高三数学 圆锥曲线讲解及练习稿

1 圆锥曲线圆锥曲线 一 基本知识一 基本知识 1 椭圆 1 定义 定义 1 平面内一个动点到两个定点 F1 F2的距离之和等于常数 大于 F1F2 这个动点的轨迹叫椭圆 这两个定点叫焦点 定义 2 点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常 数 时 这个点的轨迹是椭圆 e 0e1 c a 2 图形和标准方程 图 的标准方程为 图 的标准方程为 811 ab0 821 ab0 x a y b x b y a 2 2 2 2 2 2 2 2 3 几何性质 条件 M MF1 MF2 2a 2a F1F2 M MF Ml MF Ml e0e1 1 1 2 2 点到 的距离点到 的距离 标准方程x a y b ab 2 2 2 2 10 x b y a ab 2 2 2 2 10 顶点 A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b A1 0 a A2 0 a B1 b 0 B2 b 0 轴 对称轴 x 轴 y 轴 长轴长 A1A2 2a 短轴长 B1B2 2b 焦点 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 焦距 F1F2 2c c 0 c2 a2 b2 2 离心率 e 0e1 c a 准线方程ll 12 xx a c a c 22 ll 12 yy a c a c 22 焦点半径 MF1 a ex0 MF2 a ex0 MF1 a ey0 MF2 a ey0 点和椭圆 的关系 外 在椭圆上 内 x a y b xy 0 2 2 0 2 2 00 1 k 为切线斜率 ykx a kb 222 k 为切线斜率 ykx b ka 222 切线方程 x x a y y b 0 2 0 2 1 x0 y0 为切点 x x b y y a 0 2 0 2 1 x0 y0 为切点 切点弦 方 程 x0 y0 在椭圆外 x x a y y b 0 2 0 2 1 x0 y0 在椭圆外 x x b y y a 0 2 0 2 1 弦长公式 xx 1 k yy 1 1 k 21 2 12 2 或 其中 x1 y1 x2 y2 为割弦端点坐标 k 为割弦所在直 线的斜率 2 双曲线 1 定义 定义 1 平面内与两个定点 F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于 F1F2 的 点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫双曲线的焦点 定义 2 动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数 e e 1 时 这个动点的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点 2 图形和标准方程 图 8 3 的标准方程为 x a y b 2 2 2 2 1 a0b0 3 图 8 4 的标准方程为 y a x b 2 2 2 2 1 a0b0 3 几何性质 条件 P M MF1 MF2 2a a 0 2a F1F2 P M MF Ml MF Ml ee1 1 1 2 2 点到 的距离 点到 的距离 标准方程 x a y b 2 2 2 2 1 a0b0 y a x b 2 2 2 2 1 a0b0 顶点 A1 a 0 A2 a 0 A1 0 a A2 0 a 轴 对称轴 x 轴 y 轴 实轴长 A1A2 2a 虚轴长 B1B2 2b 焦点 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 焦距 F1F2 2c c 0 c2 a2 b2 离心率 e e1 c a 准线方程ll 12 xx a c a c 22 ll 12 yy a c a c 22 渐近线 方 程 yx 0 或 b a x a y b 2 2 2 2 yx 0 或 a b y a x b 2 2 2 2 共渐近线 的双曲线 系方程 x a y b 2 2 2 2 k k0 y a x b 2 2 2 2 k k0 焦点半径 MF1 ex0 a MF2 ex0 a MF1 ey0 a MF2 ey0 a ykx a kb 222 k 为切线斜率 kk 或 b a b a ykx b ka 222 k 为切线斜率 kk 或 a b a b x x a y y b 0 2 0 2 1 x0 y0 为切点 y y a x x b 0 2 0 2 1 x0 y0 为切点 切线方程 xyaa xy 22 00 的切线方程 为切点 x yy x 00 2 4 切点弦 方 程 x0 y0 在双曲线外 x x a y y b 0 2 0 2 1 x0 y0 在双曲线外 y y a x x b 0 2 0 2 1 弦长公式 xx 1 k yy 1 1 k 21 2 12 2 或 其中 x1 y1 x2 y2 为割弦端点坐标 k 为 割弦所在直线的斜率 3 抛物线 1 定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定 点 F 叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 2 抛物线的标准方程 类型及几何性质 见下表 抛物线的标准方程有以下特点 都以原点为顶点 以一条坐标轴为对称轴 方程不同 开口方向不同 焦点在对称轴上 顶点到焦点的距离等于顶点到准线 距离 p 的几何意义 焦点 F 到准线l的距离 弦长公式 设直线为 抛物线为 ykxby2px AB 2 1 2 k xx yy 2121 1 1 2 k 焦点弦长公式 AB p x1 x2 关于抛物线焦点弦的几个结论 设 AB 为过抛物线焦点的弦 A 直线 2 2 0 ypx p 1122 x yB