0 A 0 0 7 分2 3 0 4 0 C 设平面的法向量为 ABC 000 nxyz 7 由 有 取 2 0 2 3AB 2 4 0BC 0 0 BCn ABn 00 00 22 30 240 xz xy 有 得 又 10 分 0 2 3x 0 0 2 3 z y 2 3 3 2n 2 0 0DB 点 D 到平面的距离是 13 分ABC 4 57 19 DBn d n 19 解 依题意 设所求的抛物线方程为 抛物线的焦点 2 20ypx p 100 0 A 所求的方程为 4 分100 2 p 2 400yx 解法 1 设点M N的坐标分别为 直线的方程为 1122 x yxyMN 5 分100 xny 联立消去 得到 2 100 400 xny yx x 2 400400000yny 7 分 8 分 1212 400 40000yyn yy 2 121212 4yyyyy y 2 160000160000n 2 4001n 12 11 100 22 MNC SCAyy 2 4001n 2 200001n 20000 2 当时 1n MNC S 2 20000 2m 12 分 答 存在两条MN的直线通道使面积是 2 20000 2m 13 分 解法 2 设点M N的坐标分别为 1122 x yxy 当直线的斜率不存在时 k 直线的方程为 MN100 x 20000 MNC S 5 分 当直线的斜率存在时 k 设直线的方程为 易知 MN 100 yk x k0 6 分 联立消去 得到 2 100 400 yk x yx x 2 400 400000 y y k 7 分 8 分 1212 400 40000yyyy k 8 2 121212 4yyyyy y 2 160000 160000 k 2 1 4001 k 12 1 2 MNC SCAyy 1 100 2 22 11 4001200001 kk 20000 2 综合 与 可知 当 直线 MN 的斜率时 取到 1k MNC S 20000 2 2 m 12 分 答 存在两条MN的直线通道使面积是 2 20000 2m 13 分 20 解 证明 连结 1 AC 交 1 AC 于点O 连结OD 由 111 CBAABC 是直三棱柱 得 四边形 11 ACC A 为矩形 O为 1 AC 的中点 又D为 BC中点 所以OD为1 ABC 中位线 所以 1 AB OD 13 分 因为 OD 平面 1 ADC 1 AB 平面 1 ADC 所以 1 AB 平面 1 ADC 4 分 解 由 111 CBAABC 是直三棱柱 且 90ABC 故 1 BBBCBA 两两垂直 如图建立空间直角坐标系 xyzB 5 分 设 2 BA 则 0 0 1 1 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 DCACB 所以 1 2 0 AD 1 2 2 1 AC 设平面 1 ADC 的法向量为 x y zn 则有 1 0 0 n AD n AC 所以 20 220 xy xyz 取 1 y 得 2 1 2 n 7 分 易知平面ADC的法向量为 0 0 1 v 9 8 分 由二面角 1 CADC 是锐角 得 2 cos 3 n v n v n v 所以二面角 1 CADC 的余弦值为 2 3 9 分 解 假设存在满足条件的点 设 E 0 Ea b 在线段上 由 且其中 E 1 A BBE 1 BA 01 0 BEa b 1 0 2 1BA 即 0 0 2 1a b 2a b 0 2 E 以由 2 知 2 1 2 n 1 2 2 1C E 与平面 1 ADC 成角 所以 即 1 C E 0 30 01 1 1 1 sin30cos 2 C En C E n C E n 22 42221 2 44