广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三数学8月开学联考试题 理（含解析）

1 广东省广雅中学 执信 六中 深外四校广东省广雅中学 执信 六中 深外四校 20202020 届高三数学届高三数学 8 8 月开学月开学 联考试题联考试题 理 含解析 理 含解析 第第 i i 卷 选择题共卷 选择题共 6060 分 分 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 下列每小题所给选项只有一项符合题意 请将正确答分 下列每小题所给选项只有一项符合题意 请将正确答 案的序号填涂在答题卡上 案的序号填涂在答题卡上 1 已知全集为 集合 则元素个数为 r 1 0 1 2 3a 2 0 1 x bx x ab a 1b 2c 3d 4 答案 b 解析 分析 求出集合 利用交集的定义求出 即可得到元素个数 b ab ab 详解 由 可得 2 0 1 x bx x b 12 所以 即元素个数为 2 2 3ab ab 故答案选 b 点睛 本题考查分式不等式的解法以及集合交集的定义 属于基础题 2 若复数满足 则复数的共轭复数的模为 z 1 i13iz z a 1b c 2d 22 2 答案 b 解析 分析 首先求出复数 即可得到复数的共轭复数 利用复数模的计算公式 求得答案 zz 详解 由于 则 2 13i 1 3 2 22 1 1 1 1 1 i zi iii 所以复数的共轭复数 则 z1zi 22 112z 2 故答案选 b 点睛 本题考查复数四则运算 共轭复数的概念以及复数模的计算公式 属于基础题 3 某校有高一 高二 高三三个年级 其人数之比为 现用分层抽样的方法从总体中 2 2 1 抽取一个容量为 10 的样本 现从所抽取样本中选两人做问卷调查 至少有一个是高一学生 的概率为 a b c d 1 3 1 2 2 3 3 4 答案 c 解析 分析 根据分层抽样的定义计算出抽取的样本中高一学生的人数 分别计算出选两人做问卷调查的 基本事件数和所选取的两人中至少有一个是高一学生的基本事件个数 最后利用古典概型公 式计算即可 详解 由题可得抽取的 10 人中 高一有 4 人 高二有 4 人 高三有 2 人 所以从所抽取样本中选两人做问卷调查 基本事件总数为 2 10 45c 所抽取的两人中 至少有一个是高一学生的基本事件个数为 112 464 30c cc 所以从所抽取样本中选两人做问卷调查 至少有一个是高一学生的概率为 302 453 故答案选 c 点睛 本题考查概率的求法 考查分层抽样 古典概型 排列组合的知识 属于基础题 4 如图是 2018 年第一季度五省gdp情况图 则下列陈述中不正确的是 3 a 2018 年第一季度gdp增速由高到低排位第 5 的是浙江省 b 与 2017 年同期相比 各省 2018 年第一季度的gdp总量实现了增长 c 2017 年同期河南省的gdp总量不超过 4000 亿元 d 2018 年第一季度gdp总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有 1 个 答案 d 解析 分析 解决本题需要从统计图获取信息 由此关键是明确图表中数据的来源以及所表示的意义 依 据所示的实际意义获取正确的信息 详解 对于 a 从折线统计图可得 2018 年第一季度 gdp 增速由高到低排位依次为江苏 辽宁 山东 河南 浙江 故浙江省排在第五 对于 b 从折线统计图可得 与 2017 年同期相比 各省 2018 年第一季度的 gdp 总量实现了 增长率都为正值 所以与 2017 年同期相比 各省 2018 年第一季度的 gdp 总量实现了增长 对于 c 根据统计图可计算 2017 年同期河南省的 gdp 总量为 所 4067 4 3815 64000 1 066 以 2017 年同期河南省的 gdp 总量不超过 4000 亿元 对于 d 2018 年第一季度 gdp 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有两个 江苏 河南 综述只有 d 选项不正确 故答案选 d 4 点睛 本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用 读懂统计图 从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键 属于基础题 5 是双曲线右支上一点 