[精品]2011届高考数学复习 三角函数（一）

用心 爱心 专心 20112011 届高考数学精品三角函数届高考数学精品三角函数 一 填空题 共 小题 每小题 分 1 如图 正方体 1111 ABCDABC D 中 E F分别为AB AD的中点 则 1 AD与EF所成角的大小为 2 如图是一个几何体的三视图 若它的体积是33 则 a 3 如图 已知正三棱柱 111 ABCABC 的各条棱长都相等 M是侧棱 1 CC的中点 则异面直线 1 ABBM和所成的角 的大小是 4 已知OA为球O的半径 过OA的中点M且垂直于OA的平面截 球面得到圆M 若圆M的面积为3 则球O的表面积等于 5 方程2cos 1 4 x 在区间 0 内的解是 6 如图 11 BBAA与相交与点 O 11 BAAB且 11 2 1 BAAB 若AOB 得外接圆直径为 1 则 11OB A 的外接圆直径为 二 选择题 共 小题 每小题 分 7 若直线ab 且直线 a平面 则直线b与平面 的位置关系是 A b B b C b 或 b D b与 相交或b 或 b 8 在正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 顶点 1 B到对角线 1 BD和到平面 11 ABCD的距离分别为 h和d 则下列命题中正确的是 A 若侧棱的长小于底面的变长 则 h d 的取值范围为 0 1 B 若侧棱的长小于底面的变长 则 h d 的取值范围为 2 2 3 23 C 若侧棱的长大于底面的变长 则 h d 的取值范围为 2 3 2 3 用心 爱心 专心 D 若侧棱的长大于底面的变长 则 h d 的取值范围为 2 3 3 9 如右图 某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的 正方形 且体积为 1 2 则该集合体的俯视图可以是 10 设 m n是平面 内的两条不同直线 12 l l是平面 内的两条相交直线 则 的一个充分而不必要条件是 A 1 ml 且 B 12 mll且n C mn 且 D 2 mnl 且 11 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 900 ACC1 600 BCC1 450 侧棱 CC1的长为 1 则该三棱柱的高等于 A 2 1 B 2 2 C 2 3 D 3 3 12 如图 正方体 1111 ABCDABC D 的棱线长为 1 线段 11 B D上有两个动点 E F 且 1 2 EF 则下列结论中错误的是 A ACBE B EFABCD平面 C 三棱锥ABEF 的体积为定值 D AEFBEF 的面积与的面积相等 13 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的全面积 单 位 2 cm 为 A 48 12 2 B 4824 2 用心 爱心 专心 C 36 12 2 D 3624 2 14 若函数cos 3 yx 0 的图象相邻两条对称轴间距离为 2 则 等于 A 1 2 B 12C 2D 4 15 在ABC 中 A B C的对边分别为 a b c 已知 3 A 3a 1b 则c A 1B 2C 31 D 3 16 sin 15 cos 75 cos 15 sin 105 等于 A 0B 2 1 C 2 3 D 1 17 将函数sin 6 yxxR 的图象上所有的点向左平行移动 4 个单位长度 再把图 象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍 纵坐标不变 则所得到的图象的解析式为 A 5 sin 2 12 yxxR B 5 sin 212 x yxR C sin 212 x yxR D 5 sin 224 x yxR 三 解答题 共 小题 每小题 分 18 如图 已知PA 正方形ABCD所在平面 E F分别是AB PC的中点 45PDA 1 求证 EF面PAD 2 求证 面PCE 面PCD 19 如图 在五面体ABCDEF中 AB DC 2 BAD 2CDAD 四边形ABFE为平行四边形 FA 平 面ABCD 3 7FCED 求 直线AB到平面EFCD的距离 二面角FADE 的平面角的正切值 20 如图 DC 平面ABC EBDC 22ACBCEBDC 120ACB P Q分别为 AE AB的中点 I 证明 PQ平面ACD II 求AD与平面ABE所成角的正弦值 用心 爱心 专心 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 21 如图 在四棱锥ABCDP 