几何计算型综合问题

几何计算型综合问题解答策略几何计算型综合问题解答策略 知识点透视 几何计算型综合问题 是以计算为主线的综合各种几何知识的问题 在近年考试卷中 占有相当的分量 这类问题的主要特点是包含知识点多 覆盖面广 逻辑关系复杂 解法 灵活 考查方式偏重于考查考生分析问题 探究问题 综合应用数学知识解决实际问题的 能力 要求学生熟练掌握三角形 四边形 三角函数 圆等几何知识 较熟练地应用转 化思想 方程思想 分类讨论思想 数形结合思想等常见的数学思想 解题时必须在充 分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系 分 解基本图形 或通过添加辅助线补全或构造基本图形 并善于联想所学知识 突破思维 障碍 合理运用方程等各种数学思想才能解决 这类题往往图形较复杂 涉及的知识点较 多 题设和结论之间的关系较隐蔽 常常需要添加辅助线来解答 解几何综合题 一要 注意图形的直观提示 二要注意分析挖掘题目的隐含条件 发展条件 为解题创造条件 打好基础 同时 也要由未知想需要 选择已知条件 转化结论来探求思路 找到解决 问题的关键 解几何综合题 还应注意以下几点 注意观察 分析图形 把复杂的图形分解成几个基本图形 通过添加辅助线补全或构 造基本图形 掌握常规的证题方法和思路 运用转化的思想解决几何证明问题 运用方程的思想解决几何计算问题 还要灵活运 用数学思想方法伯数形结合 分类讨论等 典型例题 例 1 边长为 2 的菱形 ABCD 中 B 45 AE 为 BC 边上的高 将 ABE 沿 AE 所在直 线翻折得 AB E 那么 AB E 与四边形 AECD 重叠部分的面积是 分析 解答本题首先要根据题意 画出图形 如图 1 然后根据对称性和相关几何知识进 行求解 解 在 Rt ABE 中 B 45 AB 2 图 1 D A B C Q P 图 2 AE BE S ABE 1 2 由翻折知 AB E ABE EB EB 2 B C BB BC 2 2 2 四边形 ABCD 是菱形 CF BA B FC B AB 90 B CF B 45 CF S B FC 3 2 22 2 2 BC 2 2 1 CF2 S 阴 S AB E S CFB 2 2 2 说明 图形折叠问题的本质是全等变换 也是近年中考题中的一个亮点 这类问题的解 决方法是要抓住因折叠而形成的等线段和等角 这些相等关系是解决问题的关键 常用代 数方程求解 例 2 如图 2 在矩形 ABCD 中 AB 12cm BC 6cm 点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2cm s 的速度移动 点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm s 的速度移动 如果 P Q 同 时出发 用 t s 表示移动的时间 0 t 6 那么 当 t 为何值时 QAP 为等腰直角三角形 求四边形 QAPC 的面积 提出一个与计算结果有关的结论 当 t 为何值时 以点 Q A P 为顶点的三角形与 ABC 相似 分析 中应由 QAP 为等腰直角三角形这一结论 需补充条件 AQ AP 由 AQ 6 t AP 2t 可求出 t 的值 中四边形 QAPC 是一个不规图形 其面积可由矩形面 积减去 DQC 与 PBC 的面积求出 中由于题目中未给出三角形的相似对应方式 因此 须分类讨论 解 AP 2t DQ t QA 6 t 当 QA AP 即 6 t 2t t 2 s 时 QAP 为等腰直角三角形 S DQC 12 t 6t S PBC 6 12 2t 36 6t S四边形 2 1 2 1 QAPC 12 6 6t 36 6t 36 cm2 由计算结果可见 在 P Q 两点移动的过程中 四边形 QAPC 的面积始终保持不变 图 3 D E C A O F B 图 4 QAP ABC 90 当时 QAP ABC BC AP AB QA 6 2 12 6tt 解之得 t 1 2 s 当时 PAQ ABC AB AP BC QA 12 2 6 6tt 解之得 t 3 s 故当 t 1 2s 或 3s 时 以点 Q A P 为顶点的三角形与 ABC 