2014届高考理科数学总复习课时作业：第7章《不等式》5

课时作业课时作业 四十四四十四 1 已知 a b 0 1 且 a b 下列各式中最大的是 A a2 b2 B 2 ab C 2ab D a b 答案 D 解析 只需比较 a2 b2与 a b 由于 a b 0 1 a2 a b2 b a2 b2 a b 2 x R 下列不等式恒成立的是 A x2 1 x B lg 2x D x2 4 4x 答案 A 3 设实数 x y m n 满足 x2 y2 1 m2 n2 3 那么 mx ny 的最大值 是 A B 2 3 C D 5 10 2 答案 A 解析 方法一 设 x sin y cos m sin n cos 其中 33 0 180 mx ny sin sin cos cos cos 故选 A 333 方法二 m2 n2 3 2 2 1 m 3 n 3 2 x2 y2 2 2 mx ny m 3 n 3 2 3 mx ny 3 4 若 x y 是正数 则 x 2 y 2的最小值是 1 2y 1 2x A 3 B 7 2 C 4 D 9 2 答案 C 解析 由题意 x 2 y 2 2 x y 2 xy 1 2 1 2y 1 2x 1 2y 1 2x 1 4xy 4 2 xy 1 4xy 1 成立的条件Error 不矛盾 故 能成立 5 2011 上海 若 a b R 且 ab 0 下列不等式中 恒成立的是 A a2 b2 2ab B a b 2 ab C lgx x 0 1 4 B sinx 2 x k k Z 1 sinx C x2 1 2 x x R D 1 x R 1 x2 1 答案 C 解析 取 x 则 lg x2 lgx 故排除 A 取 x 则 sinx 1 故 1 2 1 4 3 2 排除 B 取 x 0 则 1 故排除 D 应选 C 1 x2 1 7 2012 陕西 小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b a b 其全程的 平均时速为 v 则 A a v B v abab C v D v ab a b 2 a b 2 答案 A 解析 设甲 乙两地的距离为 S 则从甲地到乙地所需时间为 从乙地到 S a 甲地所需时间为 又因为 a b 所以全程的平均速度为 v a 即 a v0 得 c 1 a a2 a a 1 c c 1 a a 1 1 a 1 a 1 a 1 a2 1 a a2 a 4 当且仅当 a 即 a 1 时取等号 1 a2 1 a 1 a 10 2012 潍坊模拟 已知 x 0 y 0 且 1 若 x 2y m2 2m 恒成立 2 x 1 y 则实数 m 的取值范围是 A m 4 或 m 2 B m 2 或 m 4 C 2 m 4 D 4 m0 y 0 且 1 2 x 1 y x 2y x 2y 4 4 2 8 当且仅当 即 2 x 1 y 4y x x y 4y x x y 4y x x y 4y2 x2 x 2y 时取等号 又 1 此时 x 4 y 2 x 2y min 8 要 2 x 1 y 使 x 2y m2 2m 恒成立 只需 x 2y min m2 2m 恒成立 即 8 m2 2m 解得 4 m1 时 x 的最小值为 4 x 1 2 x 4 时 x 的最小值为 4 x 1 答案 1 5 2 16 3 解析 1 x 1 x 1 0 x x 1 1 2 1 5 4 x 1 4 x 14 当且仅当 x 1 即 x 3 时 号成立 4 x 1 x 的最小值为 5 4 x 1 2 x 4 x 1 3 函数 y x 在 3 上为增函数 4 x 当 x 1 3 时 y x 1 1 有最小值 4 x 1 16 3 13 若 a 0 b 0 a b 1 则 ab 的最小值为 1 ab 答案 17 4 解析 ab 2 a b 2 1 4 当且仅当 a b 时取等号 1 2 y x 在 x 0 上为减函数 1 x 1 4 ab 的最小值为 4 1 ab 1 4 17 4 14 2010 山东文 已知 x y R 且满足 1 则 xy 的最大值为 x 3 y 4 答案 3 解析 因为 1 2 2 所以 xy 3 当且仅当 即 x 3 y 4 x 3 y 4 xy 12 xy 3 x 3 y 4 x y 2 