平面解析几何初步一轮复习-(有答案)

第四章第四章 平面解析几何初步平面解析几何初步 第第 1 课时课时 直线的方程直线的方程 1 倾斜角 对于一条与 x 轴相交的直线 把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角 叫做直线的倾斜角 当直线和 x 轴平行或重合时 规定直线的倾斜角为 0 倾斜角的范围为 斜率 当直线的倾斜角 90 时 该直线的斜率即 k tan 当直线的倾斜角等于 90 时 直线 的斜率不存在 2 过两点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 的直线的斜率公式 若 x1 x2 则直 线的斜率不存在 此时直线的倾斜角为 90 3 直线方程的五种形式 名称方程适用范围 斜截式 点斜式 两点式 截距式 一般式 例例 1 已知直线 2m2 m 3 x m2 m y 4m 1 当 m 时 直线的倾斜角为 45 当 m 时 直线在 x 轴上的截距为 1 当 m 时 直线在 y 轴上的截 距为 当 m 时 直线与 x 轴平行 当 m 时 直线过原点 2 3 解 解 1 1 2 或 或 2 2 1 3 1 2 3 4 1 变式训练变式训练 1 1 直线 3y x 2 0 的倾斜角是 3 A 30 B 60 C 120 D 150 2 设直线的斜率 k 2 P1 3 5 P2 x2 7 P 1 y3 是直线上的三点 则 x2 y3 依次是 A 3 4 B 2 3 C 4 3 D 4 3 3 直线 l1与 l2关于 x 轴对称 l1的斜率是 则 l2的斜率是 7 A B C D 7 7 7 7 7 7 4 直线 l 经过两点 1 2 3 4 则该直线的方程是 解 解 1 D 提示 直线的斜率即倾斜角的正切值是 3 3 2 C 提示 用斜率计算公式 12 12 yy xx 3 A 提示 两直线的斜率互为相反数 4 2y 3x 1 0 提示 用直线方程的两点式或点斜式 典型例题典型例题 基础过关基础过关 例例 2 已知三点 A 1 1 B 3 3 C 4 5 求证 A B C 三点在同一条直线上 证明证明 方法一方法一 A 1 1 B 3 3 C 4 5 kAB 2 kBC 2 kAB kBC 13 13 34 35 A B C 三点共线 方法二方法二 A 1 1 B 3 3 C 4 5 AB 2 BC AC 3 555 AB BC AC 即 A B C 三点共线 方法三方法三 A 1 1 B 3 3 C 4 5 2 4 1 2 2 ABBCABBC 又 与有公共点 B A B C 三点共线 ABBC 变式训练变式训练 2 设 a b c 是互不相等的三个实数 如果 A a a3 B b b3 C c c3 在 同一直线上 求证 a b c 0 证明证明 A B C 三点共线 kAB kAC 化简得 a2 ab b2 a2 ac c2 ca ca ba ba 3333 b2 c2 ab ac 0 b c a b c 0 a b c 互不相等 b c 0 a b c 0 例例 3 已知实数 x y 满足 y x2 2x 2 1 x 1 试求 的最大值与最小值 2 3 x y 解 解 由的几何意义可知 它表示经过定点 P 2 3 与曲线段 AB 上任一点 x y 的 2 3 x y 直线的斜率 k 如图可知 kPA k kPB 由已知可得 A 1 1 B 1 5 k 8 3 4 故的最大值为 8 最小值为 2 3 x y 3 4 变式训练变式训练 3 若实数 x y 满足等式 x 2 2 y2 3 那么的最大值为 x y A B C D 2 1 3 3 2 3 3 答案答案 D 例例 4 已知定点 P 6 4 与直线 l1 y 4x 过点 P 的直线 l 与 l1交于第一象限的 Q 点 与 x 轴正 半轴交于点 M 求使 OQM 面积最小的直线 l 的方程 解 解 Q 点在 l1 y 4x 上 可设 Q x0 4x0 则 PQ 的方程为 6 6 44 4 00 x x x y 令 y 0 得 x x0 1 M 0 1 5 0 0 x