相似 说明 本例是动态几何题 同时也是一道探究题 要求学生具有一定的发现 归纳和表 达能力 这就要求我们通过计算分析 抓其本质 揭示出变中不变的规律 其结论也可 提出 P Q 两点到对角线 AC 的距离之和保持不变 四边形 QAPC 的面积也可由 QAC 与 CAP 的面积求出 中考察了分类讨论的数学思想 结论具有一定的开放性 例 3 当你进入博物馆的展览厅时 你知道站何处观赏最理想 如图 3 设墙壁上的展品最高处点 P 距离场面 a 米 最低处点 Q 距离场面 b 米 观赏者的 眼睛点 E 距离地面 m 米 当过点 P Q E 三点的圆与过点 E 的水平线相切于点 E 时 视 角 PEQ 最大 站在此处观赏最理想 1 设点 E 到墙壁的距离为 x 求 a b m x 的关系式 2 当 a 2 5 b 2 m 1 6 时 求 和墙壁的距离为 x 米 视角 PEQ 的度数 精确到 1 度 1 2 解 1 水平直线 HE 切 O 于点 E HE2 QH HP 又 HE x QH b m PH a m x2 a m b m 2 当 a 2 5 b 2 m 1 6 时 由 1 中所得 1 x2 2 5 1 6 2 1 6 x 0 6 点 E 与墙壁距离 x 的值为 0 6 米 作 OD PR 于 D 则 POQ 2 POD POQ 2 PEQ 2 PEQ POD 在 Rt POD 中 tan POD 12 5 OD PD PEQ 23 说明 将几何计算题富于一个实际情境是中考中的一个新视点 符合新课程标准的精神 在今后的中考命题将会有很强的生命力 解这类题时 要能从实际中抽象出纯数学问题 然后利用相关知识解决问题 复习中应注意对常规题进行演变 有对针性训练 例 4 如图 4 方形 ABCD 的 AB 边为直径 在正方形内部作半圆 圆心为 O DF 切半圆于点 E 交 AB 的延长线于点 F BF 4 求 1 cos F 的值 2 BE 的长 分析 1 要求 cos F 的值 就要把 F 放 到直角三角形中 由于 DF 是半圆切线 只要连结 OF 即可 然后利用相似三角形定理 求出 OF EF 2 利用勾股定理和相似三角形即可求得 解 1 连结 OE DF 切半圆于 E OEF 90 在正方形 ABCD 中 AB AD DAF 90 OEF DAF 又 F 为公共角 OEF DAF 即 2 1 AB OE DA OE AF EF AF 2EF DF 切半圆 O 于 E EF2 FB FA BF 2EF EF 2BF 8 AF 2EF 16 AB AF BF 12 FO AB BF 2 1 2 1 12 4 10 在 Rt OEF 中 cos F 5 4 10 8 FO EF 2 连结 AE DF 切半圆于 E EAF BEF F F BEF EAF 设 BE k k 0 则 AE 2k AB 为半圆 O 的直径 2 1 16 8 AF EF EA BE AEB 90 在 Rt AEB 中 AE2 BE2 AB2 2k 2 k2 122 BE k 5 5 12 说明 在相似形 圆等问题中渗透三角形函数知识 方程知识 围绕有关相似比 面积 之比来命题是近年中考题命题又一新特点 解这类题要善于把三角函数的值与线段比相 互转化 并能设参数来表示有关线段 运用勾股定理或相似三角形的有关比例式来解 决 解几何计算综合题要善于把复杂的几何图形 分解 为若干个基本图形 并综合这 些基本图形的性质及图形中元素的内在联系去思考 则能快速找到解题途径 例 5 有一长方形的餐厅 长 10m 宽 7m 现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子 一套圆 桌和椅子占据的地面部分可看成半径为 1 5m 的圆形 如图 5 1 所示 在保证通道最狭 窄处的宽度不小于 0 5m 的前提下 问此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅 子呢 请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种 在右下方 14 20 方格纸内画出设计 示意图 提示 画出的圆应符合比例要求 为了保证示意图的清晰 请你在有把握后才将 