直线 是双曲线的一条渐近线 在 上的射影 p 2 2 1 2 x cy lc pl 为 是双曲线的左焦点 则的最小值为 q 1 f c 1 pfpq a 1b c d 15 2 5 15 4 5 2 21 答案 d 解析 设双曲线的右焦点为 连接 则 c2 f 2 pf 12 2 2pfpqpfpq 为点到渐近线的距离 即的最 2 2d d2 3 0 f20 xy 3 1 3 1 pfpq 小值为 故选 d 2 21 点睛 本题考查双曲线的定义和渐近线方程 在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离 问题时 往往利用椭圆或双曲线的定义 将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦 点间的距离 6 已知函数 若 且 则的最小值 sin 3 f xx 12 0 x x 12 0f xf x 12 xx 为 a b c d 6 3 2 2 3 答案 d 解析 分析 先分析得到的最小值等于函数 f x 的绝对值最小的零点的 2 倍 再求函数的绝对值 12 xx 最小的零点即得解 5 详解 由题得等于函数的零点的 2 倍 12 xx 所以的最小值等于函数 f x 的绝对值最小的零点的 2 倍 12 xx 令 sin 0 3 f xx 所以 3 xkkz 所以 3 xkkz 所以绝对值最小的零点为 3 故的最小值为 12 xx 2 3 故选 d 点睛 本题主要考查正弦型函数的图像和性质 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 和分析推理能力 7 我国古代数学名著 九章算术 中有如下问题 今有器中米 不知其数 前人取半 中 人三分取一 后人四分取一 余米一斗五升 问 米几何 下图是解决该问题的程序框图 执行该程序框图 若输出的 单位 升 则输入的的值为 1 5s k a 4 5b 6c 7 5d 9 答案 b 解析 6 当 n 2 当 当 结束 则 2 k s 3 3 k ns 4 4 k ns 1 56 4 k k 8 函数的部分图象大致为 ln cos x yxx x a b c d 答案 a 解析 分析 根据函数的奇偶性 以及函数图像上的特殊点 对选项进行分析和排除 由此得出正确选项 详解 定义域为 ln cos x f xxx x 0 x x 故函数为奇函数 图像关于原点对称 排除两 ln cos x fxxxf x x b c 个选项 排除 d 选项 故选 a ln 0 f 点睛 本小题主要考查函数图像的判断 考查函数的奇偶性 属于基础题 9 在中 点满足 则 abc 1ca 2cb 2 3 acb m2cmcbca ma mb a 0b 2c d 4 2 3 7 答案 a 解析 分析 首先根据已知取基底 然后用基底表示和 最后代入进行数量积运算即 ca cb ma mb 可 详解 由题可得 2 ma cacmcacbcacbca 2 2mb cbcmcbcbcaca 所以 2 2 2 2ma mbcbcacacb caca 由于 1ca 2cb 2 3 acb 则 2 cos 1 2 cos1 3 cb cacb cacb ca 2 2 1caca 所以 2 2 2 2 2 0ma mbcb caca 故答案选 a 点睛 本题以三角形为背景 把平面向量的线性运算以及数量积运算巧妙的结合在一起 属于中档题 10 在棱长为 1 的正方体中 点关于平面的对称点为 则 1111 abcdabc d c1 bdc m 与平面所成角的正切值为 amabcd a b c d 2 2 22 3 答案 b 解析 分析 利用等体积法求得点到平面的距离为 连接 连接 可证平面 c1 bdc 3 31 ac ca1 ac 由于点关于平面的对称点为 则点在线段上 根据线段的比例 1 bdc c1 bdc mm 1 ac 8 关系可得 从而找出点的位置 过作的垂线交于 从而可得 1 2 3 cmca mmcaca m 平面 所以与平面所成角为 求出其正切值即可得到 mm abcdamabcdmam 答案 详解 由题可得 11 2bddcbc 由于 即 则 解得 11 c bdccdcb vv 1 1 11 33 bdcdbc shscc 2 1311 2 1 3432 h 所以点到平面的距离为 3 3 h c1 bdc 3 3 连接 连接 由于在正方体中 则平 1 ac ca1111 abcdabc d 1 1 dbac dbaa