【步步高】2013-2014学年高中数学 第3章 习题课空间向量的应用同步训练 苏教版选修2-1

1 习题课习题课 空间向量的应用空间向量的应用 一 基础过关 1 如图所示 平面ABEF 平面ABCD 四边形ABEF与ABCD都是直角梯形 BAD FAB 90 BC綊AD BE綊FA G H分别为FA FD的中点 1 2 1 2 1 证明 四边形BCHG是平行四边形 2 C D F E四点是否共面 为什么 3 设AB BE 证明 平面ADE 平面CDE 2 如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是一直角梯形 BAD 90 AD BC AB BC a AD 2a 且PA 底面ABCD PD与底面成 30 角 1 若AE PD E为垂足 求证 BE PD 2 求异面直线AE与CD所成角的余弦值 3 如图所示 在四棱锥O ABCD中 底面ABCD是边长为 1 的菱形 ABC OA 底 4 面ABCD OA 2 M为OA的中点 N为BC的中点 1 证明 直线MN 平面OCD 2 求异面直线AB与MD所成角的大小 二 能力提升 4 如图所示 2 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD AC AD AB BC BAC 45 PA AD 2 AC 1 1 证明 PC AD 2 求二面角A PC D的正弦值 3 设E为棱PA上的点 满足异面直线BE与CD所成的角为 30 求AE的长 5 等边 ABC中 D E分别是AC AB的中点 沿DE将 ADE折起 使平面ADE 平面 BCDE 如图所示 1 求证 平面ABC 平面ABE 2 求直线AC与平面ABE所成角的正弦值 三 探究与拓展 6 如图 四棱锥S ABCD的底面是正方形 每条侧棱的长都是底面边长的倍 P为侧 2 棱SD上的点 1 求证 AC SD 2 若SD 平面PAC 求二面角P AC D的大小 3 在 2 的条件下 侧棱SC上是否存在一点E 使得BE 平面PAC 若存在 求 SE EC的值 若不存在 试说明理由 3 答案答案 1 1 证明 由题设知 FA AB AD两两互相垂直 以A为坐标原点 射线AB为x轴正方向 以射线AD为y轴正方向 以射线AF为z轴 正方向 建立如图所示的空间直角坐标系 设AB a BC b BE c 则由题设得A 0 0 0 B a 0 0 C a b 0 D 0 2b 0 E a 0 c G 0 0 c H 0 b c 所以 0 b 0 0 b 0 于是 又点G不在直线BC上 GH BC GH BC 所以四边形BCHG是平行四边形 2 解 C D F E四点共面 理由如下 由题设知 F 0 0 2c 所以 a 0 c a 0 c 又C EF H FD EF CH EF CH 故C D F E四点共面 3 证明 由AB BE 得c a 所以 a 0 a a 0 a CH AE 又 0 2b 0 因此 0 AD CH AE 0 即CH AE CH AD CH AD 又AD AE A 所以CH 平面ADE 由CH 平面CDE 得平面ADE 平面CDE 2 1 证明 PA 底面ABCD PA AB 又 AB AD AB 平面PAD AB PD 又 AE PD PD 平面ABE 故BE PD 2 解 如图所示 以A为原点 AB AD AP所在直线为坐标轴 建立空间直角坐标系 则点C D的坐标分别为 a a 0 0 2a 0 PA 底面ABCD PDA是PD与底面ABCD所成的角 PDA 30 4 于是 在 Rt AED中 由AD 2a 得AE a 过E作EF AD 垂足为F 在 Rt AFE中 由AE a EAF 60 得AF a EF a 1 2 3 2 E 0 1 2a 3 2 a 于是 a a 0 AE 0 1 2a 3 2 a CD 设异面直线AE与CD所成角为 则 cos AE CD AE CD 1 2a2 a 2a 2 4 AE与CD所成角的余弦值为 2 4 3 1 证明 作AP CD于点P 连结OP 如图 分别以AB AP AO所在直线为x y z轴建立空间直角坐标系 A 0 0 0 B 1 0 0 P 0 2 2 0 D O 0 0 2 M 0 0 1 N 2 2 2 2 0 1 2 4 2 4 0 MN 1 2 4 2 4 1 OP 0 2 2 2 OD 2 2 2 2 2 设平面OCD的法向量为n n x y z 则n n 0 n n 0 OP OD 即Error 取z 解得n n 0 4 22 n n 0 4 0 MN 1 2 4 2 4 1 2 又MN 平面OCD MN 平面OCD 2 解 设AB与MD所成角为 1 0 0 AB 5 MD 2 2 2 2 1 cos AB MD AB MD 1 2 3 AB与MD所成角的大小为 3 4 1 证明 如图 以点A为原点建立空间直角坐标系 依题意得 A 0 0 0 D 2 0 0 C 0 1 0 B P 0 0 2 1 2 1 2 0 易得 0 1 2 2 0 0 PC AD 于是 0 所以PC AD PC AD 2 解 0 1 2 PC 2 1 0 CD 设平面PCD的法向量n n x y z 则Error 即Error 不妨令z 1 可得n n 1 2 1 可取平面PAC的法向量m m 1 0 0 于是 cos m m n n m m n n m m n n 1 6 6 6 从而 sin m m n n 30 6 所以二面角A PC D的正弦值为 30 6 3 解 设点E的坐标为 0 0 h 其中h 0 2 由此得 BE 1 2 1 2 h 由 2 1 0 故 CD cos BE CD BE CD BE CD 6 3 2 1 2 h2 5 3 10 20h2 所以 cos 30 3 10 20h2 3 2 解得h 即AE 10 10 10 10 5 1 证明 取DE的中点O 取BC的中点G 连结AO OG 则AO DE OG DE 平面ADE 平面BCDE 平面ADE 平面BCDE DE AO 平面BCDE AO OG 建立如图所示的空间直角坐标系 设BC 4 则DE 2 AO OG 3 所以A 0 0 D 1 0 0 E 1 0 0 B 2 0 C 2 0 333 设平面ABE的法向量为m m x1 y1 z1 1 0 1 0 EA 3 EB 3 由Error 得Error 令y1 1 得m m 1 1 3 设平面ABC的法向量为n n x2 y2 z2 4 0 0 2 BC AC 33 由Error 得Error 令y2 1 得n n 0 1 1 m nm n 1 1 0 1 1 0 3 平面ABC 平面ABE 2 解 由 1 得 cos m m AC AC m m AC m m 2 3 3 3 4 3 3 3 1 1 2 6 5 直线AC与平面ABE所成角的正弦值为 2 6 5 6 1 证明 连结BD 设AC交BD于点O 由题意知SO 平面ABCD 以O点 7 为坐标原点 的方向分别为x轴 y轴 z轴的正方向 建立空间直角坐标系 OB OC OS O xyz如图所示 设底面边长为a 则高SO a 6 2 于是S 0 0 a D 6 2 2 2 a 0 0 C B 0 2 2 a 0 2 2 a 0 0 OC 0 2 2 a 0 SD 2 2 a 0 6 2 a 0 故OC SD OC SD 因此AC SD 2 解 由题意知 平面PAC的一个法向量 平面DAC的一个法向 DS 2 2 a 0 6 2 a 量 OS 0 0 6 2 a 设所求二面角为 则 cos OS DS OS DS 3 2 故所求二面角P AC D的大小为 30 3 解 在棱SC上存在一点E使BE 平面PAC 由 2 知是平面PAC的一个法向量