2012年各地中考数学汇编 四边形精选21~30（解析版）

用心 爱心 专心1 20122012 年各地中考数学汇编三角形四边形精选年各地中考数学汇编三角形四边形精选 21 30 21 30 解析版解析版 21 2012 上海 23 己知 如图 在菱形 ABCD 中 点 E F 分别在边 BC CD BAF DAE AE 与 BD 交于 点 G 1 求证 BE DF 2 当 时 求证 四边形 BEFG 是平行四边形 考点 平行线分线段成比例 全等三角形的判定与性质 平行四边形的判定 菱形的性质 解答 证明 1 四边形 ABCD 是菱形 AB AD ABC ADF BAF DAE BAF EAF DAE EAF 即 BAE DAF BAE DAF BE DF 2 FG BC DGF DBC BDC DF GF BE GF 四边形 BEFG 是平行四边形 22 2012 广东 21 如图 在矩形纸片 ABCD 中 AB 6 BC 8 把 BCD 沿对角线 BD 折叠 使点 C 落在 C 处 BC 交 AD 于点 G E F 分别是 C D 和 BD 上的点 线段 EF 交 AD 于点 H 把 FDE 沿 EF 折叠 使点 D 落在 D 处 点 D 恰好与点 A 重合 1 求证 ABG C DG 2 求 tan ABG 的值 3 求 EF 的长 用心 爱心 专心2 考点 翻折变换 折叠问题 全等三角形的判定与性质 矩形的性质 解直角三角形 解答 1 证明 BDC 由 BDC 翻折而成 C BAG 90 C D AB CD AGB DGC ABG ADE 在 ABG C DG 中 ABG C DG 2 解 由 1 可知 ABG C DG GD GB AG GB AD 设 AG x 则 GB 8 x 在 Rt ABG 中 AB2 AG2 BG2 即 62 x2 8 x 2 解得 x tan ABG 3 解 AEF 是 DEF 翻折而成 EF 垂直平分 AD HD AD 4 tan ABG tan ADE EH HD 4 EF 垂直平分 AD AB AD HF 是 ABD 的中位线 HF AB 6 3 EF EH HF 3 用心 爱心 专心3 23 2012 嘉兴 23 将 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 度 并使各边长变为原来的 n 倍 得 AB C 即如图 我们将这种变换记为 n 1 如图 对 ABC 作变换 60 得 AB C 则 S AB C S ABC 3 直线 BC 与直线 B C 所夹的锐角为 60 度 2 如图 ABC 中 BAC 30 ACB 90 对 ABC 作变换 n 得 AB C 使点 B C C 在同一直线上 且四边形 ABB C 为矩形 求 和 n 的值 4 如图 ABC 中 AB AC BAC 36 BC l 对 ABC 作变换 n 得 AB C 使点 B C B 在同一直线上 且四边形 ABB C 为平行四边形 求 和 n 的 值 考点 相似三角形的判定与性质 解一元二次方程 公式法 平行四边形的性质 矩形的性 质 旋转的性质 解答 解 1 根据题意得 ABC AB C S AB C S ABC 2 2 3 B B ANB B NM BMB BAB 60 故答案为 3 60 2 四边形 ABB C 是矩形 BAC 90 CAC BAC BAC 90 30 60 在 Rt ABC 中 ABB 90 BAB 60 AB B 30 n 2 3 四边形 ABB C 是平行四边形 AC BB 又 BAC 36 CAC ACB 72 C AB BAC 36 而 B B ABC B BA AB BB CB AB AB2 CB BB CB BC CB 而 CB AC AB B C BC 1 AB2 1 1 AB AB 用心 爱心 专心4 AB 0 n 24 2012 资阳 23 1 如图 1 正方形 AEGH 的顶点 E H 在正方形 ABCD 的边上 直接写出 HD GC EB 的结果 不必写计算过程 2 将图 1 中的正方形 AEGH 绕点 A 旋转一定角度 如图 2 求 HD GC EB 3 把图 2 中的正方形都换成矩形 如图 3 且已知 DA AB HA AE m n 此时 HD GC EB 的值与 2 小题的结果相比有变化吗 如果有变化 直接写出变化后的结果 不必写计算过程 