高中数学一轮复习 第2讲 合情推理与演绎推理

用心 爱心 专心1 第第2 2讲讲 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 随堂演练巩固 1 下列四个图形中 着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项 则这个数列的一个通项公式 为 A B 1 3n n a 3n n a C D 32 n n an 1 323 n n an 答案 A 解析 1234 13927aaaa 归纳推理 1 3n n a 2 所有9的倍数都是3的倍数 某奇数是9的倍数 故此奇数是3的倍数 上述推理是 A 小前提错B 结论错 C 正确的D 大前提错 答案 C 解析 这是演绎推理的一般模式 三段论 前提和推理形式都正确 因此结论也正确 3 有一段演绎推理是这样的 若直线平行于平面 则该直线平行于平面内所有直线 已知直线 b 平面直线平面则直线b 直线a 结论显然是错误的 这是因为 a A 大前提错误 B 小前提错误 C 推理形式错误 D 非以上错误 答案 A 解析 由演绎推理的三段论可知答案应为A 4 观察下列各式 2 401 则的末两位数字为 23 749 7343 4 7 2011 7 A 01B 43C 07D 49 答案 B 解析 方法一 由题意得由于 401末位为1 倒数第二 2011502 4 34 5023 77 7 7 4 72 位为0 因此2 的末两位定为01 又343 的末两位定为43 502 401 3 7 4 5023 7 7 方法二 用归纳法 16 117 234 749 7343 72 5 401 7 6 807 7 7 649 7 543 由上知末两位有周期性且T 4 823 又 的末两位与的末两位一样 为43 2011502 4 3 77 2011 7 3 7 5 在等差数列 中 若则有等式 且 n a 10 0a 12 aa 12n aaa 19 19 n an N N成立 类比上述性质 相应地 在等比数列 中 若则有等式 成立 n n b 9 1b 答案 12 b b 12n bb b 17 n b 解析 对于等差数列 若有根据等差中项的知识 有 n a0 k a 0 121222323nk nnk nnk nk aaaaaaa k a 所以必有 12 aa 12n aaa n a 12 nn aa 2221 k nk n aa N N 21nkn 用心 爱心 专心2 此时有即k 10 10 0a 12 aa 12n aaa 12 nnn aaa 181912 nn aaaa 19 n a 类似地 对于等比数列 若由等比中项的知识 有 n b1 k b 121222323nk nnk nnk n bbbbbb 1 kk bb 12 b b 12n bb b 12 nnn b bb 2221 k nk n bb 9 1b k 9 12 b b 12n bb b 12 nnn b bb 18218112 nn bbb b 17 n b 课后作业夯基 基础巩固 1 下列表述正确的是 归纳推理是由部分到整体的推理 归纳推理是由一般到一般的推理 演绎推理是由一般到特殊的推理 类比推理是由特殊到一般的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 A B C D 答案 D 解析 归纳推理是由部分到整体的推理 演绎推理是由一般到特殊的推理 类比推理是由特 殊到特殊的推理 2 由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算 法则 mn nm 类比得到 a a b bb b a a m n t mt nt 类比得到 a a b b c ac a c bc b c c 类比得到 a a b b c c a a b b c c m n tm n t 类比得到 p p0 0 a a p p x x p pa a x x 0tmtxtmx m n 类比得到 a a b b a a b b m n 类比得到 aca bcb a ca b cb 以上式子中 类比得到的结论正确的个数是 A 1B 2 C 3D 4 答案 B 解析 正确 错误 3 已知 ABC中 求证 a b 30A 60B 证明 a AB 则P点的轨迹为椭圆 B 由求出猜想出数列的前n项和的表达式 1 131 n aan 123 S S S n S C 由圆的面积猜想出椭圆的面积S ab 222 xyr 2 r 2 2 22 1 y x ab D 以上均不正确 答案 B 解析 从猜想出数列的前n项和是从特殊到一般的推理 所以B是归纳推理 123 S S S n S 6 如图 椭圆中心在坐标原点 F为左焦点 当时 其离心率为此类椭圆被称为FBAB 51 2 黄金椭圆 类比 黄金椭圆 可推算出 黄金双曲线 的离心率e等于 A B 51 2 51 2 C D 51 51 答案 A 解析 B 0 b F c 0 A a 0 在 黄金双曲线 中 FB AB 用心 爱心 专心4 0FB AB 而 2 bac 222 bca 在等号两边同除以得 22 caac 2 a 51 2 e 7 观察下列等式 332 12 12 3 1 33233332 23 123 1234 1234 根据上述规律 第四个等式为 答案 