时取等号 故 xy 的最大值为 3 3 2 15 a b 0 则 a2 最小值为 16 b a b 答案 16 解析 a b 0 b a b 2 b a b 2 a2 4 当且仅当 a 2b 时等号成立 a2 a2 a2 16 16 b a b 16 a2 4 64 a2 当且仅当 a 2 b 时 a2 取得最小值 16 22 16 b a b 16 已知 a b c 都是正实数 且满足 log9 9a b log3 求使 ab 4a b c 恒成立的 c 的取值范围 答案 00 所以要使 4a b c 恒成立 c 的取值范围为 0 c 25 17 如图 在半径为 30 cm 的半圆形 O 为圆心 铝皮上截取一块矩形材料 ABCD 其中点 A B 在直径上 点 C D 在圆周上 1 怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大 并求最大面积 2 若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧 面 不计剪裁和拼接铝耗 应怎样截取 才能使做出的圆柱形罐子体积最大 并求最大体积 解析 1 连接 OC 设 BC x 矩形 ABCD 的面积为 S 则 AB 2 其中 0 x 30 900 x2 所以 S 2x 2 x2 900 x2 900 900 x2x2 900 x2 当且仅当 x2 900 x2 即 x 15时 S 取最大值 900 cm2 2 答 取 BC 为 15 cm 时 矩形 ABCD 的面积最大 最大值为 900 cm2 2 2 设圆柱底面的半径为 r 高为 x 体积为 V 由 AB 2 2 r 得 r 900 x2 900 x2 所以 V r2x 900 x x3 其中 0 x0 n 0 n 所以 PQ 2 4 OP 2 4 m2 n2 4 m2 2 m 4 m2 16 当且仅当 m2 即 m 时 取等号 故线段 PQ 长的最小值是 4 4 m22 5 有一批材料可以建成 200 m 长的围墙 若用此批材料在一边靠墙的地方 围成一块矩形场地 中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形 如图所示 则 围成场地的最大面积为 围墙的厚度不计 答案 2 500 m2 解析 设所围场地的长为 x 则宽为 其中 0 x0 a 恒成立 则 a 的取值范围是 x x2 3x 1 答案 1 5 解析 若对任意 x 0 a 恒成立 只需求得 y 的最 x x2 3x 1 x x2 3x 1 大值即可 因为 x 0 所以 y 当且仅当 x x2 3x 1 1 x 1 x 3 1 2 x 1 x 3 1 5 x 1 时取等号 所以 a 的取值范围是 1 5 7 设 x 0 y 0 不等式 0 恒成立 则实数 m 的最小值是 1 x 1 y m x y 答案 4 解析 原问题等价于 恒成立 m x y 1 x 1 y x 0 y 0 等价于 m x y 的最大值 1 x 1 y 而 x y 2 2 2 4 当且仅当 x y 时取 1 x 1 y y x x y 故 m 4 8 2012 江苏 如图 建立平面直角坐标系 xOy x 轴在地平面上 y 轴垂直 于地平面 单位长度为 1 千米 某炮位于坐标原点 已知炮弹发射后的轨迹在 方程 y kx 1 k2 x2 k 0 表示的曲线上 其中 k 与发射方向有关 炮的射程 1 20 是指炮弹落地点的横坐标 1 求炮的最大射程 2 设在第一象限有一飞行物 忽略其大小 其飞行高度为 3 2 千米 试问它 的横坐标 a 不超过多少时 炮弹可以击中它 请说明理由 解析 1 令 y 0 得 kx 1 k2 x2 0 由实际意义和题设条件知 1 20 x 0 k 0 故 x 10 当且仅当 k 1 时取等号 所以炮的最大射程 20k 1 k2 20 k 1 k 20 2 为 10 千米 2 因为 a 0 所以炮弹可击中目标 存在 k 0 使 3 2 ka 1 k2 a2成 1 20 立 关于 k 的方程 a2k2 20ak a2 64 0 有正根 判别式 20a 2 4a2 a2 64 0 a 6 所以当 a 不超过 6 千米时 可击中目标 9 1 0 x 1 最小值 1 x 2 1 x 2