x 1 5 0 0 x x S OQM 4x0 10 2 1 1 5 0 0 x x 1 0 2 0 x x 10 x0 1 2 40 1 1 0 x 当且仅当 x0 1 即 x0 2 取等号 Q 2 8 1 1 0 x PQ 的方程为 x y 10 0 62 6 48 4 xy 变式训练变式训练 4 直线 l 过点 M 2 1 且分别交 x 轴 y 轴的正半轴于点 A B O 为坐标原点 1 当 AOB 的面积最小时 求直线 l 的方程 2 当取最小值时 求直线 l 的方程 MBMA 解 解 设 l y 1 k x 2 k 0 则 A 2 0 B 0 1 2k k 1 由 S 1 2k 2 4 4k 2 1 k 1 2 1 k 1 4 2 1 1 4 24 k k 当且仅当 4k 即 k 时等号成立 k 1 2 1 AOB 的面积最小值为 4 此时 l 的方程是 x 2y 4 0 MA MB 2 2 441 1 k k 2 4 1 2 2 k k 1 k k 当且仅当 k 即 k 1 时等号成立 k 1 此时 l 的方程为 x y 3 0 本题也可以先设截距式方程求解 1 直线方程是表述直线上任意一点 M 的坐标 x 与 y 之间的关系式 由斜率公式可导出直线 方程的五种形式 这五种形式各有特点又相互联系 解题时具体选取哪一种形式 要根据直 线的特点而定 2 待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一 用此方法求直线方程 要注意所设方程 的适用范围 如 点斜式 斜截式中首先要存在斜率 截距式中横纵截距存在且不为 0 两 点式的横纵坐标不能相同等 变形后除处 3 在解析几何中 设点而不求 往往是简化计算量的一个重要方法 4 在运用待定数法设出直线的斜率时 就是一种默认斜率存在 若有不存在的情况时 就 会出现解题漏洞 此时就要补救 较好的方法是看图 数形结合来找差距 小结归纳小结归纳 第第 2 课时课时 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系 一 一 平面内两条直线的位置关系有三种 1 当直线不平行坐标轴时 直线与直线的位置关系可根据下表判定 直线 条件 关系 l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 平行 重合 相交 垂直 2 当直线平行于坐标轴时 可结合图形判定其位置关系 二 二 点到直线的距离 直线与直线的距离 1 P x0 y0 到直线 Ax By C 0 的距离为 2 直线 l1 l2 且其方程分别为 l1 Ax By C1 0 l2 Ax By C2 0 则 l1与 l2的距离 为 三 三 两条直线的交角公式 若直线 l1的斜率为 k1 l2的斜率为 k2 则 1 直线 l1到 l2的角 满足 2 直线 l1与 l2所成的角 简称夹角 满足 四 四 两条直线的交点 两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解 的个数 五 五 五种常用的直线系方程 过两直线 l1和 l2交点的直线系方程为 A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 不含 l2 与直线 y kx b 平行的直线系方程为 y kx m m b 过定点 x0 y0 的直线系方程为 y y0 k x x0 及 x x0 与 Ax By C 0 平行的直线系方程设为 Ax By m 0 m C 与 Ax By C 0 垂直的直线系方程设为 Bx Ay C1 0 AB 0 例例 1 已知直线 l1 ax 2y 6 0 和直线 l2 x a 1 y a2 1 0 1 试判断 l1与 l2是否平行 2 l1 l2时 求 a 的值 解解 1 方法一方法一 当 a 1 时 l1 x 2y 6 0 l2 x 0 l1不平行于 l2 当 a 0 时 l1 y 3 l2 x y 1 0 l1不平行于 l2 当 a 1 且 a 0 时 两直线可化为 l1 y 3 l2 y a 