三角形、全等三角形、轴对称复习

1 三角形 全等三角形 轴对称三角形 全等三角形 轴对称 三角形 三角形 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 三边关系 三边关系 三角形任意两边的和大于第三边 任意两边的差小于第三边 高 高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线 顶点和垂足间的线段叫做三角形的 高 中线 中线 在三角形中 连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线 角平分线 角平分线 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交 这个角的顶点和交点之间的 线段叫做三角形的角平分线 到三角形三边所在直线的距离相等的点有到三角形三边所在直线的距离相等的点有 4 4 个个 三角形的稳定性 三角形的稳定性 三角形的形状是固定的 三角形的这个性质叫三角形的稳定性 多边形 多边形 在平面内 由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 多边形的内角 多边形的内角 多边形相邻两边组成的角叫做它的内角 多边形的外角 多边形的外角 多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角 多边形的对角线 多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 叫做多边形的对角线 正多边形 正多边形 在平面内 各个角都相等 各条边都相等的多边形叫做正多边形 平面镶嵌 平面镶嵌 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖 叫做用多边形覆盖平面 平面镶嵌的条件 平面镶嵌的条件 各个顶点处内角和恰好为 360 度 正多边形镶嵌正多边形镶嵌 三角形 四边形 正六边形 三角形的内角和 三角形的内角和 三角形的内角和为 180 三角形外角的性质 三角形外角的性质 性质 1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 性质 2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 三角形中内 外角平分线相交所成的角与三角形的内角的关系三角形中内 外角平分线相交所成的角与三角形的内角的关系 1 90 2 BOCA 1 2 BOCA 1 90 2 BOCA 多边形内角和公式 多边形内角和公式 n 边形的内角和等于 n 2 180 多边形的外角和 多边形的外角和 多边形的内角和为 360 多边形对角线的条数 多边形对角线的条数 1 从 n 边形的一个顶点出发可以引 n 3 条对角线 把多边形 分成 n 2 个三角形 2 n 边形共有条对角线 2 3 n n 全等三角形 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 一个三角形经过平移 翻折 旋转可以得到它的全等形 全等三角形的性质全等三角形的性质 2 1 全等三角形的对应边相等 对应角相等 2 全等三角形的周长相等 面积相等 3 全等三角形的对应边上的对应中线 角平分线 高线分别相等 全等三角形的判定全等三角形的判定 边边边边边边 三边对应相等的两个三角形全等 可简写成 SSS 边角边边角边 两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等 可简写成 SAS 角边角角边角 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 可简写成 ASA 角角边角角边 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 可简写成 AAS 斜边斜边 直角边直角边 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 可简写成 HL 证明两个三角形全等的基本思路证明两个三角形全等的基本思路 角的平分线角的平分线 1 性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2 判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 学习全等三角形应注意以下几个问题学习全等三角形应注意以下几个问题 1 要正确区分 对应边 与 对边 对应角 与 对角 的不同含义 2 表示两个三角形全等时 表示对应顶点的字母要写在对应的位置上 3 有三个角对应相等 或 有两边及其中一边的对角对应相等 的两个三角形不一 定全等 4 时刻注意图形中的隐含条件 如 公共角 公共边 对顶角 轴对称图形轴对称图形 1 把一个图形沿着一条直线折叠 如果直线两旁的部分能够完全重合 那么这个图形就叫 做轴对称图形 这条直线就是它的对称轴 这时我们也说这个图形关于这条直线 成轴 对称 2 把一个图形沿着某一条直线折叠 如果它能与另一个图形完全重合 那么就说这两个 图关于这条直线对称 这条直线叫做对称轴 折叠后重合的点是对应点 叫做对称点 3 轴对称图形和轴对称的区别与联系 方法指引 证证明明两两个个三三角角形形全全等等的的基基本本思思路路 1 已已知知两两边边 找找第第三三边边 SSS 找找夹夹角角 SAS 2 已已知知一一边边一一角角 已已知知一一边边和和它它的的邻邻角角 找找是是否否有有直直角角 HL 已已知知一一边边和和它它的的对对角角 找找这这边边的的另另一一个个邻邻角角 ASA 找找这这个个角角的的另另一一个个边边 SAS 找找这这边边的的对对角角 AAS 找找一一角角 AAS 已已知知角角是是直直角角 找找一一边边 HL 3 已已知知两两角角 找找两两角角的的夹夹边边 ASA 找找夹夹边边外外的的任任意意边边 AAS 练习 3 轴对称的性质轴对称的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形 