中 ABCDPD平面 CDAD 且 DB 平分ADC E 为 PC 的中点 1 CDAD 22 DB 证明BDEPA平面 证明PBDAC平面 求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值 22 如图 四棱锥SABCD 中 底面ABCD为矩 形 SD 底面ABCD 2AD 2DCSD 点 M 在侧棱SC上 ABM 60 证明 M是侧棱SC的中点 求二面角SAMB 的大小 23 如图 平行四边形ABCD中 60DAB 2 4ABAD 将CBD 沿BD折起到 EBD 的位置 使平面EDB 平面ABD I 求证 ABDE 求三棱锥EABD 的侧面积 24 如图 在三棱锥PABC 中 PAB是等边三 角形 PAC PBC 90 证明 AB PC 若4PC 且平面PAC 平面PBC 求三棱锥PABC 体积 25 如图 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD 为等腰梯形 AB CD AB 4 BC CD 2 AA1 2 E E1分别是棱 AD AA1的中点 1 设 F 是棱 AB 的中点 证明 直线 EE1 平面 FCC1 2 证明 平面 D1AC 平面 BB1C1C 用心 爱心 专心 26 已知 cos sin是关于x的一元二次方程0 3 2 2 axx的两根 其中 0 1 求 的值 2 求 4 cos 的值 27 在 ABC 中 a b c 分别为三个内角 A B C 的对边 锐角 B 满足 5 sin 3 B 求 2 sin2cos 2 AC B 的值 若2b 当 ac 取最大值时 求cos 3 A 的值 28 已知 A B C 是 ABC 的三内角 向量 1 3 cos sin mnAA 且1m n 1 求角 A 2 若 22 1 sin2 3 cossin B BB 求tan B 29 在ABC 中 内角 A B C的对边分别为 a b c 32 C 且 sin2 sinsin2 bC abAC 1 判断ABC 的性状 2 若 2BABC 求BA BC 的取值范围 答案答案 一 填空题 1 60 2 3 解析 解析 由已知正视图可以知道这个几何体是睡着的直三棱柱 两个底面是等腰的三角形 且 底边为 2 等腰三角形的高位 a 侧棱长为 3 结合面积公式可以得到 3332 2 1 ashV 解得 a 3 3 解析 解析 作 BC 的中点 N 连接 AN 则 AN 平面 BCC1B1 连接 B1N 则 B1N 是 AB1在平面 BCC1B1的射影 B1N BM AB1 BM 即异面直线 1 ABBM和所成的角的大小是 90 4 16 用心 爱心 专心 5 7 12 6 2 解析 解析 由正弦定理可以知道 ABBAR O BA r O AB 2 2 sin 12 sin 11 11 所以 11OB A 的外接 圆半径是AOB 外接圆半径的二倍 二 选择题 7 D 8 C 解析 解析 设底面边长为 1 侧棱长为 0 过 1 B作 1111 B HBD BGAB 在 11 Rt BB D 中 2 111 2 2B DB D 由三角形面积关系得 111 1 2 1 2 2 B D BB hB H B D 设在正四棱柱中 由于 1 BCAB BCBB 所以BC 平面 11 AAB B 于是 1 BCBG 所以 1 BG 平面 11 ABCD 故 1 BG为点 到平面 11 ABCD 的距离 在 11 Rt AB B 中 又由三角形面积关系得 111 1 2 11 AB BB dBG AB 于是 2 2 2 211 21 2 2 h d 于是当 1 所以 2 2 21 23 11 32 所以 2 3 1 3 h d 9 解法解法 1 1 由题意可知当俯视图是 A 时 即每个视图是变边长为 1 的正方形 那么此几何体 是立方体 显然体积是 1 注意到题目体积是 1 2 知其是立方体的一半 可知选 C 解法解法 2 2 当俯视图是 A 时 正方体的体积是 1 当俯视图是 B 时 该几何体是圆柱 底面积 是 2 1 424 S 高为 1 则体积是 4 当俯视是 C 时 该几何是直三棱柱 故体积 是 11 1 1 1 22 V 当俯视图是 D 时 该几何是圆柱切割而成 其体积是 2 1 11 44 V 故选 C 10 解析 解析 要得到 必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行 若 两个平面平行 则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面 对于选项 A 不是同一平面 