1 x a 2 x a 1 1 典型例题典型例题 基础过关基础过关 l1 l2 解得 a 1 1 3 1 1 2 a a a 综上可知 a 1 时 l1 l2 否则 l1与 l2不平行 方法二方法二 由 A1B2 A2B1 0 得 a a 1 1 2 0 由 A1C2 A2C1 0 得 a a2 1 1 6 0 l1 l2 061 1 021 1 2 aa aa a 1 6 1 02 2 2 aa aa 故当 a 1 时 l1 l2 否则 l1与 l2不平行 2 方法一方法一 当 a 1 时 l1 x 2y 6 0 l2 x 0 l1与 l2不垂直 故 a 1 不成立 当 a 1 时 l1 y x 3 2 a l2 y a 1 由x a 1 1 1a 2 a a 1 1 3 2 方法二方法二 由 A1A2 B1B2 0 得 a 2 a 1 0a 3 2 变式训练变式训练 1 若直线 l1 ax 4y 20 0 l2 x ay b 0 当 a b 满足什么条件时 直线 l1与 l2分 别相交 平行 垂直 重合 解 解 当 a 0 时 直线 l1斜率为 0 l2斜率不存在 两直线显然垂直 当 a 0 时 分别将两直线均化为斜截式方程为 l1 y x 5 l2 y x a 4 1 a b a 1 当 即 a 2 时 两直线相交 a 4 1 a 2 当 且 5 时 即 a 2 且 b 10 或 a 2 且 b 10 时 两直线平行 a 4 1 a b a 3 由于方程 1 无解 故仅当 a 0 时 两直线垂直 a 4 1 a 4 当 且 5 时 即 a 2 且 b 10 或 a 2 且 b 10 时 两直线重合 a 4 1 a b a 例例 2 已知直线 l 经过两条直线 l1 x 2y 0 与 l2 3x 4y 10 0 的交点 且与直线 l3 5x 2y 3 0 的夹角为 求直线 l 的方程 4 解 解 由解得 l1和 l2的交点坐标为 2 1 因为直线 l3的斜率为 k3 l 与 01043 02 yx yx 2 5 l3的夹角为 所以直线 l 的斜率存在 设所求直线 l 的方程为 y 1 k x 2 4 则 tan 1 4 3 3 1kk kk k k 2 5 1 2 5 k 或 k 故所求直线 l 的方程为 y 1 x 2 或 y 1 x 2 即 7 3 3 7 3 7 7 3 7x 3y 11 0 或 3x 7y 13 0 变式训练变式训练 2 某人在一山坡 P 处观看对面山顶上的一座铁塔 如图所示 塔高 BC 80 米 塔所在的山高 OB 220 米 OA 200 米 图中所示的山坡可视为直线 l 且点 P 在直线 l 上 l 与水平地面的夹角为 tan 试问 此人距水平地面多高时 观看塔的视角 BPC 2 1 最大 不计此人的身高 解解 如图所示 建立平面直角坐标系 则 A 200 0 B 0 220 C 0 300 直线 l 的方程为 y x 200 tan 则 y 2 200 x 设点 P 的坐标为 x y 则 P x x 200 2 200 x 由经过两点的直线的斜率公式 kPC x x x x 2 800 300 2 200 kPB x x x x 2 640 220 2 200 由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得 tan BPC x x x x x kk kk PCPB PCPB 2 640 2 800 1 2 160 1 x 200 288 640160 64 640160288 64 x x xx x 要使 tan BPC 达到最大 只需 x 288 达到最小 由均值不等式 x 640160 x 288 2 288 x 640160 640160 当且仅当 x 时上式取得等号 x 640160 故当 x 320 时 tan BPC 最大 这时 点 P 的纵坐标 y 为 y 60 2 200320 由此实际问题知 0 BPC 所以 tan BPC 最大时 BPC 最大 故当此人距水平地面 60 2 米高时 观看铁塔的视角 BPC 最大 例例 3 直线 y 2x 