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 等腰直角三角形 正方形的性质 分析 1 首先连接 AG 由正方形 AEGH 的顶点 E H 在正方形 ABCD 的边上 易证得 GAE CAB 45 AE AH AB AD 即 A G C 共线 继而可得 HD BE GC BE 即可求得 HD GC EB 的值 2 连接 AG AC 由 ADC 和 AHG 都是等腰直角三角形 易证得 DAH CAG 与 DAH BAE 利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质 即可求得 HD GC EB 的值 3 由矩形 AEGH 的顶点 E H 在矩形 ABCD 的边上 由 DA AB HA AE m n 易证 得 ADC AHG DAH CAG ADH ABE 利用相似三角形的对应边成比例 与勾股定理即可求得 HD GC EB 的值 解答 解 1 连接 AG 正方形 AEGH 的顶点 E H 在正方形 ABCD 的边上 GAE CAB 45 AE AH AB AD A G C 共线 AB AE AD AH 用心 爱心 专心5 HD BE AG AE AC AB GC AC AG AB AE AB AE BE HD GC EB 1 1 3 分 2 连接 AG AC ADC 和 AHG 都是等腰直角三角形 AD AC AH AG 1 DAC HAG 45 DAH CAG 4 分 DAH CAG HD GC AD AC 1 5 分 DAB HAE 90 DAH BAE 在 DAH 和 BAE 中 DAH BAE SAS HD EB HD GC EB 1 1 6 分 3 有变化 连接 AG AC 矩形 AEGH 的顶点 E H 在矩形 ABCD 的边上 DA AB HA AE m n ADC AHG 90 ADC AHG AD AC AH AG m DAC HAG DAH CAG 4 分 DAH CAG HD GC AD AC m 5 分 DAB HAE 90 DAH BAE DA AB HA AE m n ADH ABE DH BE AD AB m n HD GC EB m n 8 分 用心 爱心 专心6 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 正方形的性质 矩形的性质 全等三角形的 判定与性质以及勾股定理等知识 此题综合性较强 难度较大 注意掌握辅助线的 作法 注意数形结合思想的应用 25 2012 德州 23 如图所示 现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD 点 P 为正方形 AD 边上的一点 不 与点 A 点 D 重合 将正方形纸片折叠 使点 B 落在 P 处 点 C 落在 G 处 PG 交 DC 于 H 折痕为 EF 连接 BP BH 1 求证 APB BPH 2 当点 P 在边 AD 上移动时 PDH 的周长是否发生变化 并证明你的结论 3 设 AP 为 x 四边形 EFGP 的面积为 S 求出 S 与 x 的函数关系式 试问 S 是否存在最 小值 若存在 求出这个最小值 若不存在 请说明理由 考点 翻折变换 折叠问题 二次函数的最值 全等三角形的判定与性质 正方形的性 质 分析 1 根据翻折变换的性质得出 PBC BPH 进而利用平行线的性质得出 APB PBC 即可得出答案 2 首先证明 ABP QBP 进而得出 BCH BQH 即可得出 PD DH PH AP PD DH HC AD CD 8 3 利用已知得出 EFM BPA 进而利用在 Rt APE 中 4 BE 2 x2 BE2 利 用二次函数的最值求出即可 解答 1 解 如图 1 PE BE EBP EPB 用心 爱心 专心7 又 EPH EBC 90 EPH EPB EBC EBP 即 PBC BPH 又 AD BC APB PBC APB BPH 2 PHD 的周长不变为定值 8 证明 如图 2 过 B 作 BQ PH 垂足为 Q 由 1 知 APB BPH 又 A BQP 90 BP BP ABP QBP AP QP AB BQ 又 AB BC BC BQ 又 C BQH 90 BH BH BCH BQH CH QH PHD 的周长为 PD DH PH AP PD DH HC AD CD 8 3 如图 3 过 F 作 FM