二次函数,最大利润

精品文档 1欢迎下载 最大利润问题最大利润问题 总利润总利润 单件商品利润单件商品利润 销售数量销售数量 设未知数时 总利润总利润必然是因变量因变量 y y 而自变量自变量可能有两种情况 1 1 自变量自变量 x x 是涨价多少 或降价多少是涨价多少 或降价多少 2 2 自变量自变量 x x 是最终的销售价格是最终的销售价格 而这种题型之所以是二次函数 就是因为 总利润总利润 单件商品利润单件商品利润 销售数量销售数量 等式中的 单件利润单件利润 有自变量自变量 x x 销售数量销售数量 里也有个自变量自变量 x x 至于为什么它们各自都有一个 x 后面会给出解释 那么两个含有那么两个含有 x x 的式子的式子一相乘 再打开后就是必然是一个二次的多项式相乘 再打开后就是必然是一个二次的多项式 例题例题 商场促销 将每件进价为进价为 8080 元元的服装按原价原价 100100 元元出售 一天可售出一天可售出 140140 件件 后经市场调查发现 该服 装的单价每降低每降低 1 1 元元 其销量可增加增加 1010 件件 现设一天的销售利润为 y 元 降价 x 元 1 求按原价出售一天可得多少利润 解析 总利润总利润 单利润单利润 数量数量 所以按原价出售的话 则 y 2 求销售利润 y 与降价 x 的的关系式 解析 总利润总利润 数量数量 单利润单利润 因为降价 单利润会有变动 又因为进价不可能变 那降多少元 利润减少多少元 降价 x 元 利润就减少 x 元 所以单利润就减少 x 元 即单利润变为 100 80 x 又想 因为降价卖的就多 那么数量怎么变 原来一天 140 件 降 1 元多卖 10 件 降 x 元就应该多卖 10 x 件 所以数量就变为 140 10 x 3 商场要使每天利润为 2850 元并且使得玩家得到实惠 应该降价多少元 4 要使利润最大 则需降价多少元 并求出最大利润 解析 因为要是利润最大 所以需要求因变量 y 的最大值 重点难点重点难点 5 现题目条件不变 若将降价后的销售价格降价后的销售价格设为自变量自变量 x x 求因变量 y 与自变量 x 的关系式 解析 原来的自变量是什么 是降低的价格降低的价格 而现在是降后的售价降后的售价 自变量一变化 那么关系式就全变了 所以之前的一切关系都要作废 但总利润总利润 单利润单利润 数量数量 这个关系是永远不变的 所以要找到 y 与 x 的关系 还是从此处出发 这么想 单利润 售价 进价 进价是不变的 而售价现在变为 x 了 精品文档 2欢迎下载 则单利润就是 x 80 而这时数量就变复杂了 这么想 数量变化依然是因为降价而造成的 始终有降价 1 元多卖 10 件这一关系 所以如果知道了降多少元 就必然知道多卖多少件 那么降了多少呢 最初的售价是 100 元 降价后的售价是 x 元 那么之间的差值就是所降的价格 即降价为 100 x 我们知道降 1 元多卖 10 件 现在降了 100 x 那么就应该多卖 10 100 x 件 注意这只是多买的 总共买的应该是原来卖的加上多卖的 即 140 10 100 x 所以数量就是 140 10 100 x 单利润知道了是 x 80 销售数量也知道了是 140 10 100 x 则总利润 y x 80 140 10 100 x 一 涨价或降价为未知数 例 1 某旅社有客房 120 间 每间房间的日租金为 50 元 每天都客满 旅社装修后要提高租金 经市场调查 如 果一间客房的日租金每增加 5 元 则每天出租的客房会减少 6 间 不考虑其他因素 旅社将每间客房的日租金提 高到多少元时 客房日租金的总收入最高 比装修前的日租金总收入增加多少元 变式 1 某商场销售一批名牌衬衫 平均每天售出 20 件 每件盈利 40 元 为了扩大销售 增加盈利 尽快减少库存 商场决定采取适当的降价措施 经调查发现 如果每件衬衫每降价 1 元 商场平均每天多售 出 2 件 若商场平均每天要盈利 1200 元 每件衬衫应降价多少元 若每件衬衫降价 x 元时 商场平均 每天盈利 y 元 写出 y 与 x 的函数关系式 例 2 某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出 平均每天能售出 8 台 为了配合国家 家电下乡 政策的实 施 商场决定采取适当的降价措施 调查表明 这种冰箱的售价每降低 50 元 平均每天就能多售出 4 台 1 假设每台冰箱降价x元 商场每天销售这种冰箱的利润是y元 请写出y与x之间的函数表达式 不要求 写自变量的取值范围 2 商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元 同时又要使百姓得到实惠 每台冰箱应降价多少元 精品文档 3欢迎下载 3 每台冰箱降价多少元时 商场每天销售这种冰箱的利润最高 最高利润是多少 变式 2 某商品的进价为每件 40 元 售价为每件 50 元 每个月可卖出 210 件 如果每件商品的售价每上涨 1 元 则每个月少卖 10 件 每件售价不能高于 65 元 设每件商品的售价上涨x元 x为正整数 每个月的销售利 润为y元 1 求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围 