是 ABC 中 C 的平分线所在的直线 若 A B 坐标分别为 A 4 2 B 3 1 求点 C 的坐标并判断 ABC 的形状 解 解 因为直线 y 2x 是 ABC 中 C 的平分线 所以 CA CB 所在直线关于 y 2x 对称 而 A 4 2 关于直线 y 2x 对称点 A1必在 CB 边所在直线上 设 A1 x1 y1 则 得 2 4 2 2 2 12 4 2 11 1 1 xy x y 2 4 1 1 y x 即 A1 4 2 由 A1 4 2 B 3 1 求得 CB 边所在直线的方程为 3x y 10 0 又由 解得 C 2 4 0103 2 yx xy 又可求得 kBC 3 kAC 3 1 kBC kAC 1 即 ABC 是直角三角形 变式训练变式训练 3 三条直线 l1 x y a 0 l2 x ay 1 0 l3 ax y 1 0 能构成三角形 求实数 a 的 取值范围 解 解 a R 且 a 1 a 2 提示 因三条直线能构成三角形 故三条直线两两相交且不共点 即任意两条直线都不平行且三线不共点 1 若 l1 l2 l3相交于同一点 则 l1与 l2的交点 a 1 1 在直线 l3上 于是 a a 1 1 1 0 此时 a 1 或 a 2 2 若 l1 l2 则 1 a 1 1 a 3 若 l1 l3 则 1 a a 1 4 若 l2 l3 则 a a 1 1 a 例例 4 设点 A 3 5 和 B 2 15 在直线 l 3x 4y 4 0 上找一点 p 使为最 PBPA 小 并求出这个最小值 解 解 设点 A 关于直线 l 的对称点 A 的坐标为 a b 则由 AA l 和 AA 被 l 平分 则解之得 a 3 b 3 A 3 3 PA PB min A B 5 04 2 5 4 2 3 3 1 4 3 3 5 ba a b 13 kA B 18 32 315 A B 的方程为 y 3 18 x 3 解方程组得 P 3 3 183 0443 xy yx 3 8 变式训练变式训练 4 已知过点 A 1 1 且斜率为 m m 0 的直线 l 与 x y 轴分别交于 P Q 两点 过 P Q 作直线 2x y 0 的垂线 垂足分别为 R S 求四边形 PRSQ 的面积的最小值 解 解 设 l 的方程为 y 1 m x 1 则 P 1 0 Q 0 1 m m 1 从则直线 PR x 2y 0 m m1 直线 QS x 2y 2 m 1 0 又 PR QS RS 5 1 122 m m 5 1 23 m m 又 PR QS 5 2 2 m 5 1 m 而四边形 PRSQ 为直角梯形 SPRSQ 2 1 5 1 5 2 2 m m 5 1 23 m m m 2 2 2 5 1 m 1 4 9 80 1 5 1 4 9 80 1 3 6 四边形 PRSQ 的面积的最小值为 3 6 1 处理两直线位置关系的有关问题时 要注意其满足的条件 如两直线垂直时 有两直线 斜率都存在和斜率为 O 与斜率不存在的两种直线垂直 2 注意数形结合 依据条件画出图形 充分利用平面图形的性质和图形的直观性 有助于 问题的解决 3 利用直线系方程可少走弯路 使一些问题得到简捷的解法 4 解决对称问题中 若是成中心点对称的 关键是运用中点公式 而对于轴对称问题 一 般是转化为求对称点 其关键抓住两点 一是对称点的连线与对称轴垂直 二是两对称点的 中点在对称轴上 如例 4 小结归纳小结归纳 第第 3 课时课时 线性规划线性规划 1 二元一次不等式表示的平面区域 一般地 二元一次不等式 Ax By C 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax By C 0 某 一侧的所有点组成的平面区域 半平面 不含边界线 不等式 Ax By C 0 所表示的平面区域 半平面 包括边界线 对于直线 Ax By C 0 同一侧的所有点 x y 使得 Ax By C 的值符号相同 因此 如果直线 Ax By C 0 一侧的点使 Ax By C 0 另一侧的点就使 Ax By C0 或 Ax By C 0 所表示的平面区域时 