考研数学公式(word版,全面)

概率公式整理概率公式整理 1 随机事件及其概率 吸收律 AABA AA A ABAA A AA ABABABA 反演律 BABA BAAB n i i n i i AA 11 n i i n i i AA 11 2 概率的定义及其计算 1 APAP 若 BA APBPABP 对任意两个事件 A B 有 ABPBPABP 加法公式 对任意两个事件 A B 有 ABPBPAPBAP BPAPBAP 1 21 1 1111 n n n nkji kji nji ji n i i n i i AAAPAAAPAAPAPAP 3 条件概率 ABP AP ABP 乘法公式 0 APABPAPABP 0 121 12112121 n nnn AAAP AAAAPAAPAPAAAP 全概率公式 n i i ABPAP 1 1 i n i i BAPBP Bayes 公式 ABP k AP ABP k n i ii kk BAPBP BAPBP 1 4 随机变量及其分布 分布函数计算 aFbF aXPbXPbXaP 5 离散型随机变量 1 0 1 分布 1 0 1 1 kppkXP kk 2 二项分布 pnB 若 P A p nkppCkXP knkk n 1 0 1 Possion 定理 0lim n n np 有 2 1 0 1 lim k k eppC k kn n k n k n n 3 Poisson 分布 P 2 1 0 k k ekXP k 6 连续型随机变量 1 均匀分布 baU 其他 0 1 bxa abxf 1 0 ab ax xF 2 指数分布 E 其他 0 0 xe xf x 0 1 0 0 xe x xF x 3 正态分布 N 2 xexf x 2 2 2 2 1 x t texFd 2 1 2 2 2 N 0 1 标准正态分布 xex x 2 2 2 1 xtex x t d 2 1 2 2 7 多维随机变量及其分布 二维随机变量 X Y 的分布函数 xy dvduvufyxF 边缘分布函数与边缘密度函数 x X dvduvufxF dvvxfxfX y Y dudvvufyF duyufyfY 8 连续型二维随机变量 1 区域 G 上的均匀分布 U G 其他 0 1 Gyx A yxf 2 二维正态分布 yx eyxf yyxx 12 1 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 21 9 二维随机变量的 条件分布 0 xfxyfxfyxf XXYX 0 yfyxfyf YYXY dyyfyxfdyyxfxf YYXX dxxfxyfdxyxfyf XXYY yxf YX yf yxf Y yf xfxyf Y XXY xyf XY xf yxf X xf yfyxf X YYX 10 随机变量的数字特征 数学期望 1 k kkp xXE dxxxfXE 随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 k XE X 的 k 阶绝对原点矩 k XE X 的 k 阶中心矩 k XEXE X 的 方差 2 XDXEXE X Y 的 k l 阶混合原点矩 lkY XE X Y 的 k l 阶混合中心矩 lk YEYXEXE X Y 的 二阶混合原点矩 XYE X Y 的二阶混合中心矩 X Y 的协方差 YEYXEXE X Y 的相关系数 XY YDXD YEYXEX E X 的方差 D X E X E X 2 22 XEXEXD 协方差 cov YEYXEXEYX YEXEXYE 2 1 YDXDYXD 相关系数 cov YDXD YX XY 线性代数部分线性代数部分 梳理 条理化 给出一个系统的 有内在有机结构的理论体系 沟通 突出各部分内容间的联系 充实提高 围绕考试要求 介绍一些一般教材上没有的结果 教给大家常见问题的实用而简捷 的方法 大家要有这样的思想准备 发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同 有的方法是你不 知道的 但是我相信 只要你对它们了解了 掌握了 会提高你的解题能力的 基本运算基本运算 ABBA CBACBA cBcABAc dAcAAdc AcddAc 或 00 ccA0 A AA T T TT T BABA T T AccA TT T ABAB 2 1 211 2 nn Cnn n nnA