xy AB 的倾斜角为 则 以 AB 为直径的圆与 2 1212 4 p x xy yp 2 2 sin p AB 准线相切 112 FAFBp 设 F 是抛物线的焦点 M是抛物线上任一点 则 2 2 0 ypx p 00 xy 02 p MFx 过抛物线的焦点 F 作垂直于对称轴的直线 交抛物线于 A B 两点 则线 段 AB 称为抛物线的通径 其长为 2ABp 4 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线统称圆锥曲线 的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线 定点叫做焦点 定直线叫做准线 常数叫做离心率 用 e 表示 当 0 e 1 时 是椭圆 当 e 1 时 是双曲线 当 e 1 时 是抛物线 二 利用平移化简二元二次方程二 利用平移化简二元二次方程 1 定义 缺 xy 项的二元二次方程 Ax2 Cy2 Dx Ey F 0 A C 不同时为 0 通 过配方和平移 化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程 称为利用平移化简二元二次方程 A C 是方程 为圆的方程的必要条件 A 与 C 同号是方程 为椭圆的方程的必要条件 A 与 C 异号是方程 为双曲线的方程的必要条件 A 与 C 中仅有一个为 0 是方程 为抛物线方程的必要条件 5 2 对于缺 xy 项的二元二次方程 Ax2 Cy2 Dx Ey F 0 A C 不同时为 0 利用平移变换 可把圆锥曲线的 一般方程化为标准方程 其方法有 待定系数法 配方法 椭圆 或 xh a yk b xh b yk a 2 2 2 2 2 2 2 2 11 中心 O h k 双曲线 或 xh a yk b yk a xh b 2 2 2 2 2 2 2 2 11 中心 O h k 抛物线 对称轴平行于 x 轴的抛物线方程为 y k 2 2p x h 或 y k 2 2p x h 顶点 O h k 对称轴平行于 y 轴的抛物线方程为 x h 2 2p y k 或 x h 2 2p y k 顶点 O h k 以上方程对应的曲线按向量 a h k 平移 就可将其方程化为圆锥曲 线的标准方程的形式 二 易错点 1 1 圆锥曲线的两个定义圆锥曲线的两个定义 1 第一定义中要重视 括号 内的限制条件 椭圆中 与两个定点 F F 的距离 12 的和等于常数 且此常数一定要大于 当常数等于时 轨迹是线段2a2a 21F F 21F F F F 当常数小于时 无轨迹 双曲线中 与两定点 F F 的距离的差的绝对值 1221F F 12 等于常数 且此常数一定要小于 F F 定义中的 绝对值 与 F F 不可2a2a 12 2a 12 忽视 若 F F 则轨迹是以 F F 为端点的两条射线 若 F F 则轨迹2a 1212 2a 12 不存在 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支 如 1 已知定点 在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的 0 3 0 3 21 FF 是 A B C D 4 21 PFPF6 21 PFPF10 21 PFPF 12 2 2 2 1 PFPF 2 方程表示的曲线是 2222 6 6 8xyxy 2 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线 且 点点距为分子 点线距为 分母 其商即是离心率 圆锥曲线的第二定义 给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此e 点到相应准线距离间的关系 要善于运用第二定义对它们进行相互转化 如 08 宣武一模 已知 P 为抛物线上的动点 点 P 在 x 轴上的射影为 M 点 A 的坐 2 2 1 xy 标是 则的最小值是 2 17 6 PMPA 2 2 圆锥曲线的标准方程圆锥曲线的标准方程 标准方程是指中心 顶点 在原点 坐标轴为对称轴时的标准位 置的方程 1 椭圆 焦点在轴上时 参数方程 x1 2 2 2 2 b y a x 0ab cos sin xa yb 其中为参数 焦点在轴上时 1 方程表示椭 y 2 2 2 2 b x a y 0ab 22 1AxBy 圆的充要条件是什么 A B 同正 A B 如 1 已知方程表示椭1 23 22 k y k x 圆 则的取值范围为 2 若 且 则的最kRyx 623 22 yxyx 6 大值是 的最小值是 22 yx 2 双曲线 焦点在轴上 1 焦点在轴上 1 x 2 2 2 2 b y a x y 2 2 2 2 b x a y 方程表示双曲线的充要条件是 如 1 0 0ab 22 1AxBy 双曲线的离心率等于 且与椭圆有公共焦点 则该双曲线的方程 2 5 1 49 22 yx 2 设中心在坐标原点 焦点 在坐标轴上 离心率的双曲线 CO 1 F 2 F2 e 过点 则 C 的方程为 10 4 P 3 抛物线 开口向右时 开口向左时 开口 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 向上时 开口向下时 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 3 3 圆锥曲线焦点位置的判断圆锥曲线焦点位置的判断 首先化成标准方程 然后再判断 如 焦点为 2 2yx 1 椭圆 由 分母的大小决定 焦点在分母大的坐标轴上 如已知方程x 2 y 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆 则 m 的取值范围是1 21 22 m y m x 2 双曲线 由 项系数的正负决定 焦点在系数为正的坐标轴上 x 2 y 2 3 抛物线 