AB 垂足为 M 则 FM BC AB 又 EF 为折痕 EF BP EFM MEF ABP BEF 90 EFM ABP 又 A EMF 90 EFM BPA EM AP x 在 Rt APE 中 4 BE 2 x2 BE2 解得 又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等 即 配方得 当 x 2 时 S 有最小值 6 用心 爱心 专心8 点评 此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理 二次函 数的最值问题等知识 熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键 26 2012 湘潭 24 如图 ABC 是边长为 3 的等边三角形 将 ABC 沿直线 BC 向右平移 使 B 点与 C 点 重合 得到 DCE 连接 BD 交 AC 于 F 1 猜想 AC 与 BD 的位置关系 并证明你的结论 2 求线段 BD 的长 考点 等边三角形的性质 勾股定理 平移的性质 专题 探究型 分析 1 由平移的性质可知 BE 2BC 6 DE AC 3 故可得出 BD DE 由 用心 爱心 专心9 E ACB 60 可知 AC DE 故可得出结论 2 在 Rt BDE 中利用勾股定理即可得出 BD 的长 解答 解 1 AC BD DCE 由 ABC 平移而成 BE 2BC 6 DE AC 3 E ACB 60 DE BE BD DE E ACB 60 AC DE BD AC 2 在 Rt BED 中 BE 6 DE 3 BD 3 点评 本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质 熟知图形平移后的图形与原图形全 等的性质是解答此题的关键 27 2012 济宁 17 如图 AD 是 ABC 的角平分线 过点 D 作 DE AB DF AC 分别交 AC AB 于点 E 和 F 1 在图中画出线段 DE 和 DF 2 连接 EF 则线段 AD 和 EF 互相垂直平分 这是为什么 考点 菱形的判定与性质 作图 复杂作图 分析 1 根据题目要求画出线段 DE DF 即可 2 首先证明四边形 AEDF 是平行四边形 再证明 EAD EDA 根据等角对等边 可得 EA ED 由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证明四边形 AEDF 是菱形 再 根据菱形的性质可得线段 AD 和 EF 互相垂直平分 解答 解 1 如图所示 2 DE AB DF AC 四边形 AEDF 是平行四边形 AD 是 ABC 的角平分线 FAD EAD AB DE FAD EDA EAD EDA EA ED 用心 爱心 专心10 平行四边形 AEDF 是菱形 AD 与 EF 互相垂直平分 点评 此题主要考查了画平行线 菱形的判定与性质 关键是掌握菱形的判定方法 判定 四边形为菱形可以结合菱形的性质证出线段相等 角相等 线段互相垂直且平分 28 2012 娄底 23 如图 在矩形 ABCD 中 M N 分别是 AD BC 的中点 P Q 分别是 BM DN 的中点 1 求证 MBA NDC 2 四边形 MPNQ 是什么样的特殊四边形 请说明理由 考点 矩形的性质 全等三角形的判定与性质 直角三角形斜边上的中线 菱形的判定 分析 1 根据矩形的性质和中点的定义 利用 SAS 判定 MBA NDC 2 四边形 MPNQ 是菱形 连接 AN 有 1 可得到 BM CN 再有中点得到 PM NQ 再通过 证明 MQD NPB 得到 MQ PN 从而证明四边形 MPNQ 是平行四边形 利用三角形中位线的 性质可得 MP MQ 进而证明四边形 MQNP 是菱形 解答 证明 1 四边形 ABCD 是矩形 AB CD AD BC A C 90 在矩形 ABCD 中 M N 分别是 AD BC 的中点 AM AD CN BC AM CN 在 MAB NDC MAB NDC 2 四边形 MPNQ 是菱形 理由如下 连接 AN 易证 ABN BAM AN BM MAB NDC BM DN P Q 分别是 BM DN 的中点 PM NQ 用心 爱心 专心11 DM BN DQ BP MDQ NBP MQD NPB 四边形 MPNQ 是平行四边形 M 是 AB 