第四单元解决问题的策略教材分析

本单元教学 假设 替换 策略 辞海 里的 假设 即假定 假使的意思 替换 即替代 更换的意思 数学教学让学生解答的实际问题 有些是他们曾经见过或者解过的问题 学生知 道解法 能够顺利地得到答案 有些问题比较陌生 由于是首次遇到或很少接触 没 有现成的模型可以比照 没有现成的方法可以搬用 解题的困难较大 学生解决新颖 的 较复杂的问题 十分需要解决问题的策略 在前面的教科书里 已经教学了常用 的解题思路 从条件向问题推理与从问题向条件推理 教学了理解题意 整理信息的 常用方法 列表和画图 还教学了枚举 转化等思想方法 应该说 这些策略的教学 大幅度提高了学生解决实际问题的能力 数学教学不仅要学生解决学过的问题 更要他们创造性地解决没有见过的问题 一些结构比较复杂 解法比较特殊的问题 如果只是利用 常规 性的策略 即使整 理了已知条件和所求问题 仍然难以发现数量关系 形成解题思路 即使有转化成其 他问题的愿望 仍然会因为缺少转化的途径和手段 而难以进行有效的转化 值得注 意的是 如果对某个条件作出合乎逻辑的假设 就可以根据变化后的新情境进行推理 把原来的问题转化成较熟悉的或者稍简单的问题 从而打开解题思路 找到解决问题 的途径 所以 假设也是人们解决问题的一个重要策略 数学教学应该让学生逐步掌 握假设的思想方法 全单元编排两道例题 具体安排见下表 编排例 1 通过解决实际问题初步体验 假设 替换 策略 例 2 应用 假设 替换 策略解决实际问题 从表格里可以看到 教学假设与替换策略和教学其他策略一样 也是分成两步进 行的 第一步先让学生初步认识策略 感悟策略的思想与方法 体会策略有利于解决 问题 对学习的策略产生积极的情感态度 第二步让学生尝试着应用策略 在解决问 题的活动中 进一步体验策略 逐渐学会使用策略 感受策略的价值 加强策略意识 一 例 1 利用直观的问题情境 引发假设与替换的想法和做法 例题图文结合 讲述了 960 毫升果汁正好倒满 6 个小杯和 2 个大杯 还指出小杯 的容量是大杯的 1 3 要求小杯和大杯的容量各是多少毫升 教学过程大致设计成四段 第一段是理解题意 关注数量关系 学生阅读文字叙述的例 1 未必能采用适当的 形式整理已知与未知之间的联系 他们虽然能够理解题意 却很可能抓不住核心的数 量关系 形不成有效的解题思路 为此 教材提出问题 怎样理解题中数量之间的关 系 引导他们关注 6 个小杯和 2 个大杯的容量一共 960 毫升 小杯的容量是大杯 的 1 3 并且想到 3 个小杯的容量和 1 个大杯的容量相等 1 个大杯相当于 3 个小 杯 3 个小杯相当于 1 个大杯 等等 这些数量关系将为接着的解题活动奠定基础 第二段是学生交流解决问题的初步打算 并选择一种方法解题 在理解题意和分 析数量关系的基础上 学生会有自己的解题打算 教材鼓励他们交流自己的想法 并 选择一种方法解题 如 有些学生在直观的图画情境里会想到 如果把果汁全部倒在 小杯里 问题就好解决了 于是产生把 1 个大杯换成 3 个小杯的想法 使 960 毫升果 汁倒在 12 个小杯里 先求小杯容量 再求大杯容量都不困难了 又如 有些学生会设 1 个小杯的容量为 x 毫升 那么 6 个小杯的容量是 6x 毫升 1 个大杯的容量为 3x 毫升 2 个大杯的容量为 6x 毫升 于是想到列方程解题 教学应注意教材的两点意图 一是 不要过早勉强学生采用 假设与替换 策略解题 已经想到这种方法的学生可以像这 样解题 暂时没有想到的学生 应该用自己想到的方法解题 二是通过组织学生交流 各种解法 在交流中充分关注 假设与替换 这种解法 理解如何假设 为什么这样 假设 为什么替换 如何替换 明白把果汁倒入大小不同的杯子想象成倒入同样的杯 子 就是假设 为了解决问题 在假设的基础上还需要进行必要的替换 把 1 个大杯 换成 3 个小杯 2 个大杯换成 6 个小杯就是替换 第三步假设把 960 毫升果汁全部倒入大杯 用大杯替换小杯 先算出 1 个大杯的 容量 再计算 1 个小杯的容量 要求全体学生都根据这样的假设算出结果 这一步让 原来就采用 假设与替换 方法解答的学生再经历一次 假设 替换 的过程 让 原来用其他方法解题的学生 尝试着用 假设 替换 的方法解题 体会这种思想 方法 因为这种方法是例题所教学的方法 属于全单元的教学内容 教学应该注意两 点 一是学生列式计算时 应该把假设与替换的方法尽量用算式表示出来 部分学生 可能会列算式 960 4 240 毫升 算出 1 个大杯的容量 列算式 960 12 80 毫 升 计算 1 个小杯的容量 这两个算式虽然正确 但不够完美 要指导学生在这两个 算式的前面 先写出求大杯个数的式子 6 3 2 4 个 或求小杯个数的式子 6 3 2 12 个 把自己进行的替换表示出来 二是要检验结果 确认结果正确之后 再写出答句 这是解决问题的基本程序之一 更是严谨的态度与良好的习惯 尤其在 采用新的方法解决新颖问题时 更需要及时检验 以确认解题方法与结果的合理性 检验这道题的结果 要抓住 