acaaa db 面 所以 同理可证 平面 得到 1 a ac 1 acdb 1 bc 11 abc 11 acbc 则可得 故平面 1 11 1 acdb acbc dbbcb 1 ac 1 bdc 由于点关于平面的对称点为 则点在线段上 c1 bdc mm 1 ac 因为点到平面的距离为 则 c1 bdc 3 3 2 3 3 cm 在正方体中 故 1111 abcdabc d 1 3ac 1 2 3 cmca 9 所以点为的三等分点 过作的垂线交于 m 1 ac mcaca m 则 1 mma a 1 22 33 mma a 12 33 amac 由于平面 则平面 1 a a abcdmm abcd 连接 则与平面所成角为 maamabcdmam 2 3 tan2 2 3 mm mam am 所以与平面所成角的正切值为 amabcd2 故答案选 b 点睛 本题考查线面角的正切值的求法 考查学生的空间想象能力 属于中档题 11 已知函数的图象在点处的切线为 若函数满足 f x 00 xy l yg x f x 其中为函数的定义域 当时 恒成立 xi i f x 0 xx 0 0fxg xxx 则称为函数的 转折点 已知函数在区间上存在一 0 x f x 2 1 2 2 x fxeaxx 0 1 个 转折点 则的取值范围是 a a b c d 0 e 1 e 1 e 答案 b 解析 分析 根据已知函数 求出切线方程 构造函数 求导 根据导数判断单调性 h xf xg x 找出其转折点 并讨论的取值范围 a 详解 由题可得 则在点处的切线的斜率 2 x fxeax 00 xy 0 00 2 x kfxeax 0 2 00 1 2 2 x yeaxx 所以函数的图象在点处的切线方程为 f x 00 xy 10 00 2 0000 1 2 2 2 xx yeaxxeaxxx 即切线 00 2 0000 1 2 2 2 xx l yg xeaxxxeaxx 令 h xf xg x 则 且 00 22 000 11 2 2 2 22 xxx h xeaxxeaxxxeaxx 0 0h x 且 00 00 2 2 xxxx h xeaxeaxeaxeax 0 0h x x h xea 1 当时 则在区间上单调递增 所以当 0a 0 x h xea h x 0 1 0 0 xx 当 则在区间上单调递减 0 0h xh x 0 1 xx 0 0h xh x h x 0 0 x 在上单调递增 0 0h xh x 0 1 x 0 0h xh x 所以当时 不满足题意 舍去 0 0 xx 0 0h x xx 2 当时 则在区间上单调递增 01a 0 x h xea 0 1x h x 0 1 所以当 当 则在区间 0 0 xx 0 0h xh x 0 1 xx 0 0h xh x h x 上单调递减 在上单调递增 所以当 0 0 x 0 0h xh x 0 1 x 0 0h xh x 时 不满足题意 舍去 0 0 xx 0 0h x xx 3 当 则在区间上单调递增 取 1a 10 x h xe 0 1x h x 0 1 0 0 x 则 所以在区间上单调递增 当 10 x h xex h x 0 1 0 0h xh x 时 恒成立 故为函数在区间 0 0 xx 0 0h x xx 0 0 x 2 1 2 2 x fxeaxx 上的一个 转折点 满足题意 0 1 4 当 令 解得 且 则在区间 1ae 0 x h xea lnxa 0ln1a h x 上单调递减 在上单调递增 取 故在上恒成立 0 lna ln 1a 0 lnxa 0h x 0 1 则在区间上单调递增 当时 则当 h x 0 1 0 0 xx 0 0h xh x 0 0h x xx 11 则 所以为函数 0 1 xx 0 0h xh x 0 0h x xx 0 lnxa 在区间上的一个 转折点 满足题意 2 1 2 2 x fxeaxx 0 1 5 当 则在区间上单调递减 取 ae 0 x h xee 0 1x h x 0 1 0 1x 则 所以在区间上单调递减 当 0 x h xeex h x 0 1 0 0h xh x 时 恒成立 故为函数在区间 0 1xx 0 0h x xx 0 1x 2 1 2 2 x fxeaxx 上的一个 转折点 满足题意 0 1 6 当时 则在区间上单调递减 所以 ae 0 x h xea 0 1x h x 0 1 当 当 则在区间 0 0 xx 0 0h xh x 0 1 xx 0 0h xh x h x 上单调递增 