aAaAaD 2222222121 转置值不变AAT 逆值变 A A 1 1 AccA n 2121 3 阶矩阵 321 A 321 B BABA 332211 BA 332211 BA BA B A B A 0 0 1 cjiE 有关乘法的基本运算有关乘法的基本运算 njinjijiij bababaC 2211 线性性质 BABABAA 2121 2121 ABABBBA cBAABcBcA 结合律 BCACAB TT T ABAB BAAB lklk AAA kl l k AA 不一定成立 不一定成立 kk k BAAB AAE AEA kAkEA kAAkE EBAEAB 与数的乘法的不同之处与数的乘法的不同之处 不一定成立 不一定成立 kk k BAAB 无交换律无交换律 因式分解障碍是交换性 一个矩阵的每个多项式可以因式分解 例如A EAEAEAA 332 2 无消去律 无消去律 矩阵和矩阵相乘 当时或0 AB0 A0 B 由和0 A00 BAB 由时 无左消去律 0 ACBACAB 特别的特别的 设可逆 则有消去律有消去律 AA 左消去律 CBACAB 右消去律 CBCABA 如果列满秩 则有左消去律 即AA 00 BAB CBACAB 可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质 i 当可逆时 A 也可逆 且 T A T T AA 1 1 也可逆 且 k A k k AA 1 1 数 也可逆 0 ccA 1 1 1 A c cA ii 是两个阶可逆矩阵也可逆 且 ABnAB 11 1 ABAB 推论 设 是两个阶矩阵 则ABnEBAEAB 命题 初等矩阵都可逆 且 jiEjiE 1 c iEciE 1 1 cjiEcjiE 1 命题 准对角矩阵 可逆每个都可逆 记 kk A A A A 000 000 000 000 22 11 ii A 1 1 22 1 11 1 000 000 000 000 kk A A A A 伴随矩阵的基本性质 伴随矩阵的基本性质 EAAAAA 当可逆时 得 求逆矩阵的伴随矩阵法 AE A A A A A A 1 且得 1 1 A A A A A A AAA 1 111 伴随矩阵的其他性质伴随矩阵的其他性质 1 n AA 1 AAA T T AA 1A ccA n ABAB k k AA 时 AAA n 2 2 n AA dc ba A 关于矩阵右上肩记号关于矩阵右上肩记号 Tk1 i 任何两个的次序可交换 如 T T AA 等 1 1 AA ii 11 1 ABABABAB TT T ABAB 但不一定成立 kk k ABAB 线性表示线性表示 s 0 21 si 21 有解 sss xxx 221121 有解 x s 21 T s xxx 1 有解 即可用 A 的列向量组表示 Ax s rrrCAB 21 n A 21 则 ns rrr 2121 st 2121 则存在矩阵 使得C C st 2121 线性表示关系有传递性 当 pst rrr 212121 则 pt rrr 2121 等价关系 如果与互相可表示 s 21 t 21 ts 2121 记作 ts 2121 线性相关线性相关 单个向量 相关1 s 0 x 0 相关对应分量成比例 相关2 s 21 21 nn bababa 2211 向量个数 维数 则线性相 无 关sn n1 0 1 n 有非零解 n A 21 0 Ax0 A 如果 则一定相关ns s 21 的方程个数未知数个数0 Ax ns 如果无关 则它的每一个部分组都无关 s 21 如果无关 而相关 则 s 21 21s s 21 证明 设不全为 0 使得ccc s 1 0 11 ccc ss 则其中 否则不全为 0 与条件无关0 c s cc 1 0 11 ss cc s 1 矛盾 于是 s s c c c c 1 1 当时 表示方式唯一无关 s 1 s 1 表示方式不唯一相关 s 1 若 并且 则一定线性相关 st 11 st t 1 证明 记 s A 1 t B 1 则存在矩阵 使得 ts CACB 有个方程 个未知数 有非零解 0 Cxstts 0 C 则 即也是的非零解 从而线性相关 0 ACB 0 Bx t 1 各性质的逆否形式各性质的逆否形式 如果无关 则 s 21 ns 如果有相关的部分组 则它自己一定也相关 s 21 如果无关 而 则无关 s 1s 1 s 1 如果 无关 则 st 11 t 1 st 