课题： 三角函数与平面向量(一）

用心 爱心 专心 课题课题 三角函数与平面向量三角函数与平面向量 一一 备课时间备课时间 2009 年年 4 月月 14 日日 主主备备人人 唐春兵唐春兵 编编号号 01 一 填空题一 填空题 1 设向量与的夹角为 定义与的 向量积 是一个向量 它的模a b a b a b 若 则 2 sina bab 3 1 1 3ab a b 2 已知函数等于抛掷一颗骰子得到的点数 则在 0 4 上至少有 5ax a xf 3 sin xfy 个零点的概率是 3 2 3 设点是内一点 不包括边界 且 则PABC APmABnAC m nR 的取值范围是 22 223mnmn 3 3 2 4 已知与为互相垂直的单位向量 且与的夹角为锐角 则实数i j 2aij bij a b 的取值范围是 1 2 5 已知函数的值域为 设的最大值 13 sincos 22 f xxx xa b ab 1 1 2 ba 为 M 最小值为 m 则 Mm 2 6 已知 a b 是不共线的向量 R 那么 A B C 三点共线的 baACbaAB 充要条件为 1 7 设R 函数的最小值是 2 则实数 k x 2 3 sin sinxxky 3 8 已知 若为满足的整数 则是直角三角 1 ABk 2 4 AC k 4AB ABC 形的整数的个数为 4 个 k 9 已知在平面直角坐标系满足条件 1 2 1 1 2 1 0 0 yxMCBAOxOy动点中 则的最大值为 4 21 22 OBOM OAOM OCOM 10 设 A B C D 是半径为 2 的球面上四个不同的点 且 ABC ABD ACD 的面积分别为 S1 S2 S3 则0 0 0ABACADACAD S1 S2 S3最大值为 8 二 解答题二 解答题 1 中 ABC 3 2 1 2 ACBCAC BC 1 求的值 AB 2 求此三角形最大角与最小角之差的某个三角函数值 解 1 ABACBC 222 22ABACBCAC BC 或由及余弦定理求得 2AB 3 cos 4 ACB 2 ACABBC 即求的某个三角函数值 BCA BA 222 1 cos 22 2 BABCAC B BA BC 7 sin 2 2 B 222 5 cos 24 2 ABACBC A AB AC 7 sin 4 2 A sin sincoscossinBABABA 75173 7 82 24 22 24 2 或 1 cos 8 BA tan 3 7BA 2 已知函数nxxmxmxf cossin32sin2 2 的定义域为 2 0 值域为 4 5 求 cos2sin Rxxnxmxg 的最小值 解 由条件得 nmxmxmnxxmxmxf 2cos2sin3cossin32sin2 2 2 0 6 2sin 2 xnmxm 1 2 1 6 2sin 6 7 6 6 2 xx 当0 m时 5 4 2 1 2 minmax nmxfnmmxf 解得 2 3 nm 从而 sin 5cos4sin3 Rxxxxxg 所以最大值为5 最小值为 5 当0 m时 解得1 3 nm sin 13cos2sin3 Rxxxxxg 所以最大值为13 最小值为13 3 已知向量 a cos sin b cos sin 且x 0 2 3x 2 3x 2 x 2 x 2 1 求 a b 及 a b 2 若 f x a b 2 a b 的最小值为 7 求实数的值 解 1 a cos sin b cos sin 2 3x 2 3x 2 x 2 x a b cos cos sin sin cos cos sin sin cos 2 3x 2 x 2 3x 2 x 2 3x 2 x 2 3x 2 x 2 3x 2 x cos2x 又易知 a 1 b 1 a b 2 a 2 b 2 2 a b 1 1 2 cos2x 4cos2x 用心 爱心 专心 且x 0 a b b 2cosx 2 2 f x a b 2 a b cos2x 2 2cosx 2cos2x 4cosx 1 2 cosx 2 2 2 1 若 0 当cosx 0 时 f x 取得最小值 1 不合题意 若 1 当cosx 1 时 f x 取得最小值 1 4 由题意有 1 4 7 得 2 若 0 1 当cosx 时 f x 取得最小值 2 2 1 由题意有 22 1 7 得 舍去 3 综上所述 2 4 已知内角 A B C 所对的边分别为 a b c 向量 2sin 3mB 且 2 cos2 2cos1 2 B nB mn 1 求锐角 B 的大小 2 如果 求的面积的最大值 2b ABC ABC S 1 解 m n 2sinB 2cos2 1 cos2B 2sinBcosB cos2B tan2B B 2333 0 2B 2B 锐角 B 2 3 3 2 由 tan2B B 或 3 3 5 6 当 B 时 已知 b 2 由余弦定理 得 3 4 a2 c2 ac 2ac ac ac 当且仅当 a c 2 时等号成立 ABC 的面积 S ABC acsinB ac ABC 的面积最大值为 1 2 3 4 33 当 B 时 已知 b 2 由余弦定理 得 5 6 4 a2 c2 ac 2ac ac 2 ac 当且仅当 a c 时等号成立 33362 ac 4 2 ABC 的面积 S ABC acsinB ac 2 3 1 2 1 43 ABC 的面积最大值为 2 3 5 已知是 的两个内角 向量 若 AB ABC2cos sin 22 ABAB a 6 2 a 1 试问是否为定值 若为定值 请求出 否则请说明理由 BA tantan 2 求的最大值 并判断此时三角形的形状 Ctan 解 1 由条件 22 36 22 a 22 1 cos 2cossin1 cos 222 ABABAB AB 1 cos cos 2 ABAB 为定值 3sinsincoscosABAB 1 tantan 3 AB 2 tantan tantan 1tantan AB CAB AB 由 1 知 1 tantan 3 AB tan tan0AB 从而 3 tan tantan 2 CAB 3 2tantan3 2 AB 取等号条件是 即 取得最大值 3 tantan 3 AB 6 AB 此时 ABC 为等腰钝角三角形 6 已知中 是三个内角 的对边 关于 的不等式ABC abcABCx 的解集是空集 2 cos4 sin60 xCxC 1 求角的最大值 C 2 若 的面积 求当角取最大值时的值 7 2 c ABC 3 3 2 S Cab 解 1 显然 不合题意 则有 0cos C cos0 0 C 即 即 2 cos0 16sin24cos0 C CC cos0 1 cos2cos 2 C CC 或 故 角的最大值为 1 cos 2 C C60 2 当 时 C60 133 sin3 242 ABC SabCab 6ab 由余弦定理得 2222 2cos 22coscababCabababC 22 121 3 4 abcab 11 2 ab 7 已知 A 3 0 B 0 3 C sin cos 1 若的值 求 4 sin 1 BCAC 2 若的夹角 13 0 OAOCOBOC 且 求与 解 1 3sin cos sin 3 cos BCAC 1 3 sinsincos 3 cos BCAC