第七章第二节 空间几何表面积和体积

1 第七章第七章 第二节第二节 空间几何表面积和体积空间几何表面积和体积 题组一多面体的表面积 1 侧面都是直角三角形的正三棱锥 底面边长为 a 时 该三棱锥的表面积是 A a2 B a2 3 3 4 3 4 C a2 D a2 3 3 2 6 3 4 解析 设正三棱锥的侧棱长为 b 则由条件知 b2 a2 1 2 S表 a2 3 a2 a2 3 4 1 2 1 2 3 3 4 答案 A 2 2010 珠海模拟 已知几何体的三视图如图所示 它的表面积是 A 4 B 2 C 3 D 6 222 解析 由三视图可知此几何体为一底面为等腰直角三角形的直三棱柱 S表 S侧 2S底 1 1 1 2 1 1 3 2 1 22 答案 C 题组二多面体的体积 3 长方体三个面的面积分别为 2 6 和 9 则长方体的体积是 A 6 B 3 C 11 D 12 36 解析 设长方体的长 宽 高分别为 a b c 则有 ab 2 bc 6 ac 9 V 6 a2b2c22 6 93 答案 A 4 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切 若这个球的体积是 32 3 则这个三棱柱的体积是 2 A 96 B 16 C 24 D 48 3333 解析 由 R3 R 2 正三棱柱的高 h 4 设其底面边长为 a 4 3 32 3 则 a 2 a 4 1 3 3 23 V 4 2 4 48 3 433 答案 D 5 2009 浙江高考 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 cm3 解析 由三视图可知此几何体是由两块长 宽均为 3 cm 高为 1 cm 的长方体构成 故其体积为 2 3 3 1 18 cm3 答案 18 题组三旋转体的表面积 体积 6 2009 全国卷 设 OA 是球 O 的半径 M 是 OA 的中点 过 M 且与 OA 成 45 角的平 面截球 O 的表面得到圆 C 若圆 C 的面积等于 则球 O 的表面积等于 7 4 解析 设圆 C 的半径为 r 有 r2 得 r2 又设球的半径为 R 如图所示 有 7 4 7 4 OB R OC R CB r R 2 2 2 2 4 在 Rt OCB 中 有 OB 2 OC 2 CB 2 即 R2 R2 r2 R2 1 8 7 8 7 4 R2 2 S球 4 R2 8 答案 8 3 7 2009 江西高考 体积为 8 的一个正方体 其表面积与球 O 的表面积相等 则球 O 的 体积等于 解析 设正方体棱长为 a 则 a3 8 a 2 S正方体 S球 6 22 4 R2 R 6 V球 R3 3 4 3 4 3 6 8 6 答案 8 6 题组四空间几何体的体积表面积的综合 8 2010 含山模拟 如果三棱锥的三个侧面两两垂直 它们的面积分别为 6 cm2 4 cm2 3 cm2 那么它的外接球体积是 解析 依题意 设这个三棱锥的侧棱分别为 a b c 则有 ab 12 cm2 bc 8 cm2 ac 6 cm2 解得 a 3 cm b 4 cm c 2 cm 这个三棱锥的外接球就是以三棱 锥的三条侧棱为长 宽 高的长方体的外接球 所以外接球的半径为 cm 体积为 29 2 cm3 29 6 29 答案 cm3 29 29 6 9 如图所示 在斜三棱柱 ABC A1B1C1中 A1AC ACB AA1C 侧棱 BB1 2 6 与底面所成的角为 AA1 4 BC 4 求斜 33 三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V 解 在 Rt AA1C 中 AC AA1 tan AA1C 4 4 3 3 3 作 B1H 平面 ABC 垂足为 H 则 B1BH 3 在 Rt B1BH 中 B1H BB1 sin B1BH AA1 sin 4 6 33 3 2 4 V S ABC B1H 4 4 6 48 1 2 10 2009 宁夏 海南高考 如图 在三棱锥 P ABC 中 PAB 是等边三角形 PAC PBC 90 1 证明 AB PC 2 若 PC 4 且平面 PAC 平面 PBC 求三棱锥 P ABC 的体积 解 1 证明 因为 PAB 是等边三角形 PAC PBC 90 所以 Rt PBC Rt PAC 可得 AC BC 如图 取 AB 中点 D 连结 PD CD 则 PD AB CD AB 所以 AB 平面 PDC 所以 AB PC 2 作 BE PC 垂足为 E 连结 AE 因为 Rt PBC Rt PAC 所以 AE PC AE BE 由已知 平面 PAC 平面 PBC 故 AEB 90 因为 Rt AEB Rt PEB