推论 若两个无关向量组与等价 则 s 1t 1 ts 极大无关组极大无关组 一个线性无关部分组 若等于秩 就一定是极大无关组 I I I 6421 I 无关 s 21 s s 21 sss 12121 另一种说法 取的一个极大无关组 s 21 I 也是的极大无关组相关 I 21s I 证明 相关 1 II s ss ss s 1 11 11 1 可用唯一表示 s 1 s ss 11 stsst 11111 st 11 ts 11 ttss 1111 矩阵的秩的简单性质矩阵的秩的简单性质 nmAr min0 00 AAr 行满秩 A mAr 列满秩 A nAr 阶矩阵满秩 nA nAr 满秩的行 列 向量组线性无关AA 0 A 可逆A 只有零解 唯一解 0 Ax Ax 矩阵在运算中秩的变化矩阵在运算中秩的变化 初等变换保持矩阵的秩 ArAr T 时 0 c ArcAr BrArBAr BrArABr min 可逆时 A BrABr 弱化条件 如果列满秩 则A BAB 证 下面证与同解 0 ABx0 Bx 是的解 0 ABx0 AB 是的解 0B0 Bx 可逆时 B ArABr 若 则 的列数 的行数 0 AB nBrAr AB 列满秩时A BrABr 行满秩时B ArABr BrArnABr 解的性质解的性质 1 的解的性质 0 Ax 如果是一组解 则它们的任意线性组合一定 e 21 ee ccc 2211 也是解 00 2211 eeii cccAA 2 0 Ax 如果是的一组解 则 e 21 Ax 也是的解 ee ccc 2211 Ax1 21 e ccc 是的解 ee ccc 2211 0 Ax0 21 e ccc iA i eeee AcAcAccccA 22112211 e ccc 21 特别的 当是的两个解时 是的解 21 Ax 21 0 Ax 如果是的解 则维向量也是的解是的解 0 Axn Ax 0 0 Ax 解的情况判别解的情况判别 方程 即 Ax nn xxx 2211 有解 n 21 AA nn 2121 无解 AA 唯一解 nAA 无穷多解 nAA 方程个数方程个数 m mAmA 当时 有解 mA mA 当时 不会是唯一解nm nA 对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组 0 Ax 只有零解 即列满秩 nA A 有非零解 nA 特征值特征向量特征值特征向量 是的特征值是的特征多项式的根 A AAxE 两种特殊情形 两种特殊情形 1 是上 下 三角矩阵 对角矩阵时 特征值即对角线上的元素 A 3 2 1 00 0 A 321 3 2 1 00 0 xxx x x x AxE 2 时 的特征值为 1 ArA Atr 0 0 0 特征值的性质特征值的性质 命题 阶矩阵的特征值的重数nA AErn 命题 设的特征值为 则A n 21 A n 21 Atr n 21 命题 设是的特征向量 特征值为 即 则 A A 对于的每个多项式 A Af xfAf 当可逆时 A 1 1 A A A 命题 设的特征值为 则A n 2 1 的特征值为 Af n fff 2 1 可逆时 的特征值为A 1 A n 1 1 1 2 1 的特征值为 A n AAA 2 1 的特征值也是 T A n 21 特征值的应用特征值的应用 求行列式求行列式 n A 2 1 判别可逆性判别可逆性 是的特征值不可逆 AEAAE 0 可逆不是的特征值 EA A 当时 如果 则可逆 0 Af 0 cfcEA 若是的特征值 则是的特征值 A f Af 0 f 不是的特征值可逆 ccf 0AAcE n 阶矩阵的相似关系阶矩阵的相似关系 当时 而时 UAAU AB UAAU AB 相似关系有 i 对称性对称性 ABBA 则BAUU 11 UBUA ii 有传递性有传递性 则BA CB CA 则BAUU 1 CBVV 1 CBVVAUVUVUVAUV 111 1 命题 当时 和有许多相同的性质BA AB BA BA 的特征多项式相同 从而特征值完全一致 AB 与的特征向量的关系 是的属于的特征向量是的属于的特征向量 AB A 1 UB 11111 11 UAUUUUAU UUBA 正定二次型与正定矩阵性质与判别正定二次型与正定矩阵性质与判别 可逆线性变换替换保持正定性 变为 则它们同时正定或同时不正定 n xxxf 21 n yyyg 21 则 同时正定 同时不正定 B A AB 例如 如果正定 则对每个ACCB T A0 