2 每件商品的售价定为多少元时 每个月可获得最大利润 最大的月利润是多少元 3 每件商品的售价定为多少元时 每个月的利润恰为 2200 元 根据以上结论 请你直接写出售价在什么范围 时 每个月的利润不低于 2200 元 二 售价为未知数 例例 3 3 某食品零售店代销一种面包 未售出的面包可退回厂家 经统计销售情况发现 当这种面包的单价定为 7 角 时 每天卖出 160 个 在此基础上 这种面包的单价每提高 1 角时 该零售店每天就会少卖出 20 个 考虑了所有 精品文档 4欢迎下载 因素后该零售店每个面包的成本是 5 角 设这种面包的单价为 x 角 零售店每天销售这种面包所获得的利润为 y 角 用含 x 的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数 求 y 与 x 之间的函数关系式 当面包单价定为多少时 该零售店每天销售这种面包获得的利润最大 最大利润为多少 变式 2 修建一个有 30 个房间供旅客住宿的旅游度假村 并将其全部利润用于灾后重建 据测算 若每个房间 的定价为 60 元 天 房间将会住满 若每个房间的定价每增加 5 元 天时 就会有一个房间空闲 度假村对旅客 住宿的房间将支出各种费用 20 元 天 间 没住宿的不支出 问房价每天定为多少时 度假村的利润最大 例 4 某商店购进一批单价为 18 元的商品 如果以单价 20 元出售 那么一个星期可售出 100 件 根据销售经验 提高销售单价会导致销售量减少 即当销售单价每提高 1 元 销售量相应减少 10 件 如何提高销售单价 才能在 一个星期内获得最大利润 最大利润是多少 精品文档 5欢迎下载 变式 3 某商品现在的售价为每件 60 元 每星期可卖出 300 件 市场调查反映 每涨价 1 元 每星期少卖出 10 件 每降价 1 元 每星期可多卖出 20 件 已知商品的进价为每件 40 元 如何定价才能使利润最大 例 5 为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神 最近 政府又出台了一系列 三农 优惠政策 使农民收入大幅度增加 某农户生产经销一种农副产品 已知这种产品的成本价为 20 元 千克 市场调查发现 该产 品每天的销售量 千克 与销售价 元 千克 有如下关系 2 80 设这种产品每天的销售利润为 元 1 求 与 之间的函数关系式 2 当销售价定为多少元时 每天的销售利润最大 最大利润是多少 3 如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元 千克 该农户想要每天获得 150 元的销售利润 销售价应定 为多少元 变式 4 某商店经营一批进价为 10 元的商品 据市场分析 每件售价 15 元 则一天可售 55 件 如果售价每降 1 元 则日销售量可增加 3 件 为了方便结账 定价取整数 设销售单价为 x 元 日销售量为 y 件 日获利为 w 元 解答下列问题 1 试写出 y 与 x 之间的函数关系式 2 试写出 w 与 x 之间的函数关系式 3 计算单价为 12 元时的日销售量和日销售利润 4 若使日销售利润达到 200 元 且老板要尽快减少库存 则售价应定为多少元 5 定价为多少元时 日获利最多 为多少 6 分别写出本题中 w 与 x 的取值范围 精品文档 6欢迎下载 练习 1 随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展 对花木的需求量逐年提高 某园林专业户计划投资种植花卉及 树木 根据市场调查与预测 种植树木的利润与投资量x成正比例关系 如图 12 所示 种植花卉的利润 1 y 与投资量x成二次函数关系 如图 12 所示 注 利润与投资量的单位 万元 2 y 1 分别求出利润与关于投资量x的函数关系式 1 y 2 y 2 如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木 他至少获得多少利润 他能获得的最大利润是多少 练习 2 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品 据市场分析 若按每千克 50 元销售 一个月能售出 500 千克 销售单价每涨 1 元 月销售量就减少 10 千克 针对这种水产品的销售情况 请售答以下问题 1 当销售单价定为每千克 55 元时 计算月销售量和月销售利润 2 设销售单价为每千克x元 月销售利润为y元 求y与x函数关系式 不必写出x的取值范围 3 商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下 使得月销售利润达到 8000 元 销售单价应定为多少 精品文档 7欢迎下载 练习 3 这里的代销是指厂家先免费提供货源 待货物售出后再进行结算 未售出的由厂家负责处理 当每吨 售价为 260 元时 月销售量为 45 吨 该经销店为提高经营利润 准备采取降价的方式进行促销 经市场调查发现 当每吨售价每下降 10 元时 月销售量就会增加 7 5 吨 综合考虑各种因素 每售出一吨建筑材料共需支付厂家 及其它费用 100