导数问题的六大应用

导数问题的六大热点导数问题的六大热点 导数部分内容 由于其应用的广泛性 为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地 解决一些实际问题 因此在高考新课程卷中占有较为重要的地位 其考查重点是导数判断 或论证单调性 函数的极值和最值 利用导数解决实际问题等方面 常以一小一大或二小 一大的试题出现 分值 12 17 分 下面例析导数的六大热点问题 供参考 一 运算问题一 运算问题 是指运用导数的定义 常见函数的导数 函数和差积商的导数 及复合函数 隐函数 的导数法则 直接求出其导数的运算问题 例例 1 1 已知na 0 为正整数 设 1 nn axnyaxy证明 证明证明 因为 n k k n n Cax 0 kkn xa 所以 1 0 n n kk k ykax n k n 0 111 1 kn kkn n Caxn xa 例例 2 2 已知y x 1 2 用定义法求y 求y 2x2 3x 4 2 32 xx 的导数 已知函数f x 2 1ax 且 f 1 2 求a的值 分析 分析 对于 运用导数的定义 即y 0 lim x y x 即可解决 对于 可应用 u v v u以及 1 xx 解之 对于 是逆向型的复合函数导数运算问题 用 xux yyu 及方程思想即可解决 解析 解析 y 0 lim x y x 22 00 1 1 limlim 22 xx xxx xx x 2x 2 由法则 即得y 4x 3 23 34 xx fx 2 1 ax2 1 1 2 2ax 即 f 1 a a 1 1 2 2 解得a 2 二 切线问题二 切线问题 是指运用导数的几何意义或物理意义 解决瞬时速度 加速度 光滑曲线切线的斜率等 三类问题 特别是求切线的斜率 倾斜角及切线方程问题 其中 曲线y f x 在点P x0 f x0 处的斜率k 倾斜角为 则 tan k 0 fx 其切线l的方程为 y y0 0 fx x x0 若曲线y f x 在点P x0 f x0 的 切线平行于y轴 即导数不存在 时 由切线定义知 切线方程为x x0 例例 3 3 已知0 a 函数 0 1 x x ax xf 设 a x 2 0 1 记曲线 xfy 在点 11 xfxM处的切线为l 求l的方程 设l与x轴交点为 0 2 x 证明 a x 1 0 2 若 a x 1 1 则 a xx 1 21 解 解 求 xf的导数 2 1 x xf 由此得切线l的方程 1 1 1 2 1 1 xx xx ax y 证明证明 依题意 切线方程中令y 0 a xaxxxaxxx 2 0 2 1 1111112 其中 由 aa xaxxaxxx a x 1 1 0 2 2 0 2 1221121 及有 a x a x a x 11 1 0 212 时 当且仅当 a xxaxxxax a x 1 2 1 1 2111211 且由 因此 时 当 a xx 1 21 所以 例例 4 4 设0 a cbxaxxf 2 曲线 xfy 在 00 xfxP处切线的倾斜角 的取值范围是 4 0 则P到曲线 xfy 对称轴距离的取值范围是 A 1 0 a B 2 1 0 a C 2 0 a b D 2 1 0 a b 解 解 fx 2ax b 故点 00 xfxP处切线斜率k 2ax0 b tan 0 1 于 是点P到对称轴x 2 b a 的距离d x0 2 b a 0 2 2 axb a 2 1 0 a 故选 B 三 单调性问题三 单调性问题 一般地 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则f x 为增函数 如 果f x 0 则f x 为减函数 单调性是导数应用的重点内容 主要有四类问题 运用导数判断单调区间 证明单调性 已知单调性求参数 先证明其单调性 再运用单调证明不等式等问题 例例 5 5 设a 0 x x e a a e xf 是 R R 上的偶函数 I 求a的值 II 证明 xf在 0 上是增函数 解 解 依题意 对一切x R 有f x f x 即 x xx x ae aee a a e 1 所以0 1 1 x x e e a a对一切x R 成立 由此得到0 1 a a 即1 2 a 又因为0 a 所以1 a 证明证明 由 xx eexf 得 1 2 xxxx eeeexf 当x 0 时 有0 x e 01 2 x e 此时0 x f 所以 xf在 0 是增函数 评注评注 对于第 问是证明函数的单调性 虽然可利用函数单调性定义直接证明 但 对f x1 f x2 的变形要求较高 技巧性强 且运算量大 是一种 巧法 而利用导数法 简捷明快 也成了 通法 四 极值问题四 极值问题 即运用导数解决极值问题 一般地 当函数f x 在x0处连续 判别f x0 为极大 小 值的方法是 如果在x0附近的左侧 fx 0 右侧 fx 0 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 fx 0 右侧 fx 0 那么f x0 是极小值 例例 6 6 函数y 1 3x x3有 A 极小值 1 极大值 1 B 极小值 2 极大值 3 C 极小值 2 极大值 2 D 极小值 1 极大值 3 分析 分析 本题是求已知三次函数的极值问题 考虑运用导数先确定函数的单调性 再求 其极值 解 解 由y 3 3x2 0 得 x 1 或x 1 当x 1 1 时 y 0 当x 1 1 时 y 0 因此函数y 1 3x x3在 1 上单调递减 在 1 1 上单调递增 在 1 上单调递减 即x 1 是极小值点 x 1 是极大值点 所以极小值为 1 极 大值为 3 故选 D 五 最值问题五 最值问题 运用导数求最大 小 值的一般步骤如下 若f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则 求 fx 令 fx 0 求出在 a b 内使导数为 0 的点及导数不存在的点 比较三类点 导数不存在的点 导数为 0 的点及区间端点的函数值 其中最大者便 是f x 在 a b 上的最大值 最小者便是f x 在 a b 上的是小值 例例 7 7 求函数f x x4 2x2 5 在 2 2 上的最大值与最小值 解 解 fx 4x3 4x 令 fx 0 解得x1 1 x2 0 x3 1 均在 2 2 内 计算f 1 4 f 0 5 f 1 4 f 2 13 f 2 13 通过比较 可见f x 在 2 2 上的最大值为 13 最小值为 4 六 应用问题六 应用问题 例例 8 8 用总长 14 8m 的钢条制成一个长方体容器的框架 如果所制做容器的底面的一 边比另一边长 0 5m 那么高为多少时容器的容积最大 并求出它的最大容积 分析 分析 本小题主要考查应用所学导数的知识 思想和方法解决实际问题的能力 建立 函数式 解方程 不等式 最大值等基础知识 解 设容器底面短边长为xm 则另一边长为 0 5x m 高为 14 8440 5 3 22 4 xx x 由3 220 x 和0 x 得01 6x 设容器的容积为 3 ym 则有 0 53 22yx xx 01 6x 即