x 0 ACxCxACxCxBxx T TTT 可逆 C0 x0 Cx 我们给出关于正定的以下性质我们给出关于正定的以下性质 正定AEA 存在实可逆矩阵 CCCA T 的正惯性指数 A n 的特征值全大于 A 0 的每个顺序主子式全大于 A 0 判断判断正定的三种方法 正定的三种方法 A 顺序主子式法 特征值法 定义法 基本概念基本概念 对称矩阵对称矩阵 AAT 反对称矩阵反对称矩阵 AAT 简单阶梯形矩阵简单阶梯形矩阵 台角位置的元素都为 1 台角正上方的元素都为 0 如果是一个阶矩阵 是阶梯形矩阵是上三角矩阵 反之不一定AnA A 矩阵消元法 矩阵消元法 解的情况 写出增广矩阵 用初等行变换化为阶梯形矩阵 A A B 用判别解的情况 B i 如果最下面的非零行为 则无解 否则有解 B d0 0 ii 如果有解 记是的非零行数 则 B 时唯一解 n 时无穷多解 n iii 唯一解求解的方法 初等变换法 去掉的零行 得 它是矩阵 是阶梯形矩阵 从而是上三 B 00 B cnn 0 Bn 角矩阵 则都不为 0 nn b iinn bb 0 1 1 0 就是解 ErBA 行行 一个一个阶行列式阶行列式的值 的值 n nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 是项的代数和 n 每一项是个元素的乘积 它们共有项 其中是的一个n n n njjj aaa 21 21n jjj 21 n 2 1 全排列 前面乘的应为 的逆序数 n njj aa 1 1 n jjj 21 1 n jjj 21 n n n jjj njjj jjj aaa 21 21 21 21 1 2 1 211 2 nn Cnn n 代数余子式代数余子式 为的余子式 ij M ij a ij ji ij MA 1 定理 一个行列式的值等于它的某一行 列 各元素与各自代数余子式乘积之和 D nnA aAaAaD 2222222121 一行 列 的元素乘上另一行 列 的相应元素代数余子式之和为 0 范德蒙行列式范德蒙行列式 个 ji ij n aa aaa 111 11 2 n C 乘法相关乘法相关 的位元素是的第 行和的第列对应元素乘积之和 AB ji AiBj njinjijiij bababaC 2211 乘积矩阵的列向量与行向量乘积矩阵的列向量与行向量 1 设矩阵 维列向量 则nm n A 21 n T n bbb 21 nn bbbA 2211 矩阵乘法应用于方程组矩阵乘法应用于方程组 方程组的矩阵形式 Ax T m bbb 21 方程组的向量形式 nn xxx 2211 2 设 CAB s AAAAB 21 nniiiii bbbAr 2211 的第 个列向量是的列向量组的线性组合 组合系数是的第 个列向量的各分ABiABi 量 的第 个行向量是的行向量组的线性组合 组合系数是的第 个行向量的各分ABiBAi 量 矩阵分解矩阵分解 当矩阵的每个列向量都是的列向量的线性组合时 可把分解为与一个矩阵CACA 的乘积B 特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题 n n 000 000 000 000 2 1 21 nn 2211 对角矩阵从右侧乘一矩阵 即用对角线上的元素依次乘的各列向量AA 对角矩阵从左侧乘一矩阵 即用对角线上的元素依次乘的各行向量AA 于是 AAE AEA kAkEA kAAkE 两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘 对角矩阵的次方幂只须把每个对角线上元素作次方幂kk 对一个阶矩阵 规定为的对角线上元素之和称为的迹数 nA AtrAA 于是 T k T k T 1 T k T tr 1 TT tr 其他形式方阵的高次幂也有规律 例如 101 020 101 A 初等矩阵及其在乘法中的作用初等矩阵及其在乘法中的作用 1 交换的第两行或交换的第两列 jiE Eji Eji 2 用数乘的第 行或第 列 ciE 0 cEii 3 把的第行的倍加到第 行上 或把的第 列的倍加到第列上 cjiEEjciEicj 初等矩阵从左 右 侧乘一个矩阵等同于对作一次相当的初等行 列 变换AA 乘法的分块法则乘法的分块法则 一般法则 在计算两个矩阵和的乘积时 可以先把和用纵横线分割成若干小矩阵来ABAB 进行 要求的纵向分割与的横向分割一致 AB 两种常用的情况两种常用的情况 1 都分成 