果汁总量是 960 毫升 和 小杯的容量是大杯的 1 3 这 两点进行 只有同时满足这两个关系的结果才是正确答案 应该承认 学生已有的经验结构中存在假设与替换的元素 不过这种存在是潜在 的 往往是无意识地显示和使用 教学的任务是把沉睡的思想唤醒 把潜在的方法激 活 不仅解决实际问题 而且让学生体会问题解法里的数学思想 从而使之成为以后 解决问题可以利用的资源 这是例题的教学思路 也是策略教学的基本线索 第四步是回顾反思 积累假设体验 这里的回顾分两个层次进行 一是回顾例题 的解题过程 反思自己是怎样假设的 原来的问题通过假设变成怎样的问题 假设在 解决这道例题时起了什么作用 初步体会假设是解决问题的一种策略 二是回顾以前 的数学学习中曾经运用假设策略解决过哪些问题 进一步体验假设是一种重要且常用 的解决问题策略 我们都知道 感悟解题方法里的数学思想 是策略教学十分重要的 一个环节 能使例题的教学价值超越通常的解题 获得更有普遍意义的启示 通过说 策略 能够使 假设 替换 从潜在的 无意识的状态 变成清晰的 能主动使用 的解题资源 学生的策略的体会越深刻 策略意识就越强烈 配合例 1 的 练一练 让学生像例题那样进行假设与替换 把较复杂的问题转化 成较简单的问题 通过解答假设以后的问题 得到原来问题的答案 应该让学生先独 立解题 再交流解法以及形成解法的思考过程 以再认运用的解题策略 体会怎样假 设 怎样替换 练习十一第 1 3 题是配合例 1 的习题 第 1 题着重练习等量替换 因为运用假设 策略解决问题 经常要进行等量替换 第 1 小题用天平图表示 1 个菠萝与 2 个梨一 样重 1 个梨与 3 个桃一样重 问题是 1 个菠萝与几个桃一样重 学生说出这个问题的 答案并不难 甚至会列式计算 应该让他们说出解法里的替换思想和替换方法 第 2 小题同样要突出解题方法里的假设与替换 学生有了等量替换的意识 解答第 2 3 两题应该没有困难了 二 例 2 主动应用 假设 替换 策略解决问题 提高假设与替换的水平 学生在例 1 里初步认识的解决问题策略 会影响后面的解题 如果解决后面的问 题也运用同样的策略 那么这种策略会很自然地向新的问题情境迁移 并在解题活动 中得到加强和发展 例 2 呈现在 2 个同样的大盒和 5 个同样的小盒里装满球 正好是 100 个的问题情 境 每个大盒比每个小盒多装 8 个 求每个大盒和每个小盒各装多少个球 这题与例 1 比 有些相似 有点变化 稍难一些 教学安排与例 1 差不多 也是 理解题意 关 注数量关系 提出假设 引发替换活动 解答问题 感受假设思想 回顾反思 积 累假设体验 的过程 只是把 提出假设 引发替换活动 与 解答问题 感受假设 思想 连贯起来 一气呵成 因为学生在学习例 2 时 已经具有假设 替换的心向 在提出假设 实施替换的同时 解题方法也就随之形成了 教学应该尊重学生的现实 努力保持他们的思维连贯性 教学例 2 需要注意以下几点 一是突出实际问题里的两 个基本数量关系 即 2 个大盒里球的个数 5 个小盒里球的个数 100 1 个大盒里球的 个数 8 1 个小盒里球的个数 1 个小盒里球的个数 8 1 个大盒里球的个数 这些数量 关系式是对两个已知条件的理解 有助于形成假设与替换的思路 二是分别用两种假 设解题 可以先假设 7 个全是小盒 用小盒替换大盒 再假设 7 个全是大盒 用大盒 替换小盒 让学生在两种方法解题的过程中体会怎样用大盒替换小盒 怎样用小盒替 换大盒 并利用两种解法检验解题结果是否正确 三是处理好替换难点 无论用大盒 替换小盒 还是用小盒替换大盒 都是 一对一 的替换 即用 2 个大盒替换成 2 个 小盒 或用 5 个小盒替换成 5 个大盒 像这样的替换会引起球的总个数的变化 这就 构成了思维的难点 所以 教材在假设 7 个全是小盒以后 提醒学生注意 球的总数 会发生什么变化 帮助他们认识到 用小盒替换大盒 盒子里球的总数会减少 2 个 小盒替换 2 个大盒 球的总数减少 8 2 16 个 同样 在假设 7 个全是大盒以后 要提醒学生思考 球的总数又会怎样变化 帮助他们认识到 用大盒替换小盒 盒 子里球的总数会增多 5 个大盒替换 5 个小盒 球的总数增加 8 5 40 个 四是回 顾反思 不仅要针对例 2 的解答 还应包括例 1 的学习 让学生在两道例题的解答中 体验假设与替换的思想和操作方法 感受两题的假设哪些地方是一致的 哪些地方不 一样 从而获得像 辣椒 卡通所说的经验 配合例 2 的 练一练 第 1 题和例 2 很相似 学生解题困难不会太大 教材仍然 要求学生用两种假设与替换方法解题 通过填空 假设 5 个都是大瓶 装的油要比 18 千克多 千克 假设 5 个都是小瓶 装的油要比 18 千克少 千克 进一步体验 相差关系 的替换特点 准确把握替换所引起的油的总数的变化 练习十一第 5 题 用线段图给出数量关系 苹果树 桃树 梨树一共 260 棵 桃 树比苹果树多 20 棵 梨树比苹果树多 30 棵 求三种树各有多少棵 教材要求 假设 桃树 梨树都与