中点 Q 是 DN 中点 MQ AN MQ BM MP BM MP MQ 四边形 MQNP 是菱形 点评 本题考查了矩形的性质 全等三角形的判定和全等三角形的性质 三角形中位线定 理以及平行四边形的判定和菱形的判定方法 属于基础题目 29 2012 福州 21 满分 13 分 如图 在 Rt ABC中 C 90 AC 6 BC 8 动点P从点A开始沿 边AC向点C以每秒 1 个单位长度的速度运动 动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒 2 个单位长度的速度运动 过点P作PD BC 交AB于点D 连接PQ 点P Q分别从点 A C同时出发 当其中一点到达端点时 另一点也随之停止运动 设运动时间为t秒 t 0 1 直接用含t的代数式分别表示 QB PD 2 是否存在t的值 使四边形PDBQ为菱形 若存在 求出t的值 若不存在 说明 理由 并探究如何改变点Q的速度 匀速运动 使四边形PDBQ在某一时刻为菱形 求点Q的速度 3 如图 在整个运动过程中 求出线段PQ中点M所经过的路径长 考点 相似三角形的判定与性质 一次函数综合题 勾股定理 菱形的判定与性质 专题 代数几何综合题 第 21 题图 A B C D P Q 第 21 题图 A B C D P Q 用心 爱心 专心12 分析 1 根据题意得 CQ 2t PA t 由 Rt ABC中 C 90 AC 6 BC 8 PD BC 即可得 tanA 则可求得QB与PD的值 PD PA BC AC 4 3 2 易得 APD ACB 即可求得AD与BD的长 由BQ DP 可得当BQ DP时 四边形PDBQ是平行四边形 即可求得此时DP与BD的长 由DP BD 可判定 PDBQ 不能为菱形 然后设点Q的速度为每秒v个单位长度 由要使四边形PDBQ为菱形 则PD BD BQ 列方程即可求得答案 3 设E是AC的中点 连接ME 当t 4 时 点Q与点B重合 运动停止 设此时 PQ的中点为F 连接EF 由 PMN PQC 利用相似三角形的对应边成比例 即可 求得答案 解答 解 1 QB 8 2t PD t 4 3 2 不存在 在 Rt ABC中 C 90 AC 6 BC 8 AB 10 PD BC APD ACB 即 AD AB AP AC AD 10 t 6 AD t 5 3 BD AB AD 10 t 5 3 BQ DP 当BQ DP时 四边形PDBQ是平行四边形 即 8 2t t 解得 t 4 3 12 5 当t 时 PD BD 10 6 12 5 4 3 12 5 16 5 5 3 12 5 DP BD PDBQ不能为菱形 设点Q的速度为每秒v个单位长度 则BQ 8 vt PD t BD 10 t 4 3 5 3 要使四边形PDBQ为菱形 则PD BD BQ 当PD BD时 即t 10 t 解得 t 4 3 5 3 10 3 当PD BQ时 t 时 即 8 v 解得 v 10 3 4 3 10 3 10 3 16 15 3 解法一 如图 2 以C为原点 以AC所在直线为x轴 建立平面直角坐标 系 依题意 可知 0 t 4 当t 0 时 点M1的坐标为 3 0 当t 4 时 点M2的坐标为 1 4 设直线M1M2的解析式为y kx b 图 1 A B C D P Q A B CM1x y PN Q M2 M3 D 图 2 用心 爱心 专心13 解得 3k b 0 k b 4 k 2 b 6 直线M1M2的解析式为y 2x 6 点Q 0 2t P 6 t 0 在运动过程中 线段PQ中点M3的坐标为 t 6 t 2 把x 代入y 2x 6 得y 2 6 t 6 t 2 6 t 2 点M3在直线M1M2上 过点M2作M2N x轴于点N 则M2N 4 M1N 2 M1M2 2 5 线段PQ中点M所经过的路径长为 2单位长度 5 解法二 如图 3 设E是AC的中点 连接ME 当t 4 时 点Q与点B重合 运动停止 设此时PQ的中点为F 连接EF 过点M作MN AC 垂足为N 则MN BC PMN PDC 即 MN QC PN PC PM PQ MN 2t PN 6 t 1 2 MN t PN 3 t 1 2 CN PC PN 6 t 3 t 3 t 1 2 1 2 EN CE CN 3 3 t t 1 2 1 2 tan MEN 2 MN EN tan MEN的值不变 点M在直线EF上 过F作FH AC 垂足为H