4 块BA 2221 1211 AA AA A 2221 1211 BB BB B 其中的列数和的行数相等 的列数和的行数相关 1 i A j B1 2i A j B2 2222122121221121 2212121121121111 BABABAAA BABABABA AB 2 准对角矩阵 kk A A A 00 00 00 22 11 kkkk 2222 1111 kk 22 11 kk 22 11 BA00 0BA0 00BA B00 0B0 00B A00 0A0 00A 矩阵方程与可逆矩阵矩阵方程与可逆矩阵 两类基本的矩阵方程两类基本的矩阵方程 都需求是方阵 且 A0 A BAxI BxAII I 的解法 xEBA 行 II 的解法 先化为 TTT BxA TTT xEBA 通过逆求解 BAx BAx 1 可逆矩阵及其逆矩阵可逆矩阵及其逆矩阵 定义 设是阶矩阵 如果存在阶矩阵 使得 且 则称是可逆AnnHEAH EHA A 矩阵 称是的逆矩阵 证作 HA 1 A 定理 阶矩阵可逆nA0 A 求求的方程的方程 初等变换法 1 A 1 AEEA 行 伴随矩阵伴随矩阵 T ij nnnn n n A AAA AAA AAA A 21 22212 12111 线性表示线性表示 可以用线性表示 即可以表示为的线性组合 s 21 s 21 也就是存在使得 s ccc 21 ss ccc 2211 记号 s 21 线性相关性线性相关性 线性相关 存在向量可用其它向量线性表示 i sii 111 线性无关 每个向量都不能用其它向量线性表示 i 定义 如果存在不全为的 使得则称0 s ccc 21 0 2211 ss ccc 线性相关 否则称线性无关 s 21 s 21 即 线性相 无 关有 无 非零解 s 21 0 11 ss xx 有 无 非零解 0 21 x s 极大无关组和秩极大无关组和秩 定义 的一个部分组称为它的一个极大无关组 如果满足 s 21 I i 线性无关 I ii 再扩大就相关 I I s 21 III s 1 定义 规定的秩 s 21 I s 21 如果每个元素都是零向量 则规定其秩为 s 21 0 sn s min 0 1 有相同线性关系的向量组有相同线性关系的向量组 定义 两个向量若有相同个数的向量 并且向量方程 ss 2121 与同解 则称它们有相同的线性关0 2211 ss xxx 0 2211 ss xxx 系 对应的部分组有一致的相关性 的对应部分组 421 421 若相关 有不全为的使得 421 0 421 ccc 0 442211 ccc 即是的解 0 0 0 421 ccc0 2211 ss xxx 从而也是的解 则有0 2211 ss xxx 0 442211 ccc 也相关 321 极大无关组相对应 从而秩相等 有一致的内在线表示关系 设 则 s A 21 s B 21 即 0 2211 ss xxx 0 Ax 即 0 2211 ss xxx 0 Bx 与有相同的线性关系即与同解 s 21 s 21 0 Ax0 Bx 反之 当与同解时 和的列向量组有相同的线性关系 0 Ax0 BxAB 矩阵的秩矩阵的秩 定理 矩阵的行向量组的秩 列向量组的秩A 规定行 列 向量组的秩 Ar 的计算的计算 用初等变换化为阶梯形矩阵 则的非零行数即 ArABB Ar 命题 的非零子式阶数的最大值 AAr 方程组的表达形式方程组的表达形式 1 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 2 是解 Ax A 3 有解 nn xxx 2211n 21 基础解系和通解基础解系和通解 1 有非零解时的基础解系有非零解时的基础解系0 Ax 是的基础解系的条件 e 21 0 Ax 每个都是的解 i 0 Ax 线性无关 e 21 的每个解0 Ax e 21 Anl 通解通解 如果是的一个基础解系 则的通解为 e 21 0 Ax0 Ax 任意 ee ccc 2211i c 如果是的一个解 是的基础解系 则的通解 0 0 Ax e 21 0 Ax Ax 为 任意 ee ccc 22110i c 特征向量与特征值特征向量与特征值 定义 如果 并且与线性相关 则称是的一个特征向量 此时 有数 使0 A A 得 称为的特征值 A 设是数量矩阵 则对每个维列向量 于是 任何非零列向量都是的AE n AE 特征向量 特征值都是 特征值有限特征向量无穷多 若 A cccAcA 221122112211 