只要在直线 Ax By C 0 的一侧任意取一点 x0 y0 将它的坐标代入不等式 如果该点的坐标满足不 等式 不等式就表示该点所在一侧的平面区域 如果不满足不等式 就表示这个点所在区域 的另一侧平面区域 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部 分 2 线性规划 基本概念 名 称意 义 线性约束条件 由 x y 的一次不等式 或方程 组成的不等式组 是对 x y 的 约束条件 目标函数关于 x y 的解析式如 z 2x y z x2 y2等 线性目标函数关于 x y 的一次解析式 可行解满足线性约束条件 x y 的解 x y 叫做可行解 可行域所有可行解组成的集合叫做可行域 最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解 线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 用图解法解决线性规划问题的一般步骤 设出所求的未知数 列出约束条件 即不等式组 建立目标函数 作出可行域 和目标函数的等值线 运用图解法即平行移动目标函数等值线 求出最优解 有些实际 问题应注意其整解性 例例 1 若 ABC 的三个顶点为 A 3 1 B 1 1 C 1 3 写出 ABC 区域 含边界 表示的二元一次不等式组 解 解 由两点式得 AB BC CA 直线的方程并化简得 AB x 2y 1 0 BC x y 2 0 CA 2x y 5 0 结合区域图易得不等式组为 052 02 012 yx yx yx 变式训练变式训练 1 ABC 的三个顶点为 A 2 4 B 1 2 C 1 0 则 ABC 的内部 含边 界 可用二元一次不等式组表示为 典型例题典型例题 基础过关基础过关 01 044 0832 yx yx yx 例例 2 已知 x y 满足约束条件 分别求 0104 0117 02357 yx yx yx z 2x y z 4x 3y z x2 y2的最大值 最小值 解 解 在直角坐标系中作出表示不等式组的公共区域如图阴影部分 其中 A 4 1 B 1 6 C 3 2 1 作与直线 2x y 0 平行的直线 l1 2x y t 则当 l1经过点 A 时 t 取最大 l1经过点 B 时 t 取最小 zmax 9 zmin 13 2 作与直线 4x 3y 0 平行的直线 l2 4x 3y t 则当 l2过点 C 时 t 最小 l2过点 B 时 t 最大 zmax 14 zmin 18 3 由 z x2 y2 则表示点 x y 到 0 0 的距离 结合不等式组表示的区域 知点 B 到z 原点的距离最大 当 x y 为原点时距离为 0 zmax 37 zmin 0 变式训练变式训练 2 给出平面区域如下图所示 目标函数 t ax y 1 若在区域上有无穷多个点 x y 可使目标函数 t 取得最小值 求此时 a 的值 2 若当且仅当 x y 时 目标函数 t 取得最小值 求实数 a 的取值范围 3 2 5 4 解 解 1 由 t ax y 得 y ax t 要使 t 取得最小时的 x y 有无穷多个 则 y ax t 与 AC 重合 a kAC 1 3 2 0 5 4 5 12 2 由 KAC a KBC 得 a0 圆心为 半径 r 3 二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圆的方程的充要条件是 4 圆 C x a 2 y b 2 r2的参数方程为 x2 y2 r2的参数方程为 5 过两圆的公共点的圆系方程 设 C1 x2 y2 D1x E1y F1 0 C2 x2 y2 D2x E2y F2 0 则经过两圆公共点的圆 系方程为 例例 1 根据下列条件 求圆的方程 1 经过 A 6 5 B 0 1 两点 并且圆心在直线 3x 10y 9 0 上 2 经过 P 2 4 Q 3 1 两点 并且在 x 轴上截得的弦长为 6 解 解 1 AB 的中垂线方程为 3x 2y 15 0 由 解得 09103 01523 yx yx 3 7 y