焦点在一次项的坐标轴上 一次项的符号决定开口方向 特别提醒 1 在求解椭圆 双曲线问题时 首先要判断焦点位置 焦点 F F 的 12 位置 是椭圆 双曲线的定位条件 它决定椭圆 双曲线标准方程的类型 而方程中的两 个参数 确定椭圆 双曲线的形状和大小 是椭圆 双曲线的定形条件 在求解抛物 a b 线问题时 首先要判断开口方向 2 在椭圆中 最大 在双曲线中 最大 a 222 abc c 222 cab 3 不要思维定势认为圆锥曲线方程都是标准方程 4 4 圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线的几何性质 1 椭圆 以 为例 范围 1 2 2 2 2 b y a x 0ab 焦点 两个焦点 axabyb 0 c 对称性 两条对称轴 一个对称中心 0 0 四个顶点0 0 xy 其中长轴长为 2 短轴长为 2 准线 两条准线 离 0 0 ab ab 2 a x c 心率 椭圆 越小 椭圆越圆 越大 椭圆越扁 如 1 若椭 c e a 01e ee 圆的离心率 则的值是 1 5 22 m yx 5 10 em 2 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时 则椭圆长轴的最小 值为 2 双曲线 以 为例 范围 或 22 22 1 xy ab 0 0ab xa xa yR 焦点 两个焦点 对称性 两条对称轴 一个对称中心 0 c 0 0 xy 7 0 0 两个顶点 其中实轴长为 2 虚轴长为 2 特别地 当实轴和虚轴的 0 a ab 长相等时 称为等轴双曲线 其方程可设为 准线 两条准线 22 0 xyk k 离心率 双曲线 等轴双曲线 越小 开口 2 a x c c e a 1e 2e e 越小 越大 开口越大 两条渐近线 双曲线焦点到渐近线的距离是 垂e b yx a b 足恰好在准线上 如 1 双曲线的渐近线方程是 则该双曲线的离心率等于023 yx 2 双曲线的离心率为 则 22 1axby 5 a b 3 设双曲线 a 0 b 0 中 离心率 e 2 则两条渐近线1 2 2 2 2 b y a x 2 夹角 的取值范围 是 3 抛物线 以为例 范围 焦点 一个焦 2 2 0 ypx p 0 xyR 点 其中的几何意义是 焦点到准线的距离 对称性 一条对称轴 没 0 2 p p0y 有对称中心 只有一个顶点 0 0 准线 一条准线 离心率 抛 2 p x c e a 物线 如设 则抛物线的焦点坐标为 1e Raa 0 2 4axy 5 5 点和椭圆 的关系 00 P xy1 2 2 2 2 b y a x 0ab 1 点在椭圆外 2 点在椭圆上 00 P xy 22 00 22 1 xy ab 00 P xy 1 2 2 0 2 2 0 b y a x 3 点在椭圆内 00 P xy 22 00 22 1 xy ab 6 6 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系 1 相交 直线与椭圆相交 直线与双曲线相交 但直线与双曲0 0 线相交不一定有 当直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交且只有一个0 交点 故是直线与双曲线相交的充分条件 但不是必要条件 直线与抛物0 0 线相交 但直线与抛物线相交不一定有 当直线与抛物线的对称轴平行时 直线与0 抛物线相交且只有一个交点 故也仅是直线与抛物线相交的充分条件 但不是必要0 条件 如 1 若直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 6 的右支有两个不同的交点 则 k 的取值范围是 2 直线 y kx 1 0 与椭圆恒有公共点 则 m 的取值范围是 22 1 5 xy m 3 过双曲线的右焦点直线交双曲线于 A B 两点 若 AB 4 则这样的1 21 22 yx 直线有 条 2 相切 直线与椭圆相切 直线与双曲线相切 直线与0 0 0 8 抛物线相切 3 相离 直线与椭圆相离 直线与双曲线相离 直0 0 0 线与抛物线相离 特别提醒 1 直线与双曲线 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形 相切和相交 如果直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交 但只有一个交点 如果直线与抛物 线的轴平行时 直线与抛物线相交 也只有一个交点 2 过双曲线 1 外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况 2 2 2 2 b y a x 00 P xy 如下 P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线 和分别与双曲线两支相切的两条切线 共四条 P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线 和只与双曲线一支相切的两条切线 共四条 P 在两条渐近线上但非原点 只有两条 一条是与另一渐近线平行的直线 一 条是切线 P 为原点时不存在这样的直线 3 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点 两条切线和一条平 行于对称轴的直线 如 1 过点作直线与抛物线只有一个公共点 这样的直线有 4 2 xy8 2 2 过点 0 2 与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为1 169 22 yx 3 过双曲线的右焦点作直线 交双曲线于 A B 两点 若4 则满足条1 2 2 2 y xl AB 件的直线 有 条 l 4 对于抛物线 C 我们称满足的点在抛物线的内部 若xy4 2 0 2 0 4xy 00 yxM 