在上单调递减 0 0 x 0 0h xh x 0 1 x 0 0h xh x 所以当时 不满足题意 舍去 0 1 xx 0 0h x xx 综述所述 实数 的取值范围为 a 1 e 故答案选 b 点睛 本题主要根据导数求函数的切线方程和函数单调性 判断函数的转折点 属于难题 12 已知数列 1 1 2 1 2 4 1 2 4 8 1 2 4 8 16 其中第一项是 接 0 2 下来的两项是 再接下来的三项是 依此类推 若该数列前项和 0 2 1 2 0 2 1 2 2 2n 满足 是 2 的整数次幂 则满足条件的最小的为 n80n nn a 21b 91c 95d 10 答案 c 解析 分析 构造数列 使得 m b mn 0 1 2b 01 2 2 2b 012 3 2 2 2b 求出数列的前项和 根据题意可表示出原数列与的 0121 2 2 2 2m m b m b mnm 12 关系 以及原数列前和与数列的前项和的关系 讨论出满足条件的的最小值即可 n m b mn 详解 根据题意构造数列 使得 m b mn 0 1 2b 01 2 2 2b 012 3 2 2 2b 0121 2 2 2 2m m b 故 所以数列的前项和 1 1 21b 2 2 21b 3 3 21b 21 m m b m b m 1231231 2 1 2 21 21 21 21 222 2 22 1 2 m mmm m tmmm 令数列 1 1 2 1 2 4 1 2 4 8 1 2 4 8 16 为 n a 根据题意可得 则数列的 1 12 2 m m nmkk 0 km kn n a 前项和 n 0111 22 2 2221 kmk m n tm 0 km kn 所以要使数列前项和满足 则 则 故 n a nn80n 1 222180 mk m 6m 故 d 答案不对 1 21 2 m m nk 由于是 2 的整数次幂 则 则 则 n221 0 k m 236 k m 3k 当时 则 解得 4k 4 221 0m 13m 1 13 14 4 95 22 m m nk 故满足条件的最小的为 95 n 故答案选 c 点睛 本题考查数列的应用 等差数列与等比数列的前项和 考查学生的计算能力 属 n 于难题 第第 卷 共卷 共 9090 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每题小题 每题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 展开式中的系数为 6 2 1 11x x 2 x 答案 30 解析 13 分析 先将问题转化为二项式的系数问题 利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 6 1 x 项 令的指数分别等于 2 4 求出特定项的系数 1r x 详解 由题可得 展开式中的系数等于二项式展开式中的指 6 2 1 11x x 2 x 6 1 x x 数为 2 和 4 时的系数之和 由于二项式的通项公式为 6 1 x 16 rr r tc x 令 得展开式的的系数为 2r 6 1 x 2 x 2 6 15c 令 得展开式的的系数为 4r 6 1 x 4 x 4 6 15c 所以展开式中的系数 6 2 1 11x x 2 x15 1530 故答案为 30 点睛 本题考查利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项的问题 考查学生 的转化能力 属于基础题 14 若 则 5 24 3 sin 45 cos2 答案 24 25 解析 分析 由于 计算出 cos2cos 2 sin2 2sin cos 42444 即可得到答案 cos 4 详解 由于 则 又因为 5 24 44 3 sinsin 454 所以根据正弦函数的图象可得 3 44 14 则 2 4 cos 1 sin 445 由于 cos2cos 2 sin2 2sin cos 42444 所以 3424 cos22sin cos 2 445525 故答案为 24 25 点睛 本题考查三角函数值的求法 利用配凑法表示出 涉及诱导公式 二倍角公 cos2 式 同角三角函数关系等知识点 属于中档题 15 已知抛物线的焦点为为坐标原点 点为抛物线准线上相异 2 2 0 ypx p f o m n 的两点 且两点的纵坐标之积为 4 直线 分别交抛物线于 两点 若 m n omona b a b f三点共线 则 p 