22 11 ccAcAcccA A A 每个特征向量有唯一特征值 而有许多特征向量有相同的特征值 计算时先求特征值 后求特征向量 特征向量与特征值计算特征向量与特征值计算 0 A 0 0 AE 是的非零解 0 xAE 命题 是的特征值 A0 AE 是属于的特征向量是的非零解 0 xAE 称多项式为的特征多项式 AxE A 是的特征值是的特征多项式的根 A AAxE 的重数 作为的根的重数 AxE 阶矩阵的特征值有个 可能其中有的不是实数 有的是多重的 nAn n 21 计算步骤 求出特征多项式 AxE 求的根 得特征值 AxE 对每个特征值 求的非零解 得属于的特征向量 i 0 xAE i i n 阶矩阵的相似关系阶矩阵的相似关系 设 是两个阶矩阵 如果存在阶可逆矩阵 使得 则称与相似 ABnnUBAUU 1 AB 记作 BA n 阶矩阵的对角化阶矩阵的对角化 基本定理 可对角化有个线性无关的特征向量 A An 设可逆矩阵 则 n U 21 n AUU 000 000 000 000 2 1 1 nn n n UA 000 000 000 000 2211 2 1 21 iii A ni 2 1 判别法则判别法则 可对角化对于的每个特征值 的重数 A A AEn 计算 对每个特征值 求出的一个基础解系 把它们合在一起 得到个线 i 0 xAE i n 性无关的特征向量 令 则 n 1 n U 21 其中为的特征值 n AUU 000 000 000 000 2 1 1 i i 二次型 实二次型 二次型 实二次型 二次型及其矩阵二次型及其矩阵 一个元二次型的一般形式为n ji ji ij n i iiin xxaxaxxxf 2 1 2 21 只有平方项的二次型称为标准二次型 形如 的元二次型称为规范二次型 22 1 22 2 2 1qppp xxxxx n 对每个阶实矩阵 记 则是一个二次型 nA T n xxxx 21 AxxT Axxxxxf T n 21 称的秩为这个二次型的秩 A A 标准二次型的矩阵是对角矩阵 规范二次型的矩阵是规范对角矩阵 可逆线性变量替换可逆线性变量替换 设有一个元二次型 引进新的一组变量 并把用n n xxxf 21 n yyy 21 n xxx 21 它们表示 并要求矩阵是可逆矩阵 nnnnnn nn nn ycycycx ycycycx ycycycx 2211 22221212 12121111 nnnn n n ccc ccc ccc C 21 22221 11211 代入 得到的一个二次型这样的操作称为对 n xxxf 21 n yy 1 n yyg 1 作了一次可逆线性变量替换 n xxf 1 设 则上面的变换式可写成 T n yyyY 21 CYx 则 n TTT n yygACYCYAxxxxf 11 于是的矩阵为 n yyg 1 ACC T ACCCACACC TTTT T T 实对称矩阵的合同实对称矩阵的合同 两个阶实对称矩阵和 如果存在阶实可逆矩阵 值得 称与合同 nABnCBACC T AB 记作 BA 命题 二次型可用可逆线性变换替换化为 Axxxxf T n 1 BABYYyyg T n 1 二次型的标准化和规范化二次型的标准化和规范化 1 每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型 每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型 也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角矩阵 设是一个实对称矩阵 则存在正交矩阵 使得是对角矩阵 AQAQQD 1 DAQQAQQT 1 DA DA 2 标准化和规范化的方法 标准化和规范化的方法 正交变换法 配方法 3 惯性定理与惯性指数 惯性定理与惯性指数 定理 一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准形的各个平方项的系数中 大于 0 的个数 和小于 0 的个数是由原二次型所决定的 分别称为原二次型的正 负惯性指数 一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的 也即相应的规范对角矩阵是唯一的 用矩阵的语言来说 一个实对称矩阵合同于唯一规范对角矩阵 A 定理 二次型的正 负惯性指数在可逆线性变量替换下不变 两个二次型可互相转化的充要 