如果两个图形关于某条直线对称 那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 轴对称图形的对称轴 是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分 那么这两个图形关于这条直线对称 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 1 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线 也叫中垂线 2 线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3 与一条线段两个端点距离相等的点 在线段的垂直平分线上 用坐标表示轴对称 用坐标表示轴对称 在平面直角坐标系中 关于x轴对称的点横坐标相等 纵坐标互为相反数 关于y轴对称的 点横坐标互为相反数 纵坐标相等 点 x y 关于x轴对称的点的坐标为 点 x y 关于y轴对称的点的坐标为 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 这个点到三角形三个顶点的距离相等 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等 等边对等角 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 三线合一 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 等角对等边 等边三角形的性质等边三角形的性质 等边三角形的三个角都相等 并且每一个角都等于60 等边三角形的判定等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 在直角三角形中 如果一个锐角等于 300 那么它所对的直角边等于斜边的一半 4 1 已知 AB 4 AC 2 D 是 BC 中点 AD 是整数 求 AD A D BC 2 已知 BC DE B E C D F 是 CD 中点 求证 1 2 A B CD E F 2 1 3 已知 1 2 CD DE EF AB 求证 EF AC B A C D F 2 1 E 5 4 已知 AD 平分 BAC AC AB BD 求证 B 2 C 5 已知 AC 平分 BAD CE AB B D 180 求证 AE AD BE 6 如图 四边形 ABCD 中 AB DC BE CE 分别平分 ABC BCD 且点 E 在 AD 上 求证 BC AB DC 6 7 P 是 BAC 平分线 AD 上一点 AC AB 求证 PC PB AC AB PD A C B 8 如图 在 ABC 中 BD DC 1 2 求证 AD BC 9 如图 OM 平分 POQ MA OP MB OQ A B 为垂足 AB 交 OM 于点 N 求证 1 OAB OBA 2 OM AB 7 10 6 分 如图 E F 分别为线段 AC 上的两个动点 且 DE AC 于 E BF AC 于 F 若 AB CD AF CE BD 交 AC 于点 M 1 求证 MB MD ME MF 2 当 E F 两点移动到如图 的位置时 其余条件不变 上述结论能否成立 若成立 请给予证明 若不成立请说明理由 11 已知 如图 DC AB 且 DC AE E 为 AB 的中点 1 求证 AED EBC 2 观看图前 在不添辅助线的情况下 除 EBC 外 请再写出两个与 AED 的面积 相等的三角形 直接写出结果 不要求证明 12 如图 AE BC 交于点 M F 点在 AM 上 BE CF BE CF 求证 AM 是 ABC 的中线 O E D C B A 8 M F E C B A 13 AB AC DB DC F 是 AD 的延长线上的一点 求证 BF CF F D CB A 14 如图 AB CD AE DF CE FB 求证 AF DE F E D C B A 15 已知 如图所示 AB AD BC DC E F 分别是 DC BC 的中点 求证 AE AF D B C c A F E 16 如图 在四边形 ABCD 中 E 是 AC 上的一点 1 2 3 4 求证 5 6 9 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 E E D D C C B B A A 17 已知 如图 AB AC BD AC CE AB 垂足分别为 D E BD CE 相交于点 F 求 证 BE CD A C D E F 18 如图 在 ABC 中 AD 为 BAC 的平分线 DE AB 于 E DF AC 于 F 求证 1 DE DF 2 AD EF A E B D C F 19 如图 AB AC ME AB MF AC 垂足分别为 E F ME MF 求证 MB MC 10 B CM A F E 20 在 ABC 中 直线经过点 且于 90ACBBCAC MNCMNAD D 于 1 当直线绕点旋转到图 1 的位置时 MNBE EMNC 求证 1 2 ADC CEB BEADDE 3 当直线绕点旋转到图 2 的位置时 1 中的结论还成立吗 若成立 MNC 请 给出证明 若不成立 说明理由 21 如图所示 已知 AE AB AF AC AE AB AF AC 求证 1 EC BF 2 EC BF 11 AE B M C F 22 如图 BE AC CF AB BM AC CN AB 求证 1 AM AN 2 AM AN 23 如图 已知 1 2 3 4 求证 AB CD 3 4 2 1 D C B A 24 如图 已知 AB DC AC DB BE CE 求证 AE DE A BEC D F B C A M N E 1 2 3 4 12 25 如图所示 ABC 是等腰直角三角形 ACB 90 AD 是 BC 边上的中线 过 C 作 AD 的垂线 交 AB 于点 E 交 AD 于点 F 求证 ADC BDE A B C D E F 26