点在抛物线的内部 则直线 与抛物线 C 的位置关系是 00 yxMl 2 00 xxyy 5 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于 P Q 两点 若线段 PF 与 FQ 的长分xy4 2 F 别是 则 pq qp 11 6 设双曲线的右焦点为 右准线为 设某直线交其左支 右支和右1 916 22 yx Flm 准线分别于 则和的大小关系为 填大于 小于或等于 RQP PFR QFR 7 求椭圆上的点到直线的最短距离 2847 22 yx01623 yx 8 直线与双曲线交于 两点 当为何值时 分1 axy13 22 yxABaAB 别在双曲线的两支上 当为何值时 以 AB 为直径的圆过坐标原点 答 a 7 7 焦半径 焦半径 圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离 的计算方法 利用圆锥曲线的第二定义 转化到相应准线的距离 即焦半径 其中表示 P 到与 F 所对应的准线的距离 red d 如 1 已知椭圆上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3 则点 P 到右准线的距离为1 1625 22 yx 9 2 已知抛物线方程为 若抛物线上一点到轴的距离等于 5 则它到抛物线的焦xy8 2 y 点的距离等于 3 若该抛物线上的点到焦点的距离是 4 则点的坐标为 MM 4 点 P 在椭圆上 它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍 则点 P 的1 925 22 yx 横坐标为 5 抛物线上的两点 A B 到焦点的距离和是 5 则线段 AB 的中点到轴的距离xy2 2 y 为 6 椭圆内有一点 F 为右焦点 在椭圆上有一点 M 使1 34 22 yx 1 1 P 之值最小 则点 M 的坐标为 MFMP2 8 8 焦点三角形 焦点三角形 椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形 问题 常利用第一定义 和正弦 余弦定理求解 设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为 00 P xy 12 F F 焦点的面积为 则在椭圆中 且 12 r r 12 FPF S1 2 2 2 2 b y a x 1 2 arccos 21 2 rr b 当即为短轴端点时 最大为 12 rr P max 2 22 arccos a cb 当即为短轴端点时 的最大值为 bc 对于双曲 2 0 tan 2 Sbc y 0 yb P max S 线的焦点三角形有 22 22 1 xy ab 21 2 2 1arccos rr b 2 cotsin 2 1 2 21 brrS 如 1 短轴长为 离心率的椭圆的两焦点为 过作直线交椭5 3 2 e 1 F 2 F 1 F 圆于 A B 两点 则的周长为 2 ABF 2 设 P 是等轴双曲线右支上一点 F1 F2是左右焦点 若 0 222 aayx PF1 6 则该双曲线的方程为 0 212 FFPF 3 椭圆的焦点为 F1 F2 点 P 为椭圆上的动点 当 0 时 22 1 94 xy PF2 PF1 点 P 的横坐标的取值范围是 4 双曲线的虚轴长为 4 离心率 e F1 F2是它的左右焦点 若过 F1的 2 6 直线与双曲线的左支交于 A B 两点 且是与等差中项 则AB 2 AF 2 BF AB 5 已知双曲线的离心率为 2 F1 F2是左右焦点 P 为双曲线上一点 且 求该双曲线的标准方程 60 21 PFF312 21 FPF S 9 9 圆锥曲线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 圆锥曲线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 1 抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切 椭圆以过焦点的弦为直径的圆和相 应准线相离 双曲线以过焦点的弦为直径的圆和相应准线相交 2 设 AB 为焦点弦 M 为与相应准线与 x 轴的交点 则 AMF BMF 3 抛物线设 AB 为焦点弦 A B 在准线上的射影分别为 A B 若 P 为 A B 的中 1111 10 点 则 PA PB 4 抛物线 椭圆 双曲线 设 AB 为焦点弦若 AO 的延长线交准线于 C 则 BC 平行 于 x 轴 反之 若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点 则 A O C 三点共线 1010 弦长公式 弦长公式 若直线与圆锥曲线相交于两点 A B 且分别为 A Bykxb 12 x x 的横坐标 则 若分别为 A B 的纵坐标 则 AB 2 12 1kxx 12 y yAB 若弦 AB 所在直线方程设为 则 特 21 2 1 1yy k xkyb AB 2 12 1kyy 别地 焦点弦 过焦点的弦 焦点弦的弦长的计算 一般不用弦长公式计算 而是将焦 点弦转化为两条焦半径之和后 利用第二定义求解 如 1 过抛物线 y2 4x 的焦点作直线交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 两点 若 x1 x2 6 那么 AB 等于 2 过抛物线焦点的直线交抛物线于 A B 两点 已知 AB 10 O 为坐标xy2 2 原点 则 ABC 重心的横坐标为 1111 圆锥曲线的中点弦问题 圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用 韦达定理 或 点差法 求解 在椭圆中 以为中点的弦所在直线的斜率 k 在双曲线1 2 2 2 2 b y a x 