用不动点法求数列通项

用不动点法求数列的通项用不动点法求数列的通项 定义 定义 方程xxf 的根称为函数 xf的不动点 利用递推数列 xf的不动点 可将某些递推关系 1 nn afa所确定的数列化为等 比数列或较易求通项的数列 这种方法称为不动点法 定理定理 1 若 1 0 aabaxxfp是 xf的不动点 n a满足递推关系 1 1 nafa nn 则 1 paapa nn 即 pan 是公比为a的等比数列 证明 证明 因为 p是 xf的不动点 pbap appb 由baaa nn 1 得 11 paapbaapa nnn 所以 pan 是公比为a的等比数列 定理定理 2 设 0 0 bcadc dcx bax xf n a满足递推关系1 1 nafa nn 初值条件 11 afa 1 若 xf有两个相异的不动点qp 则 qa pa k qa pa n n n n 1 1 这里 qca pca k 2 若 xf只有唯一不动点p 则k papa nn 1 11 这里 da c k 2 证明 证明 由xxf 得x dcx bax xf 所以0 2 bxadcx 1 因为qp 是不动点 所以 0 0 2 2 bqadcq bpadcp qca bqd q pca bpd p 所以 qa pa qca pca qca bqd a pca bpd a qca pca qdbaqca pdbapca q dca baa p dca baa qa pa n n n n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 令 qca pca k 则 qa pa k qa pa n n n n 1 1 2 因为p是方程0 2 bxadcx的唯一解 所以0 2 bpadcp 所以apcppdb 2 c da p 2 所以 dca pacpa dca apcpacpa dca pdbacpa p dca baa pa n n n n n n n n n 1 1 1 2 1 1 1 1 1 所以 da c papacpa cpd cpa c pa cpdpac cpapa dca cpapa nnn n n n n 211 111 111 1 1 1 令 da c k 2 则k papa nn 1 11 例例 1 设 n a满足 11 2 1Nn a a aa n n n 求数列 n a的通项公式 例例 2 数列 n a满足下列关系 0 2 2 2 11 a a a aaaa n n 求数列 n a的通项公式 定理定理 3 设函数 0 0 2 ea fex cbxax xf有两个不同的不动点 21 x x 且由 1nn ufu 确定着数列 n u 那么当且仅当aeb2 0 时 2 2 1 21 11 xu xu xu xu n n n n 证明证明 k x是 xf的两个不动点 fex cbxax x k kk k 2 即 kkk bxxaefxc 2 2 1 k 2 2 22 2 1 2 11 2 22 2 11 2 2 2 1 2 21 11 bxxaeuexbau bxxaeuexbau fxcuexbau fxcuexbau feuxcbuau feuxcbuau xu xu nn nn nn nn nnn nnn n n 于是 2 2 1 21 11 xu xu xu xu n n n n 2 22 2 2 11 2 2 2 22 2 1 2 11 2 2 2 xuxu xuxu bxxaeuexbau bxxaeuexbau nn nn nn nn 2 22 2 2 11 2 2 2 22 2 1 2 11 2 2 2 xuxu xuxu a bxxae u a exb u a bxxae u a exb u nn nn nn nn 2 2 1 1 2 2 x a exb x a exb 0 2 0 2 2 1 xeab xeab 1 1 2 1 x x 0 方程组有唯一解aeb2 0 例例 3 已知数列 n a中 2 11 2 2 2Nn a a aa n n n 求数列 n a的通项 其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形 还可以解决如下问题 例例 4 已知1 0 11 aa且 1 4 16 2 24 1 nn nn n aa aa a 求数列 n a的通项 解解 作函数为 1 4 16 2 24 xx xx xf 解方程xxf 得 xf的不动点为 ixixxx 3 3 3 3 1 1 4321 取1 1 qp 作如下代换 4 234 234 2 24 2 24 1 1 1 1 1464 1464 1 1 4 16 1 1 4 16 1 1 n n nnnn nnnn nn nn nn nn n n a a aaaa aaaa aa aa aa aa a a 逐次迭代后 得 11 11 4 1 4 1 4 1 4 1 1 1 1 1 nn nn aa aa an 已知曲线 从点向曲线引斜率为 22 20 1 2 n Cxnxyn 1 0 P n C 的切线 切点为 0 nn k k n l nnn P xy 求数列的通项公式 nn xy与 证明 13521 1 2sin 1 nn n nn xx xxxx xy 设为实数 是方程的两个实根 数列满足 pq 2 0 xpxq n x 1 xp 1 证明 2 2 2 xpq 12nnn xpxqx 3 4n p q 求数列的通项公式 3 若 求的前项和 n x1p 1 4 q n xn n S 已知函数 是方程的两个根 是 2 1f xxx 0f x fx 的导数 设 f x 1 1a 1 12 n nn n f a aan fa 1 求的值 2 证明 对任意的正整数 都有 n n a 3 记 求数列的前项和ln 12 n n n a bn a n bn n S 13 陕西文 21 本小题满分 12 分 已知数列满足 n a 1 12 12 2 nn n aa aaanN 2 令 证明 是等比数列 求的通项公式 1nnn baa n b n a 2山东文 20 本小题满分 12 分 等比数列 的前 n