或 333332 12345 12345 2 15 解析 3323332 12 12 123 123 所以 33333222 5 1 5 12345 12345 15 2 8 在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间 某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆 正三棱 锥 形的展品 其中第1堆只有一层 就一个球 第2 3 4 堆最底层 第一层 分别按如下图 所示 方式固定摆放 从第二层开始 每层的小球自然垒放在下一层之上 第n堆第n层就放一个乒乓球 以f n 表示第n堆的乒乓球总数 则f 3 f n 答案用n表示 答案 10 1 2 6 n nn 解析 f 1 1 由题图可得 f 2 3 1 4 2 2 1 1 2 f f 3 6 3 1 10 3 3 1 2 2 f f 4 10 6 3 1 20 4 4 1 3 2 f 可知 下一堆的球的个数是上一堆球的个数加上其第一层的球的个数 而第一层的球的个数满 足 1 3 6 10 其通项公式是 1 2 n n f 5 f 4 15 5 5 1 4 2 f f n f 1 1 2 n n n 2 2 1 3 3 1 1 22 f nf 1 2 n n 22 3322 22 2 2 nn 222 2323 22 nn 用心 爱心 专心5 1 21 1 1 124 n nnnn 1 2 1 6 n nn 1 2 6 n nn f n 9 观察下列等式 1 1 2 3 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第五个等式应为 答案 5 6 7 8 9 10 11 12 13 81 解析 观察等式左侧 第一行有1个数是1 第二行是3个连续自然数的和 第一个数是2 第三 行 是5个连续自然数的和 第一个数是3 第四行是7个连续自然数的和 第一个数是4 第5行应该是 连 续9个自然数的和 第一个数为5 第5行左侧 5 6 7 8 9 10 11 12 13 等式右侧 第一行 1 1第二行9 3第三行25 5第四行49 7则第5行应为81 9 2 2 2 2 2 第五个等式为5 6 7 8 9 10 11 12 13 81 10 设等差数列 的前n项和为则成等差数列 类比以上结 n a n S 4841281612 S SS SS SS 论 有 设等比数列 的前n项积为则 成等比数列 n b n T 4 T 16 12 T T 答案 8 4 T T 12 8 T T 解析 对于等比数列 通过类比 可得成等比数列 81612 4 4812 TTT T TTT 11 已知等式 sin 25 23 35535 4 cossincos 223 15451545 4 sincossincos 223 30603060 4 sincossincos 由此可归纳出对任意角度都成立的一个等式 并予以证明 证明 归纳已知可得 sincos 2 sin 2 cos 30 30 3 4 证明如下 sincos sincos 2 2 30 30 sincossinsincossin 23 2 1 2 2 3 2 1 2 sincossincossin 23 2 1 2 3 2 1 2 sin 23 4 2 cos 1 4 2 sin 3 4 等式成立 12 已知椭圆具有性质 若M N是椭圆C上关于原点对称的两个点 点P是椭圆上任意一点 当直 用心 爱心 专心6 线PM PN的斜率都存在 并记为 时 那么与之积是与点P的位置无关的定 PM k PN k PM k PN k 值 试对双曲线写出具有类似特性的性质 并加以证明 2 2 22 1 y x ab 解 类似的性质为 若M N是双曲线上关于原点对称的两个点 点P是双曲线上 2 2 22 1 y x ab 任意一点 当直线 PM PN的斜率都存在 并记为 时 那么与之积是与点P的 PM k PN k PM k PN k 位置无关的定值 证明 设点M P的坐标分别为 m n x y 则N m n 因为点M m n 在已知双曲线上 所以 同理 2 222 2 b nmb a 2 222 2 b yxb a 则定值 22 22PMPN ynynyn kk xm xm xm 2 2 b a 22 22 xm xm 2 2 b a 13 已知等差数列 的公差d 2 首项 n a 1 5a 1 求数列 的前n项和 n a n S 2 设求 并归纳出与的大小规律 25 nn Tna 12345 S S S S S 12345 T T T T T n S n T 解 1 1 52 4 2 n n n Snn n 2n 3 5 2 25 2 nn Tnan 2 4 n Tnn 22 123 54 22184 3339TTT 22 45 4 44684 55105TT 123 52 24 123 34 21SSS 45 4 44 325 54 45SS 由此可知当时 11 ST 2n nn ST 归纳猜想 当N N时 2nn nn ST 拓展延伸 14 设N N计算f 1 f 2 f 3 f 4 f 10 的值 同时作出归纳推理 并 2 41f nnnn 用 n 40验证猜想是否正确 解 2 1 114143f 2 2 224147f 2 3 334153f 2