x 圆心为 C 7 3 半径 r 65 故所求圆的方程为 x 7 2 y 3 2 65 2 设圆的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 将 P Q 两点坐标代入得 FED FED 103 2042 令 y 0 得 x2 Dx F 0 由弦长 x1 x2 6 得 D2 4F 36 解 可得 D 2 E 4 F 8 或 D 6 E 8 F 0 故所求圆的方程为 x2 y2 2x 4y 8 0 或 x2 y2 6x 8y 0 变式训练变式训练 1 求过点 A 2 3 B 2 5 且圆心在直线 x 2y 3 0 上的圆的方 程 由 A 2 3 B 2 5 得直线 AB 的斜率为 kAB 5 3 2 2 1 2 线段 AB 的中点为 0 4 线段 AB 的中垂线方程为 y 4 2x 即 y 2x 4 0 解方程组得 240 230 xy xy 1 2 x y 典型例题典型例题 基础过关基础过关 圆心为 1 2 根据两点间的距离公式 得半径 r 2 1 2 3 2 210 所求圆的方程为 x 1 2 y 2 2 10 例例 2 已知圆 x2 y2 x 6y m 0 和直线 x 2y 3 0 交于 P Q 两点 且 OP OQ O 为坐标原点 求该圆的圆心坐标及半径 解解 方法一方法一 将 x 3 2y 代入方程 x2 y2 x 6y m 0 得 5y2 20y 12 m 0 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 y1 y2满足条件 y1 y2 4 y1y2 5 12m OP OQ x1x2 y1y2 0 而 x1 3 2y1 x2 3 2y2 x1x2 9 6 y1 y2 4y1y2 m 3 此时 0 圆心坐标为 半径 r 3 2 1 2 5 方法二方法二 如图所示 设弦 PQ 中点为 M O1M PQ 2 1 MO k O1M 的方程为 y 3 2 2 1 x 即 y 2x 4 由方程组 032 42 yx xy 解得 M 的坐标为 1 2 则以 PQ 为直径的圆可设为 x 1 2 y 2 2 r2 OP OQ 点 O 在以 PQ 为直径的圆上 0 1 2 0 2 2 r2 即 r2 5 MQ2 r2 在 Rt O1MQ 中 O1Q2 O1M2 MQ2 3 2 2 5 2 1 2 1 4 4 6 1 2 m m 3 半径为 圆心为 2 5 3 2 1 方法三方法三 设过 P Q 的圆系方程为 x2 y2 x 6y m x 2y 3 0 由 OP OQ 知 点 O 0 0 在圆上 m 3 0 即 m 3 圆的方程可化为 x2 y2 x 6y 3 x 2y 3 0 即 x2 1 x y2 2 3 y 0 圆心 M 又圆在 PQ 上 2 3 2 2 1 2 3 3 0 2 1 1 m 3 圆心为 半径为 3 2 1 2 5 变式训练变式训练 2 已知圆 C x 1 2 y 2 2 25 及直线 l 2m 1 x m 1 y 7m 4 m R 1 证明 不论 m 取什么实数 直线 l 与圆 C 恒相交 2 求直线 l 被圆 C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程 1 证明证明 直线 l 可化为 x y 4 m 2x y 7 0 即不论 m 取什么实数 它恒过两直线 x y 4 0 与 2x y 7 0 的交点 两方程联立 解得交点为 3 1 又有 3 1 2 1 2 2 5 25 点 3 1 在圆内部 不论 m 为何实数 直线 l 与圆恒相交 2 解解 从 1 的结论和直线 l 过定点 M 3 1 且与过此点的圆 C 的半径垂直时 l 被圆 所截的弦长 AB 最短 由垂径定理得 AB 2 22 CMr 54 21 13 252 22 此时 kt 从而 kt 2 CM k 1 31 12 1 l 的方程为 y 1 2 x 3 即 2x y 5 例例 3 知点 P x y 是圆 x 2 2 y2 1 上任意一点 1 求 P 点到直线 3x 4y 12 0 的距离的最大值和最小值 