条件是它们的正 负惯性指数相等 实对称矩阵的正 负 惯性指数就等于正 负 特征值的个数 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 定义 定义 一个二次型称为正定二次型 如果当不全为 0 时 n xxxf 21 n xx 1 0 21 n xxxf 例如 标准二次型正定 22 22 2 1121 nnn xdxdxdxxxf 0 i d ni 1 必要性 取 此时同样可证每 1 1 x0 2 x xx 0 0 0 1 1 df 个 0 i d 实对称矩阵正定实对称矩阵正定即二次型正定 也就是 当时 AxxT0 x0 AxxT 例如实对角矩阵正定 n 000 000 00 0 000 2 1 0 i ni 1 定义 定义 设是一个阶矩阵 记是的西北角的阶小方阵 称为的第个顺序主An r AAr r AAr 子式 或阶顺序主子式 r 附录一附录一 内积 正交矩阵 实对称矩阵的对角化内积 正交矩阵 实对称矩阵的对角化 一 向量的内积一 向量的内积 1 定义 定义 两个维实向量的内积是一个数 记作 规定为它们对应分量乘积之和 n 设 则 nn b b b a a a 2 1 2 1 nnb ababa 2211 T 2 性质 性质 对称性 双线性性质 2121 2121 ccc 正交性 且 0 00 n i i a 1 2 3 3 长度与正交 长度与正交 向量的长度 n i i a 1 2 00 cc 单位向量 长度为 的向量1 0 0 1 0 1 0 2 2 0 2 2 若 则是单位向量 称为的单位化单位化 0 1 1 两个向量如果内积为 0 称它们是正交正交的 0 如果维向量组两两正交 并且每个都是单位向量 则称为单位正交向量组正交向量组 n s 21 例 1 如果向量组两两正交 并且每个向量都不为零向量 则它们线性无关 s 21 证 记 则 s A 21 2 2 2 2 1 000 000 000 000 s T AA 则即 sArsAAr T sr s 1 例 2 若是一个实的矩阵 则 A ArAAr T 二 正交矩阵二 正交矩阵 一个实阶矩阵如果满足 就称为正交矩阵 nAEAAT 1 AAT 定理 是正交矩阵的行向量组是单位正交向量组 AA 的列向量组是单位正交向量组 A 例 3 正交矩阵保持内积 即A AA A 证 TTT AAAA 例 4 04 是 3 阶正交矩阵 并且 求的解 A1 11 a 0 0 1 Ax 三 施密特正交化方法三 施密特正交化方法 这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法 c 12 设线性无关 321 正交化 令 11 1 11 21 22 设 122 k 111212 k 当时 正交 11 12 k 12 2 22 32 1 11 31 33 单位化 令 1 1 1 2 2 2 3 3 3 则是与等价的单位正交向量组 321 321 四 实对称矩阵的对角化四 实对称矩阵的对角化 设是一个实的对称矩阵 则A 的每个特征值都是实数 A 对每个特征值 重数 即可以对角化 AErn A 属于不同特征值的特征向量互相正交 于是 存在正交矩阵 使得是对角矩阵 QAQQ 1 对每个特征值 找的一个单位正交基础的解 合在一起构造正交矩阵 0 xAE 设是阶的有个特征值 二重 三重 一重 A63 1 2 1 找的个单位正交特征向量 1 2 21 找的个单位正交特征向量 2 3 543 找的一个单位特征向量 3 6 654321 Q 例 5 04 是阶实对称矩阵 是它的一个二重特征值 A3 2 Ar6 和都是属于的特征向量 0 1 1 1 1 2 3 2 1 6 1 求的另一个特征值 A 2 求 A 解 1 另一个特征值为 0 2 设是属于的特征向量 则 3 2 1 x x x 0 032 02 0 321 321 21 xxx xxx xx 此方程组 基础解系包含一个解 任何两个解都相关 3 n 2 Ar 1 Arn 于是 每个非零解都是属于的特征向量 0 是一个解 000 110 101 321 112 011 1 1 1 060 066 0126 110 111 121 A 422 242 224 100 010 001 000 6612 066 111 112 011 422 242 224 A 附录二附录二 向量空间向量空间 1 维向量空间及其子空间维向量空间及其子空间n 记为由全部维实向量