00 P xy 0 2 0 2 ya xb 中 以为中点的弦所在直线的斜率 k 在抛物线 22 22 1 xy ab 00 P xy 0 2 0 2 ya xb 中 以为中点的弦所在直线的斜率 k 2 2 0 ypx p 00 P xy 0 p y 如 1 如果椭圆弦被点 A 4 2 平分 那么这条弦所在的直线方程是 22 1 369 xy 2 已知直线 y x 1 与椭圆相交于 A B 两点 且线段 AB 22 22 1 0 xy ab ab 的中点在直线 L x 2y 0 上 则此椭圆的离心率为 3 试确定 m 的取值范围 使得椭圆上有不同的两点关于1 34 22 yx 直线对称 mxy 4 特别提醒 因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件 故在求解有关弦长 0 对称问题时 务必别忘了检验 0 1212 你了解下列结论吗 你了解下列结论吗 1 双曲线的渐近线方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 2 2 2 2 b y a x 2 以为渐近线 即与双曲线共渐近线 的双曲线方程为x a b y 1 2 2 2 2 b y a x 为参数 0 如与双曲线有共同的渐近线 且过点 2 2 2 2 b y a x 1 169 22 yx 的双曲线方程为 32 3 3 中心在原点 坐标轴为对称轴的椭圆 双曲线方程可设为 22 1mxny 11 4 椭圆 双曲线的通径 过焦点且垂直于对称轴的弦 为 焦准距 焦点到 2 2b a 相应准线的距离 为 抛物线的通径为 焦准距为 2 b c 2pp 5 通径是所有焦点弦 过焦点的弦 中最短的弦 6 若抛物线的焦点弦为 AB 则 2 2 0 ypx p 1122 A x yB xy 12 ABxxp 2 2 1212 4 p x xy yp 7 若 OA OB 是过抛物线顶点 O 的两条互相垂直的弦 则直线 AB 2 2 0 ypx p 恒经过定点 2 0 p 1313 动点轨迹方程 动点轨迹方程 1 求轨迹方程的步骤 建系 设点 列式 化简 确定点的范围 2 求轨迹方程的常用方法 直接法 直接利用条件建立之间的关系 如已知动点 P 到定点 F 1 0 x y 0F x y 和直线的距离之和等于 4 求 P 的轨迹方程3 x 待定系数法 已知所求曲线的类型 求曲线方程 先根据条件设出所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 如抛物线顶点在原点 坐标轴为对称轴 过点 抛物线 1 4 方程为 定义法 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线 再由曲线的定义直接写出动点的 轨迹方程 如 1 由动点 P 向圆作两条切线 PA PB 切点分别为 A B APB 600 则动点 22 1xy P 的轨迹方程为 2 点 M 与点 F 4 0 的距离比它到直线的距离小于 1 则点 M 的轨迹方程是05 xl且 3 一动圆与两圆 M 和 N 都外切 则动圆圆心的1 22 yx0128 22 xyx 轨迹为 4 08 东城一模 已知定圆 圆心为 动圆过点且A16 1 22 yxAM 0 1 B 和圆相切 动圆的圆心的轨迹记为 求曲线的方程AMCC 代入转移法 动点依赖于另一动点的变化而变化 并且又 P x y 00 Q xy 00 Q xy 在某已知曲线上 则可先用的代数式表示 再将代入已知曲线得要求的轨 x y 00 xy 00 xy 迹方程 如周长 16 动点 P 是其重心 当运动时 则 P 的轨迹方程为ABC 3 0 A 3 0 BC 参数法 当动点坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点可用时 可考 P x y 虑将均用一中间变量 参数 表示 得参数方程 再消去参数得普通方程 引入 n 个参 x y 量 需要 n 1 个等式 等式由几何条件坐标化得来 注意参量得范围 如 1 AB 是圆 O 的直径 且 AB 2a M 为圆上一动点 作 MN AB 垂足为 N 在 OM 上取 点 使 求点的轨迹 P OPMN P 2 若点在圆上运动 则点的轨迹方程是 11 yxP1 22 yx 1111 yxyxQ 3 过抛物线的焦点 F 作直线 交抛物线于 A B 两点 则弦 AB 的中点 M 的轨迹yx4 2 l 方程是 12 4 08 海淀一模 已知点分别是射线 上的动 A B 1 0lyx x 2 0lyx x 点 为坐标原点 且 的面积为定值 2 求线段中点的轨迹的方程OOAB ABMC 注意注意 如果问题中涉及到平面向量知识 那么应从已知向量的特点出发 考 虑选择向量的几何形式进行转化 还是选择向量的代数形式进行转化 如已知椭圆的左 右焦点分别是 F1 c 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x F2 c 0 Q 是椭圆外的动点 满足点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点 2 1 aQF 点 T 在线段 F2Q 上 并且满足 1 设为点 P 的横坐标 证明 0 0 22 TFTFPTx 2 求点 T 的轨迹 C 的方程 3 试问 在点 T 的轨迹 C 上 是否存x a c aPF 1 在点 M 使 F1MF2的面积 S 若存在 求 F1MF2的正切值 若不存在 请说明理由 2 b 答 1 略 2 3 当时不存在 当时存在 此时 222 xya 2 b a c 2 b a c F1MF2 2 曲线与曲线方程 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念 寻求轨迹或轨迹方程时应注 意轨迹上特殊点对轨迹的 完备性与纯粹性 的影响 在与圆锥曲线相关的综合题中 常借助于 