答案 2 解析 分析 设 分别求出 a 与 b 的坐标 结合a b f三点共线可得结 m 2 p m n 2 p n 果 详解 设 m 2 p m n 2 p n 则直线的方程为 代入抛物线方程可得 om x 2 p y m 2 2 2 p ypy m 解得 故 a 点坐标为 2 a p y m 32 2 2 pp mm 同理可得 b 点坐标为 32 2 2 pp nn 15 又 0 2 p f 32 2 22 ppp fa mm 32 2 22 ppp fb nn 又a b f三点共线 3232 22 2222 pppppp mnnm 由 22 22 11 11 pp n mmn mn4 即 22 11 44 pp mnnm 2 11 10 4 p mn 又 11 0 mn 2 10 4 p 0p 2p 故答案为 2 点睛 本题考查抛物线的简单性质 考查直线与抛物线位置关系的应用 考查转换能力与 计算能力 是中档题 16 如图所示 在平面四边形中 是以为顶点的等腰直 abcd1ab 2bc acdad 角三角形 则面积的最大值为 bcda 答案 2 1 2 解析 16 分析 设 则的面积 acb acb abc bcd 在中 运用余弦定理 表示出 根 1 2sin sin 244 sdcdc abc ac 据是以为顶点的等腰直角三角形 得到 代入面积公式 利用三角函数即可 acd ddc 求面积的最大值 bcd 详解 在中 设 abc acb acb abc 在中 由余弦定理 可得 abc 1ab 2bc 2 4113 cos 44 b b bb 由 当且仅当时取等号 即有 由于 33 22 3bb bb 3b 3 cos 2 0 则 0 6 利用余弦定理可得 化简得 222 2cosacbcabbc ab 2 54cosb 又因为是以为顶点的等腰直角三角形 则 acd d 22 15 2cos 22 dcb 在中 由正弦定理可得 即 则 abc sinsin bab sinsinb 2 sinsin 2 cd 由于 2222 cos 1 sin cdcd 222 sincdcd 22 1 sin 2 cd 2 51 2cossin 22 2 1 cos2cos2 2 2 1 2cos 2 17 即 2 cos 2cos 2 cd 所以的面积 bcd 1 2sin sin 244 sdcdc 22 sincos 22 dcdc 222 sin 2cos 222 dc 2222 sin 2cos 2222 11 sincos1 22 2 sin 1 24 当时 取最大值 1 所以的面积的最大值为 4 sin 4 bcd 2 1 2 故答案为 2 1 2 点睛 本题考查三角形面积的最值的求法 注意运用余弦定理和面积公式 同时考查不等 式的运用 属于难题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 设数列的前项和为 n a nn s 1 2a 1 2 nn asn n 1 求数列的通项公式 n a 2 令 求数列的前项和 求证 1 1 2 11 n n nn b aa n b n n t 1 2 n t 答案 1 2 见解析 2n n a n n 解析 分析 18 1 利用 进行化简即可得到数列的通项公式 注意 1nnn ass 2 nnn n a 检验是否满足 1n 2 由 1 可得 利用裂项相消求出前项和 即可证明 1 111 2 2121 n nn b n n t 1 2 n t 详解 1 当时 即 1 2 nn as n n 1n 21 2as 2 4a 当时 由 可得 2n 1 2 nn as 11nnnn aass 即 1 2 nn aa 2 2 22 nn n aa 2n 当时 满足上式 1n 1 1 22a 2n n a n n 2 由 1 得 1 1 1 2111 2 21212121 n n nn nn b 11 11111111 11 23372121221 n nnn t 1 2 n t 点睛 本题考查数列通项公式的求法以及利用裂项相消求数列前项和 考查学生的计算 n 能力 属于中档题 18 已知三棱锥的展开图如图二 其中四边形为边长等于的正方形 pabc abcd2 和均为正三角形 在三棱锥中 abe bcfapabc 19 1 证明 平面平面 pac abc 2 若是的中点 求二面角的余弦值 mpa pbcm 答案 1 见解析 2 5 33 33 解析 分析 1 设的中点为 连接 由边长关系得 从而可得平面 