2 求 x 2y 的最大值和最小值 3 求的最大值和最小值 1 2 x y 解解 1 圆心 C 2 0 到直线 3x 4y 12 0 的距离为 d 5 6 43 1204 2 3 22 P 点到直线 3x 4y 12 0 的距离的最大值为 d r 1 最小值为 d r 1 5 6 5 11 5 6 5 1 2 设 t x 2y 则直线 x 2y t 0 与圆 x 2 2 y2 1 有公共点 1 2 t 2 22 21 2 t 55 tmax 2 tmin 2 55 3 设 k 1 2 x y 则直线 kx y k 2 0 与圆 x 2 2 y2 1 有公共点 1 k 1 23 2 k k 4 33 4 33 kmax kmin 4 33 4 33 变式训练变式训练 3 已知实数 x y 满足方程 x2 y2 4x 1 0 1 求 y x 的最大值和最小值 2 求 x2 y2的最大值和最小值 解解 1 y x 可看作是直线 y x b 在 y 轴上的截距 当直线 y x b 与圆相切时 纵截距 b 取 得最大值或最小值 此时 解得 b 2 3 2 02 b 6 所以 y x 的最大值为 2 最小值为 2 66 2 x2 y2表示圆上的一点与原点距离的平方 由平面几何知识知 在原点与圆心连线与圆 的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为 2 22 00 02 所以 x2 y2的最大值是 2 2 7 4 33 x2 y2的最小值是 2 2 7 4 33 例例 4 设圆满足 截 y 轴所得的弦长为 2 被 x 轴分成两段圆弧 其弧长的比为 3 1 在满足条件 的所有圆中 求圆心到直线 l x 2y 0 的距离最小的圆的方程 解法一解法一设圆的圆心为 P a b 半径为 r 则点 P 到 x 轴 y 轴的距离分别为 b a 由题设条件知圆 P 截 x 轴所得的劣弧所对的圆心角为 90 圆 P 截 x 轴所得的弦长为r 故 2 r2 2b2 又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2 所以有 r2 a2 1 从而得 2b2 a2 1 点 P 到直线 x 2y 0 的距离为 d 2 5 ab 5d2 a 2b 2 a2 4b2 4ab 2a2 2b2 4ab 1 2 a b 2 1 1 当且仅当 a b 时取等号 此时 5d2 1 d 取得最小值 由 a b 及 2b2 a2 1 得 进而得 r2 2 11 11 aa bb 或 所求圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 或 x 1 2 y 1 2 2 解法二解法二同解法一 得 d 所以 a 2b d 2 5 ab 5 a2 4b2 4bd 5d2 将 a2 2b2 1 代入整理得 2b2 4bd 5d2 1 0 55 把 看成关于 b 的二次方程 由于方程有实数根 故 0 即 8 5d2 1 0 5d2 1 可见 5d2有最小值 1 从而 d 有最小值 将其代入 式得 2b2 4b 2 0 b 1 r2 2b2 2 a2 2b2 1 1 a 1 由 a 2b 1 知 a b 同号 故所求圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 或 x 1 2 y 1 2 2 变式训练变式训练 4 如图 图 O1和圆 O2的半径都等于 1 O1O2 4 过动点 P 分别作圆 O1和圆 O2 的切线 PM PN M N 为切点 使得 PM PN 试建立平面直角坐标系 并求动点 P 的 2 轨迹方程 解 解 以 O1 O2的中点为原点 O1O2所在的直线为 x 轴 建立平面直角坐标系 则 O1 2 0 O2 2 0 如图 由 PM PN 得 PM2 2PN22 PO12 1 2 PO22 1 设 P x y x 2 2 y2 1 2 x 2 2 y2 1 即 x 6 2 y2 33 为所求点 P 的轨迹方程 1 本节主要复习了圆的轨迹方程 要明确 必须具备三个独立条件 