平面几何性质 坐标化 三点共线转化为 斜率相等 化解析几何问题为代数问题 方程与函数 分类讨论思想 化整为零分化处 理 求值构造等式 求变量范围构造不等关系 等等 如果在一条直线上出现 三个或三个以上的点 那么可选择应用 斜率或向量 为桥梁转化 1414 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容 1 给出直线的方向向量或 ku 1 nmu 2 给出与相交 等于已知过的中点 OBOA ABOBOA AB 3 给出 等于已知是的中点 0 PNPMPMN 4 给出 等于已知与的中点三点共线 BQBPAQAP QP AB 5 给出以下情形之一 存在实数 若存在实ACAB ABAC 且 数 等于已知三点共线 1 OCOAOB 且且CBA 6 给出 等于已知是的定比分点 为定比 即 1 OBOA OPPAB PBAP 7 给出 等于已知 即是直角 给出0 MBMAMBMA AMB 等于已知是钝角 给出 等于已知是0 mMBMAAMB 0 mMBMAAMB 锐角 8 给出 等于已知是的平分线 MP MB MB MA MA MPAMB 9 在平行四边形中 给出 等于已知ABCD0 ADABADAB 是菱形 ABCD 13 10 在平行四边形中 给出 等于已知是ABCD ABADABAD ABCD 矩形 11 在中 给出 等于已知是的外心 三角ABC 222 OCOBOA OABC 形外接圆的圆心 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 12 在中 给出 等于已知是的重心 三角ABC 0 OCOBOAOABC 形的重心是三角形三条中线的交点 13 在中 给出 等于已知是的垂ABC OAOCOCOBOBOA OABC 心 三角形的垂心是三角形三条高的交点 14 在中 给出等于已知通过ABC OAOP ABAC ABAC R AP 的内心 ABC 15 在中 给出等于已知是的内心ABC 0 OCcOBbOAaOABC 三角形内切圆的圆心 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 16 在中 给出 等于已知是中边的中ABC 1 2 ADABAC ADABC BC 线 1515 圆锥曲线最值 圆锥曲线最值 定值定值 定点问题定点问题 基本方法 拿到表达式或和问题等价的代数形式 西城 已知定点及椭圆 过点的动直线与椭圆相交于两点 01 C53 22 yxCAB 若线段中点的横坐标是 求直线的方程 AB 1 2 AB 在轴上是否存在点 使为常数 若存在 求出点的坐标 若xMMBMA M 不存在 请说明理由 海淀文科 已知椭圆的中心是坐标原点 它的短轴长为 右焦点为 右准线 与O2Fl 轴相交于点 过点的直线与椭圆相交于两点 点和点在xEFEOF F A BCD 上 且轴 l ADBCx I 求椭圆的方程及离心率 II 当时 求直线的方程 1 3 BCAD AB III 求证 直线经过线段的中点 ACEF 16 16 解析几何中求变量的范围问题解析几何中求变量的范围问题 基本方法 一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题 或转化为解 不等式 例 08 海淀一模 直线l过抛物线的焦点F 交抛物线于A B两点 且点A在x轴xy 2 上方 若直线l的倾斜角 则 FA 的取值范围是 4 A B C D 2 3 4 1 1 32 4 42 2 3 4 1 2 2 1 4 1 例已知椭圆 W 的中心在原点 焦点在轴上 离心率为 两条准线间的距离为 6 椭x 6 3 圆 W 的左焦点为 过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线 与椭圆 W 交于FxMl 不同的两点 点关于轴的对称点为 求椭圆 W 的方程 求证 ABAxC 求面积的最大值 CFFB RMBC S 14 例 椭圆方程为 9 2 2 y x 1 是否存在直线l 使l与椭圆交于不同的两点 M N 且线段 MN 恰被直线 x 2 1 平分 若存在 求l的倾斜角的范围 若不存在 请说明理由 例 已知椭圆的左焦点为 F O 为坐标原点 I 求过点 O F 并且与椭圆的左 2 2 1 2 x y 准线 相切的圆的方程 l II 设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A B 两点 线段 AB 的垂直平分线与轴交于点 G 求点 G 横坐标的取值范围 x 例 给定抛物线 F 是 C 的焦点 过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A B 两点 记 O xyC4 2 为坐标原点 1 求的值 OBOA 2 设时 求的取值范围 52 的面积当三角形 SOABFBAF 17 17 结合定义解题结合定义解题 西城 已知两点 若抛物线上存在点使为等边三角形 10 A 0 B b 2 4yx CABC 则 b 东城 已知双曲线的左 右焦点分别为 若在双曲线的 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 F F 右支上存在一点 使得 则双曲线的离心率的取值范围为 P 21 3PFPF e 宣武 已知 P 为抛物线上的动点 点 P 在 x 轴上的射影为 M 点 A 的坐标是 2 2 1 xy 则的最小值是 2 17 6 PMPA A 8 B C 10 D 2 19 2 21 朝阳 已知双曲线的左 右焦点分别为 抛物线 22 1 22 1 0 0 xy Cab ab 1 F 2 F 的顶点在原点 它的准线与双曲线的左准线重合 若双曲线与抛物线的交点 2 C 1 C 1 C 2 C 满足 则双曲线的离心率为P 212 PFFF 1 C A B C D 23 2 3 3 2 2 三 练习 1 2009 