acobopopoob po 即可证明平面平面 abcpac abc 2 由 1 问可知平面 所以以 所在直线分别为轴 轴 po abcocobopx y 轴建立如图示空间直角坐标系 利用向量法求出平面和平面的法向量 再利用 zmbcpbc 二面角的公式即可得到二面角的余弦值 pbcm 详解 1 设的中点为 连接 acobopo 由题意 得 2papbpc 1po 1aoboco 因为在中 为的中点 所以 pac papc oacpoac 因为在中 pob 1po 1ob 2pb 所以 222 poobpb poob 因为 平面 所以平面 acobo acob abcpo abc 平面 所以平面平面 po pacpac abc 2 由 1 问可知平面 所以 于是以 po abcpoob pooc obac 所在直线分别为轴 轴 轴建立如图示空间直角坐标系 ocobopx y z 20 则 0 0 0o 1 0 0c 0 1 0b 1 0 0a 0 0 1p 11 0 22 m 1 1 0bc 1 0 1pc 31 0 22 mc 设平面的法向量为 则 mbc 111 mx y z r 由得 令 得 即 0 0 m bc m mc 11 11 0 30 xy xz 1 1x 1 1y 1 3z 1 1 3m 设平面的法向量为 由得 pbc 222 nxy z r 0 0 n bc n pc 令 得 即 22 22 0 0 xy xz 1x 1y 1z 1 1 1n 由图可知 二面角的余弦值为 55 33 cos 3333 n m n m nm pbcm 5 33 33 点睛 本题考查面面垂直的证明 以及空间向量法在二面角中的应用 考查学生推理论 证能力 运算求解能力 属于中档题 19 设斜率不为 0 的直线 与抛物线交于 两点 与椭圆交于 l 2 4xy ab 22 1 64 xy c 两点 记直线 的斜率分别为 doaobocod 1 k 2 k 3 k 4 k 1 若直线 过 证明 l 0 4 oaob 2 求证 的值与直线 的斜率的大小无关 12 34 kk kk l 答案 1 见解析 2 见解析 21 解析 分析 1 设直线方程为 设出 两点坐标 联立直线与抛物线方程 得 ab 4ykx ab 到和的值 从而用向量法证明即可 12 x x 12 y y 0oa ob 2 由直线的方程与抛物线方程联立 求得 得到 再 12 4xxk 1 2 4x xm 12 kk 由直线方程与椭圆方程联立 求得 得到 代入 34 2 6 23 km xx k 2 34 2 312 23 m x x k 34 kk 化简 即可得到结论 详解 解析 1 设直线方程为 ab 4ykx 设 两式相乘得 11 a x y 22 b xy 2 11 2 22 4 4 xy xy 2 1212 16x xy y 将直线方程代入抛物线 得 ab 2 4xy 2 4160 xkx 12 16x x 12 16y y 1212 0 x xy y 0oa ob oa ob 2 设直线 l ykxm 11 a x y 22 b xy 33 c xy 44 d xy 联立和 得 ykxm 2 4xy 2 440 xkxm 则 12 4xxk 1 2 4x xm 1212 12 12 44 yyxx kkk xx 联立和得 ykxm 22 1 64 xy 222 2363120kxkmxm 在此式可不求解的情况下 2 2222 64 23312046kmkmkm 34 2 6 23 km xx k 2 34 2 312 23 m x x k 2 34 34 34 22 343434 68 222 3124 m xxyymmkmk kkkkk xxxxx xmm 22 所以是一个与无关的值 2 12 34 4 8 kkm kk k 点睛 本题考查直线与椭圆以及抛物线的位置关系 考查韦达定的应用 考查学生转化的 思想 属于难题 20 某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎 但该种水果只能在 9 月份销售 且该种水果只 能当天食用口感最好 隔天食用口感较差 某超市每年 9 月份都销售该特产水果 每天计划 进货量相同 进货成本每公斤 8 元 销售价每公斤 12 元 当天未卖出的水果则转卖给水果 罐头厂 但每公斤只能卖到 5 元 根据往年销售经验 每天需求量与当地气温范围有一定关 系 如果气温不低于 30 度 需求量为 5000 公斤 如果气温位于 需求量为 3500 公 25 