才能确定一个圆的方 程 2 求圆的方程时一般用待定系数法 若已知条件与圆心 半径有关 可先由已知条件求出 圆的半径 用标准方程求解 若条件涉及过几点 往往可考虑用一般方程 若所求的圆过两已知圆的交点 则一般用圆系方程 3 求圆方程时 若能运用几何性质 如垂径定理等往往能简化计算 4 运用圆的参数方程求距离的最值往往较方便 5 点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比 较来确定 O1O2 N M P O1O2 N M P O x y 22 小结归纳小结归纳 第第 6 课时课时 直线与圆 圆与圆的位置关系直线与圆 圆与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程 设它的判别式为 圆心 C 到直线 l 的距离为 d 则直线与圆的位置关系满足以下关系 相切d r 0 相交 相离 2 圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R 和 r R r 圆心距为 d 则两圆的位置关系满足以下条件 外离d R r 外切 相交 内切 内含 3 圆的切线方程 圆 x2 y2 r2上一点 p x0 y0 处的切线方程为 l 圆 x a 2 y b 2 r2上一点 p x0 y0 处的切线方程为 l 圆 x2 y2 Dx Ey F 0 上一点 p x0 y0 处的切线方程为 例例 1 过 x2 y2 2 外一点 P 4 2 向圆引切线 求过点 P 的圆的切线方程 若切点为 P1 P2求过切点 P1 P2的直线方程 解 解 1 设过点 P 4 2 的切线方程为 y 2 k x 4 即 kx y 2 4k 0 则 d 2 1 42 k k 解得 k 1 或 k 2 1 42 k k 2 7 1 切线方程为 x y 2 0 或 x 7y 10 0 2 设切点 1 x1 y1 P2 x2 y2 则两切线的方程可写成 l1 x1x y1y 2 l2 x2x y2y 因为点 4 2 在 l1和 l2上 则有 4 x1 2y1 2 4x2 2y2 2 这表明两点都在直线 4x 2y 2 上 由于两点只能确定一条直线 故直线 2 x y 1 0 即为 所求 变式训练变式训练 1 1 已知点 P 1 2 和圆 C 过 P 作 C 的切线有02 222 kykxyx 典型例题典型例题 基础过关基础过关 P2 P1 P 4 2 x y O 两条 则 k 的取值范围是 A k R k D 3 322 3 0 3 k 2 32 3 33 k 2 设集合 A x y x2 y2 4 B x y x 1 2 y 1 2 r2 r 0 当 A B B 时 r 的取值 范围是 A 0 1 B 0 1 C 0 2 D 0 222 3 若实数 x y 满足等式 x 2 那么的最大值为 x y A 2 1 3 3 2 3 3 4 过点 M且被圆截得弦长为 8 的直线的方程为 2 3 3 25 22 yx 5 圆心在直线 x y 4 0 上 且经过两圆和的交034 22 xyx034 22 yyx 点的圆的方程是 解 解 1 D 提示 P 在圆外 2 C 提示 两圆内切或内含 3 D 提示 从纯代数角度看 设 t 则 y tx 代入已知的二元二次方程 用 0 可 x y 解得 t 的范围 从数形结合角度看 是圆上一点与原点连线的斜率 切线的斜率是边界 x y 4 提示 用点到直线的距离公式 求直线的斜率 0301543 xyx或 5 提示 经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出 其0326 22 yxyx 中的一个待定系数 可依据圆心在已知直线上求得 例例 2 求经过点 A 4 1 且与圆 x2 y2 2x 6y 5 0 相切于点 B 1 2 的圆的方程 解解 圆 C 的方程可化为 x 1 2 y 3 2 5 圆心 C 1 3 直线 BC 的方程为 x 2y 5 0 又线段 AB 的中点 D kAB 1 2 5 2 1 线段 AB 的垂直平分线方程为