宁夏海南卷理 双曲线 2 4 x 2 12 y 1 的焦点到渐近线的距离为 A A 2 3 B 2 C 3 D 1 2 2009 湖北卷文 已知双曲线1 4 1 22 2 2222 b yxyx 的准线经过椭圆 b 0 的焦点 则 x y l G A B FO 15 b C A 3 B 5 C 3 D 2 3 2009 全国卷 理 设双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相 切 则该双曲线的离心率等于 C A 3 B 2 C 5 D 6 4 2009 全国卷 理 已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为F 右准线为l 点Al 线 段AF交C于点B 若3FAFB 则 AF A A 2 B 2 C 3 D 3 5 2009 浙江理 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右顶点A作斜率为1 的直线 该 直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B C 若 1 2 ABBC 则双曲线的离心率是 C w w w k s 5 u c o m A 2 B 3 C 5 D 10 6 2009 北京理 点P在直线 1l yx 上 若存在过P的直线交抛物线 2 yx 于 A B两点 且 PAAB 则称点P为 点 那么下列结论中正确的是 A A 直线l上的所有点都是 点 B 直线l上仅有有限个点是 点 C 直线l上的所有点都不是 点 D 直线l上有无穷多个点 点不是所有的点 是 点 7 2009 山东卷理 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线与抛物线 y x 2 1 只有一个公共点 则双曲线的离心率为 D A 4 5 B 5 C 2 5 D 5 8 2009 山东卷文 设斜率为 2 的直线l过抛物线 2 0 yaxa 的焦点 F 且和y轴交于 点 A 若 OAF O 为坐标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 B A 2 4yx B 2 8yx C 2 4yx D 2 8yx 9 2009 全国卷 文 双曲线1 36 22 yx 的渐近线与圆 0 3 222 rryx相切 则 r A A 3 B 2 C 3 D 6 10 2009 全国卷 文 已知直线 0 2 kxky与抛物线 C xy8 2 相交 A B 两点 F 为 C 的焦点 若FBFA2 则 k D A 3 1 B 3 2 C 3 2 D 3 22 11 2009 江西卷文 设 1 F和 2 F为双曲线 22 22 1 xy ab 0 0ab 的两个焦点 若 16 12 FF 0 2 Pb是正三角形的三个顶点 则双曲线的离心率为 A 3 2 B 2 C 5 2 D 3 12 2009 湖北卷理 已知双曲线 22 1 22 xy 的准线过椭圆 22 2 1 4 xy b 的焦点 则直线 2ykx 与椭圆至多有一个交点的充要条件是 A A 1 1 2 2 K B 11 22 K C 22 22 K D 22 22 K 13 2009 四川卷文 已知双曲线 0 1 2 2 22 b b yx 的左 右焦点分别是 1 F 2 F 其一 条渐近线方程为xy 点 3 0 yP在双曲线上 则 1 PF 2 PF C A 12 B 2 C 0 D 4 14 2009 陕西卷文 0mn 是 方程 22 1mxny 表示焦点在 y 轴上的椭圆 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 15 2009 全国卷 文 已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为 F 右准线l 点Al 线段 AF 交 C 于点 B 若3FAFB 则AF A A 2 B 2 C 3 D 3 16 2009 天津卷理 设抛物线 2 y 2x 的焦点为 F 过点 M 3 0 的直线与抛物线相 交于 A B 两点 与抛物线的准线相交于 C BF 2 则 BCF 与 ACF 的面积之比 BCF ACF S S A A 4 5 B 2 3 C 4 7 D 1 2 17 2009 四川卷理 已知直线 1 4 360lxy 和直线 2 1lx 抛物线 2 4yx 上一 动点P到直线 1 l和直线 2 l的距离之和的最小值是 A A 2 B 3 C 11 5 D 37 16 18 2009 重庆卷理 已知以4T 为周期的函数 2 1 1 1 12 1 3 mxx f x xx 其中 0m 若方程3 f xx 恰有 5 个实数解 则m的取值范围为 B A 15 8 33 B 15 7 3 C 4 8 3 3 D 4 7 3 19 2009 北京文 椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 F F 点 P 在椭圆上 若 1 4PF 则 2 PF 12 FPF 的大小为 20 2009 北京理 设 f x是偶函数 若曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线的斜率为 17 1 则该曲线在 1 1 f 处的切线的斜率为 21 2009 广东卷 理 巳知椭圆G的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 3 2 且G上一点到G的两个焦点的距离之和为 12 则椭圆G的方程为 22 2009 湖南卷文 过双曲线 C 22 22 1 xy ab 0 0 ab 的一个焦点作圆 222 xya 的两条切线 切点分别为A B 若120AOB O 是坐标原点 则双曲线线 C 的离心率为 2 23 2009 福建卷理 过抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点 F 作倾斜角为45 的直线交抛物线 于 A B 两点 若线段 AB 的长为 8 则p 20 2009 宁夏海南卷文 已知抛物线 C 的顶点坐标为原点 焦点在 x 轴上 直线 y x 与 抛物线 C 交于 A B 两点 若 2 2P为AB的中点 则抛物线 C 的方程为 24 2009 湖南卷理 已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中 有 一个内角为 60 o 则双曲线 C 的离心率为 6 2 25 2009 年上海卷理 已知 1 F 2 F是椭圆1 2 2 2 2 b y a x C a b 0 的两个焦点 P为椭圆C上一点 且 21 PFPF 若 21F PF 的面积为 9 则b 26 2009 辽宁卷理 以知 F 是双曲线 22 1 412 xy 的左焦点 1 4 AP是双曲线右支上 的动点 则PFPA 的最小值为 27 2009 重庆卷文 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 FcF c 若椭圆上存在一点P使 1221 sinsin ac PFFPF F 则该椭圆的离心率的 取值范围为 28 若方程的系数可以从这个数中任取个不同的 22 axbyc a b c1 0 1 2 3 4 63 数而得到 则这样的方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是 结果用数值x 表示 29 已知 AB 是椭圆的长轴 若把该长轴等分 过每个等分点作 0 1 2 2 2 2 ba b y a x n AB 的垂线 依次交椭圆的上半部分于点 设左焦点为 则 121 n PPP 1 F 1 111111lim BFPFPFAF n n n 30 2009 北京文 本小题共 14 分 w w w k s 5 u c o m 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的离心率为3 右准线方程为 3 3 x 求双曲线 C 的方程 已知直线0 xym 与双曲线 C 交于不同的两点 A B 且线段 AB 的中点在圆 22 5xy 上 求m的值 18 由题意 得 2 3 3 3 a c c a 解得1 3ac 222 2bca 所求双曲线C的方程为 2 2 1 2 y x 设 A B 两点的坐标分别为 1122 x yxy 线段 AB 的中点为 00 M xy 由 2 2 1 2 0 y x xym 得 22 220 xmxm 判别式0 12 000 2 2 xx xm yxmm 点 00 M xy在圆 22 5xy 上 2 2 25mm 1m 31 2009 江西卷理 本小题满分 12 分 已知点 100 P xy为双曲线 22 22 1 8 xy bb b为正常数 上任一 点 2 F为双曲线的右焦点 过 1 P作右准线的垂线 垂足为A 连接 2 F A并延长交y轴于 2 P w w w k s 5 u c o m 1 求线段 1 P 2 P的中点P的轨迹E的方程 2 设轨迹E与x轴交于BD 两点 在E上任取一点 111 0 Q x yy 直线QBQD 分别交y轴于MN 两点 求 证 以MN为直径的圆过两定点 解 1 由已知得 20 8 3 0 3 FbAby 则直线 2 F A的方程 为 0 3 3 y yxb b 令0 x 得 0 9yy 即 20 0 9 Py 设P xy 则 0 00 0 2 9 5 2 x x yy yy 即 0 0 2 5 xx y y 代入 22 00 22 1 8 xy bb 得 22 22 4 1 825 xy bb 即P的轨迹E的方程为 22 22 1 225 xy bb w w w k s 5 u c o m 2 在 22 22 1 225 xy bb 中令0y 得 22 2xb 则不妨设 2 02 0BbDb 于是直线QB的方程为 1 1 2 2 y yxb xb 直线QD的方程为 1 1 2 2 y yxb xb 2 F 1 FO y x A 2 P 1 P P 19 则 11 11 2 2 00 2 2 byby MN xbxb 则以MN为直径的圆的方程为 2 11 11 22 0 2 2 byby xyy xbxb 令0y 得 22 2 1 22 1 2 2 b y x xb 而 11 Q x y 在 22 22 1 225 xy bb 上 则 222 11 2 2 25 xby 于是5xb 即以MN为直径的圆过两定点 5 0 5 0 bb 32 2009 天津卷文 本小题满分 14 分 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 的两个焦点分别为 0 0 0 21 ccFcF 过点 0 2 c a E的直线与椭圆相交于点 A B 两点 且 2 2121 BFAFBFAF 求椭圆的离心率 直线 AB 的斜率 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称 直线BF2上有一点 H m n 0 m 在 CAF1 的外接圆上 求 m n 的值 答案 1 3 3 a c e 2 3 2 k 3 5 22 m n 解析 1 解 由 2121 BFAFBFAF 得 2 1 1 2 1 2 AF BF EF EF 从而 2 1 2 2 c c a c c a 整理得 22 3ca 故离心率 3 3 a c e 2 解 由 1 知 2222 2ccab 所以椭圆的方程可以写为 222 632cyx 设直线 AB 的方程为 2 c a xky 即 3 cxky 由已知设 2211 yxByxA则它们的坐标满足方程组 222 632 3 cyx cxky w w w k s 5 u c o m 消去 y 整理 得062