用心 爱心 专心 的两直线 显既不充分也不必要 对于选项 B 由于 1 l与 2 l时相交直线 而且由于 1 l m 可得 2 l 故可得 充分性成立 而 不一定能得到 1 l m 它们也可以异面 故 必要性不成立 故选 B 对于选项 C 由于 m n 不一定的相交直线 故是必要非充分条件 对 于选项 D 由 2 ln可转化为 C 故不符合题意 综上选 B 11 A 解析 解析 过顶点 A 作底面 ABC 的垂线 由已知条件和立体几何线面关系易求得高的长 12 D 13 A 14 C 15 B 16 D 17 B 三 解答题 18 解析 解析 1 PD中点为G 连FG AG F G分别为中点 1 2 FGCD AEFG 即四边形EFGA为平行四边形 EFAG 又EF 面PAD AG 面 PAD EF 面PAD 2 PAABCD 面 PAAD PACD Rt PAD 中 45PDA PAAD AGPD 又 CDAD CDPA 且PAADA CD 面PADCDAG 又PDCDD AG 面PCD 由 1 知 EFAGEF 面PCD又EF 面PCE 面PCE 面PCD 19 解法一解法一 ABDC DC A平面EFCD AB 到面EFCD的距离等于点 A 到面 EFCD的距离 过点 A 作AGFD 于 G 因 2 BAD AB DC 故CDAD 又 FA 平面ABCD 由三垂线定理可知 CDFD 故CDFAD 面 知CDAG 所 以 AG 为所求直线 AB 到面EFCD的距离 在RtABC 中 22 945FDFCCD 用心 爱心 专心 A B C D E F x y z G 由FA 平面ABCD 得FA AD 从而在Rt FAD中 22 541FAFDAD 22 5 55 FA AD AG FD 即直线AB到平面EFCD的距离为 2 5 5 由己知 FA 平面ABCD 得FA AD 又由 2 BAD 知ADAB 故 AD 平面 ABFE DAAE 所以 FAE 为二面角FADE 的平面角 记为 在RtAED 中 22 743AEEDAD 由ABCDA得 FEBAA 从而 2 AFE 在RtAEF 中 22 3 12FEAEAF 故tan2 FE FA 所以二面角FADE 的平面角的正切值为2 解法二解法二 如图以 A 点为坐标原点 AB AD AF 的方向为 x y z的正方向建 立空间直角坐标系数 则 A 0 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 设 00 0 0 0 Fzz 可得 0 2 2 FCz 由 3FC 即 222 0 223z 解 得 0 0 1 F AB DC DC 面EFCD 所以直线 AB 到面EFCD的距离等于点 A 到 面EFCD的距离 设 A 点在平面EFCD上的射影点为 111 G xy z 则 111 AGxy z 因0AG DF 且0AG CD 而 0 2 1 DF 2 0 0 CD 此即 11 1 20 20 yz x 解得 1 0 x 知 G 点在yoz面上 故 G 点 在 FD 上 GFDF A 111 1 GFxyz 故有 1 1 1 2 y z 联立 解得 2 4 0 5 5 G AG 为直线 AB 到面EFCD的距离 而 2 4 0 5 5 AG 所以 2 5 5 AG 因四边形ABFE为平行四边形 则可设 00 0 1 0 E xx 0 2 1 EDx 用心 爱心 专心 由 7ED 得 22 0 217x 解得 0 2x 即 2 0 1 E 故 2 0 1 AE 由 0 2 0 AD 0 0 1 AF 因0AD AE 0AD AF 故FAE 为二面角 FADE 的平面角 又 2 0 0 EF 2EF 1AF 所以 tan2 EF FAE FA 20 证明证明 连接CQDP 在ABE 中 QP 分别是ABAE 的中点 所以 BEPQ 2 1 又BEDC 2 1 所以DCPQ 又 PQ平面 ACD DC 平面 ACD 所 以 PQ平面 ACD 解析 解析 在ABC 中 BQAQBCAC 2 所以ABCQ 而 DC 平面 ABC DCEB 所以 EB平面 ABC 而 EB平面 ABE 所以平面 ABE 平面 ABC 所以 CQ平面 ABE 由 知四边形 DCQP 是平行四边形 所以CQDP 所以 DP平面 ABE 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是DAP 在APDRt 中 512 2222 DCACAD 1sin2 CAQCQDP 所以 5 5 5 1 sin AD DP DAP 21 1 证明证明 设HBDAC 连结 EH 在ADC 中 