30 斤 如果气温低于 25 度 需求量为 2000 公斤 为了制定今年 9 月份订购计划 统计了前三 年 9 月份的气温范围数据 得下面的频数分布表 气温范围 15 20 20 25 25 30 30 35 35 40 天数 414362115 以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率 1 求今年 9 月份这种水果一天需求量 单位 公斤 的分布列和数学期望 x 2 设 9 月份一天销售特产水果的利润为 单位 元 当 9 月份这种水果一天的进货量 y 为 单位 公斤 为多少时 的数学期望达到最大值 最大值为多少 ny 答案 1 见解析 2 时 的数学期望达到最大值 最大值为 11900 3500n y 解析 分析 1 根据题意可知 9 月份这种水果一天的需求量的可能取值为 2000 3500 5000 公斤 x 分别求出相应的概率 由此能求出的分布列和数学期望 x 2 结合 1 的分布列 分别讨论当和时 利润的数 35005000n 20003500n 学期望 即可求出期望的最大值以及期望最大时的值 n 23 详解 解析 1 今年 9 月份这种水果一天的需求量的可能取值为 2000 3500 5000 x 公斤 4 14 20000 2 90 p x 36 35000 4 90 p x 21 15 50000 4 90 p x 于是的分布列为 x x200035005000 p0 20 40 4 的数学期望为 x 2000 0 23500 0 45000 0 44800ex 2 由题意知 这种水果一天的需求量至多为 5000 公斤 至少为 2000 公斤 因此只需要 考虑 20005000n 当时 35005000n 若气温不低于 30 度 则 4yn 若气温位于 25 30 则 3500 435003245003ynn 若气温低于 25 度 则 2000 420003140003ynn 此时 2211 42450031400031260011900 5555 eynnnn 当时 20003500n 若气温不低于 25 度 则 4yn 若气温低于 25 度 则 2000 420003140003ynn 此时 4113 4140003280011900 555 eynnn 所以时 的数学期望达到最大值 最大值为 11900 3500n y 24 点睛 本题考查分布列以及数学期望的求法 属于中档题 21 已知函数 2 1 2ln2 2 f xa xxxx 1 讨论的单调性 f x 2 若有两个不同的零点 求的取值范围 f x a 答案 1 见解析 2 1 0 ln2 1 a 解析 分析 1 求出函数的定义域以及导函数 根据导数与函数单调性的关系 分类讨论 0a 可求得的单调性 02a 2a 2a f x 2 由 1 求得在 时 函数的单调区间 讨论出零点的 0a 02a 2a 2a 个数 从而求得实数的取值范围 a 详解 解析 1 21 1220fxaxxaxx xx 单调递增 0a 0ax 0 2 x 0fx f x 单调递减 2 x 0fx f x 或 当 单调递减 02a 02fxx xa 0 xa 0fx f x 单调递增 单调递减 2xa 0fx f x 2 x 0fx f x 在单调递减 2a 21 20fxx x f x 0 或 当 单调递减 2a 02fxx xa 0 2x 0fx f x 单调递增 2 xa 0fx f x 单调递减 xa 0fx f x 25 2 由 1 得当时 在定义域上只有一个零点 0a 2 1 2 2 f xxx 由 1 可得 要使有两个零点 则 0a f x 20222ln220ffa 1 0 ln2 1 a 下证有两个零点 f x 取 满足 故 1 a xe 1111 11 220 2 aaaa fea eee a 1 20 a fef f x 在 有且只有一个零点 0 2 满足 故在有且只有一个零点 442ln40fa 240ff f x 2 当时 由 1 可得 02a 0 2x 故在无零 22 11 2ln221 ln0 22 f xf aa aaaaaaa f x 0 2 点 又因为在单调递减 f x 2 在至多一个零点 不满足条件 f x 0 当时 故在上无零点 2a 0 xa 222ln220f xfa f x 0 a 又因为在单调递减 在至多一个零点 不满足条件 f x a f x 0 满足条件的取值范围 a 1 0 ln2 1 a 点睛 本题考查导数的综合应用 考查利用导数