设计方案正式画在方格纸上 图 5 1 图 5 2 图 5 3图 5 4 A BC 图 6 分析 这是一道方案设计问题 图 5 2 中每一正方形小格宽度均表示 0 5m 餐厅内能否 摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子 就看能否在图 11 7 2 中画出三个或四个半径为 三格宽的圆 并使圆与圆之间 圆与方格纸外边框之间的间距不少于一格 我们可以按 画三个圆 画四个圆分别计算 解 此餐厅内能摆下三套和四套同样大小的圆桌和椅子 摆放三套与四套的设计方案参考 图 5 3 图 5 4 只要满足如下条件 每个圆的半径为 1 5cm 每个圆的圆心到方格纸外边框的距离不小于 2cm 任意两圆的圆心距不小于 3 5cm 说明 对于一道运用几何计算进行探索的综合型问题 要注意相关的条件 可以先假设结 论成立 然后通过计算求相应的值 再作存在性的判断 该试题是在考生容易想象的情境 中考查学生用数学的能力 源于生活 打破常规 重视学生探究问题的能力的培养和动 手操作意识的形成 这是今后中考试题的一个方向 几何型综合题不管试题如何变化 都是以日常学习中的基本知识为背景 或让几个 背景叠加 或让静态的几何关系运动起来 在运动中探求图形不变的位置或数量关系 因此 这类问题的解决是以具有扎实的基本功为前提的 因此只要平时注重基本知识 基本图形的积累与总结 再合理运用解题策略 就可以达到事半功倍的效果 D F C A B E 图 9 A B C P Q 图 8 图 7 习题 如图 6 在 ABC 中 已知 BC 6 C 600 sinA 0 8 求 AB 和 AC 的长 结果保留根号 如图 7 挂着 庆祝凤凰广场竣工 条幅的氢气球升在广场上空 已知气球的直径为 4m 在地面 A 点测得气球中心 O 的仰角 OAD 60 测得气球的视角 BAC 2 AB AC 为 O 的切线 B C 为切点 则气球中心 O 离地面的高度 OD 为 精确到 1m 参考数据 sin1 0 0178 1 732 A 94m B 95m C 99m D 105m 3 如图 8 Rt ABC 中 AC 5 BC 12 ACB 90 P 是 AB 边上的动点 与点 A B 不重合 Q 是 BC 边上 的动点 与点 B C 不重合 如图 当 PQ AC 且 Q 为 BC 的中点时 求线段 CP 的长 当 PQ 与 AC 不平行时 CPQ 可能为直角三角形吗 若有 可能 请求出线段 CQ 长的取值范围 若不可能 请说明理由 如图 9 将矩形 ABCD AB AD 沿 BD 折叠后 点 C 落在点 E 处 且 BE 交 AD 于点 F 若 AB 4 BC 8 求 DF 的长 若 DA 平分 EDB 求的值 BC AB 答案部分 答案部分 习题 过 B 点作 ABC 的高 BD 则在 Rt BCD 中 CD BC 3 BD 在 Rt ABD 中 AB 2 1 33 AD 从而 AC AD CD 3 4 315 8 0 33 sin A BD 4 39 22 BDAB 4 39 说明 遇到 600 sinA 应联想到解直角三角形 为了保证 600 sinA 的方便使用 应考 虑由 B 点向 AC 作高 C 3 在 Rt ABC 中 AC 5 BC 12 ACB 90 AB 13 Q 为 BC 的中点 CQ QB 又 PQ AC AP PB 即 P 是 AB 的中点 在 Rt ABC 中 CP 当 PQ 与 AC 2 13 2 AB 不平行时 只有当 CPQ 90 时 CPQ 才可能为直角三角形 以 CQ 为直径作半圆 D 当半圆 D 与 AB 相切时 设切点为 M 连结 DM 则 DM AB 且 AC AM 5 MB AB AM 13 5 8 设 CD x 则 DM x DB 12 x 在 Rt DMB 中 DB2 DM2 MB2 即 12 x 2 x2 82 解得 x CQ 2x 即当 CQ 点 P 运动到 3 10 3 20 3 20 切点 M 位置时 CPQ 为直角三角形 当 CQ 12 时 半圆 D 与直线 AB 有两个交点 3 20 当点 P 运动到这两个交点的位置时 CPQ 为直角三角形 当 0 CQ 时 半圆 D 与 3 20 直线 AB