因为 AD CD 且 DB 平分 ADC 所以 H 为 AC 的中点 又有题设 E 为 PC 的中点 故PAEH 又 BDEPABDEHE平面平面 所以BDEPA平面 2 证明证明 因为ABCDPD平面 ABCDAC平面 所以ACPD 由 1 知 ACBD DBDPD 故PBDAC平面 3 解析 解析 由PBDAC平面 可知 BH 为 BC 在平面 PBD 内的射影 所以CBH 为直 线与平面 PBD 所成的角 由CDAD 2 23 2 2 22 1 BHCHDHDBCDAD可得 在BHCRt 中 3 1 tan BH CH CBH 所以直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值为 用心 爱心 专心 3 1 22 解法一解法一 1 作 MECD交于点 E 则 MEAB MESAD 平面 连接AE 则四边形ABME为直角梯形 作 MFAB 垂足为 F 则AFME为矩形 2 22 2 22 22 2 MExSEx AEEDADx MFAExFBx 设则 由 2 tan602 23 2MFFBxx 得 解得 1x 即 1 1 2 MEMEDC 从而 所以 M 为侧棱 SC 的中点 II 22 2 602 MBBCMCABMABABM 又 所以为等边三角形 又由 I 知 M 为 SC 中点 222 2 6 2 90SMSAAMSASMAMSMA 故 取 AM 中点 G 连接 BG 取 SA 中点 H 连接 GH 则 BGAM GHAM 由此知为BGH 二面角 S AM B 的平面角 连接 BH 在BGH 中 22 31222 3 2222 BGAMGHSMBHABAH 所以 222 6 cos 23 BGGHBH BGH BG GH 二面角 S AM B 的大小为 6 arccos 3 解法二解法二 以 D 为坐标原点 射线 DA 为x轴正半轴 建立如图所示的直角坐标系 D xyz 设 2 0 0 2 2 0 0 0 2ABS则 I 设 0 SMMC 则 用心 爱心 专心 2222 0 2 1111 MMB 又 0 2 0 60ABMB AB 故 cos60MB ABMBAB 即 22 2 422 2 111 解得1SMMC 即 所以 M 为侧棱 SC 的中点 II 2 1 1 0 1 1 2 0 0 22 2 MAAMG 由得的中点 3 31 0 1 1 2 1 1 222 GBMSAM 又 0 0GB AMMS AM 所以 GBAM MSAM 因此 GB MS 等于三角形 S AM B 的平面角 6 cos 3 GB MS GB MS GBMS 23 I 证明证明 在ABD 中 2 4 60ABADDAB 22 222 22cos2 3 BDABADABADDAB ABBDADABDE 又 平面EBD 平面ABD 平面EBD 平面 ABDBD AB 平面ABD AB 平面EBD DF 平面 EBDABDE 解析解析 由 I 知 ABBD CDABCDBD 从而DED 在Rt DBE 中 2 3 2DBDEDCAB 用心 爱心 专心 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 1 2 3 2 ABE SDB DE 又AB 平面 EBD BE 平面 EBDABBE 1 4 4 2 ABE BEBCADSAB BE DEBD 平面EBD 平面ABDED 平面ABD 而AD 平面 1 4 2 ADE ABDEDADSAD DE 综上 三棱锥EABD 的侧面积 82 3S 24 解析 解析 因为PAB 是等边三角形 90PACPBC 所以Rt PBCRt PAC 可得ACBC 如图 取AB中点D 连结PD CD 则PDAB CDAB 所以AB 平面PDC 所以ABPC 作BEPC 垂足为E 连结AE 因为Rt PBCRt PAC 所以AEPC AEBE 由已知 平面PAC 平面PBC 故90AEB 因为Rt AEBRt PEB 所以 AEBPEBCEB 都是等腰直角三角形 由已知4PC 得2AEBE AEB 的面积2S 因为PC 平面AEB 所以三角锥PABC 的体积 18 33 VSPC 25 证明证明 1 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 取 A1B1的中点 F1 连接 A1D C1F1 CF1 因为 AB 4 CD 2 且 AB CD 所以 CDA1F1 A1F1CD 为平行四边形 所以 CF1 A1D 又因为 E E1分别是棱 AD AA1的中点 所以 EE1 A1D 所以 CF1 EE1 又因为 1 EE 平面