高中数学竞赛教材讲义 第十章 直线与圆的方程讲义

用心 爱心 专心 1 第十章第十章 直线与圆的方程直线与圆的方程 一 基础知识 1 解析几何的研究对象是曲线与方程 解析法的实质是用代数的方法研究几何 首先是通过 映射建立曲线与方程的关系 即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在 一一映射 则方程叫做这条曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 如 x2 y2 1 是以原点为 圆心的单位圆的方程 2 求曲线方程的一般步骤 1 建立适当的直角坐标系 2 写出满足条件的点的集合 3 用坐标表示条件 列出方程 4 化简方程并确定未知数的取值范围 5 证明适合方程的 解的对应点都在曲线上 且曲线上对应点都满足方程 实际应用常省略这一步 3 直线的倾斜角和斜率 直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 1800的正角 叫做它的 倾斜角 规定平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00 倾斜角的正切值 如果存在的话 叫做该直 线的斜率 根据直线上一点及斜率可求直线方程 4 直线方程的几种形式 1 一般式 Ax By C 0 2 点斜式 y y0 k x x0 3 斜 截式 y kx b 4 截距式 5 两点式 6 法线1 b y a x 12 1 12 1 yy yy xx xx 式方程 xcos ysin p 其中 为法线倾斜角 p 为原点到直线的距离 7 参数 式 其中 为该直线倾斜角 t 的几何意义是定点 P0 x0 y0 到动点 sin cos 0 0 tyy txx P x y 的有向线段的数量 线段的长度前添加正负号 若 P0P 方向向上则取正 否则取负 5 到角与夹角 若直线 l1 l2的斜率分别为 k1 k2 将 l1绕它们的交点逆时针旋转到与 l2 重合所转过的最小正角叫 l1到 l2的角 l1与 l2所成的角中不超过 900的正角叫两者的夹角 若记到角为 夹角为 则 tan tan 21 12 1kk kk 21 12 1kk kk 6 平行与垂直 若直线 l1与 l2的斜率分别为 k1 k2 且两者不重合 则 l1 l2的充要条件 是 k1 k2 l1l2的充要条件是 k1k2 1 7 两点 P1 x1 y1 与 P2 x2 y2 间的距离公式 P1P2 2 21 2 21 yyxx 8 点 P x0 y0 到直线 l Ax By C 0 的距离公式 22 00 BA CByAx d 9 直线系的方程 若已知两直线的方程是 l1 A1x B1y C1 0 与 l2 A2x B2y C2 0 则过 l1 l2交点的直线方程为 A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 由 l1与 l2组成的二次曲线方程为 A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 与 l2平行的直线方程为 A1x B1y C 0 1 CC 10 二元一次不等式表示的平面区域 若直线 l 方程为 Ax By C 0 若 B 0 则 Ax By C 0 表示的区域为 l 上方的部分 Ax By C0 其圆心为 半径为 2 2 ED 若点 P x0 y0 为圆上一点 则过点 P 的切线方程为FED4 2 1 22 0 22 00 00 F yy E xx Dyyxx 14 根轴 到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线 或它的一部分 这条直线叫两圆 的根轴 给定如下三个不同的圆 x2 y2 Dix Eiy Fi 0 i 1 2 3 则它们两两的根轴方程 分别为 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0 D2 D3 x E2 E3 y F2 F3 0 D3 D1 x E3 E1 y F3 F1 0 不难证明这三条直线交于一点或者互相平行 这就是著名的蒙日定理 二 方法与例题 1 坐标系的选取 建立坐标系应讲究简单 对称 以便使方程容易化简 例 1 在 ABC 中 AB AC A 900 过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E 求证 ADB CDE 证明 见图 10 1 以 A 为原点 AC 所在直线为 x 轴 建立直角坐标系 设点 B C 坐标分 别为 0 2a 2a 0 则点 D 坐标为 a 0 直线 BD 方程为 直线 BC 方1 2 a y a x 程为 x y 2a 设直线 BD 和 AE 的斜率分别为 k1 k2 则 k1 2 因为 BDAE 所以 k1k2 1 所以 所以直线 AE 方程为 由解得点 E 坐标为 2 1 2 kxy 2 1 ayx xy 2 2 1 aa 3 2 3 4 所以直线 DE 斜率为因为 k1 k3 0 2 3 4 3 2 3 aa a k 所以 BDC EDC 1800 即 BDA EDC 例 2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动 证明 三角形另两条边 截圆所得的弧所对的圆心角为 600 证明 以 A 为原点 平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴 建立直角坐标系见图 10 2 设 D 的半径等于 BC 边上的高 并且在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB AC 的交点分别 为 E F 设半径为 r 则直线 AB AC 的方程分别为 设 D 的方程为xy3 xy3 x m 2 y2 r2 设点 E F 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 分别 3 11 xy 22 3xy 用心 爱心 专心 3 代入 并消去 y 得 0 3 03 22 2 2 2 22 1 2 1 rxmxrxmx 所以 x1 x2是方程 4x2 2mx m2 r2 0 的两根 由韦达定理 所以 4 2 22 21 21 rm xx m xx EF 2 x1 x2 2 y1 y2 2 x1 x2 2 3 x1 x2 2 4 x1 x2 2 4x1x2 m2 m2 r2 r2 所以 EF r 所以 EDF 600 2 到角公式的使用 例 3 设双曲线 xy 1 的两支为 C1 C2 正 PQR 三顶点在此双曲线上 求证 P Q R 不可 能在双曲线的同一支上 证明 假设 P Q R 在同一支上 不妨设在右侧一支 C1上 并设 P Q R 三点的坐标分别 为且 0 x1 x2 1 在 1 区域里 求函数 f x y y ax 的最大值 最小值 解 1 由已知得或 032 322 41 x xy yx 0 32 232 41 x xy yx 解得点 x y 所在的平面区域如图 10 4 所示 其中各直线方程如图所示 AB y 2x 5 CD y 2x 1 AD x y 1 BC x y 4 2 f x y 是直线 l y ax k 在 y 轴上的截距 直线 l 与阴影相交 因为 a 1 所以它过 顶点 C 时 f x y 最大 C 点坐标为 3 7 于是 f x y 的最大值为 3a 7 如果 12 则 l 通过 B 3 1 时 f x y 取最小值为 3a 1 6 参数方程的应用 例 7 如图 10 5 所示 过原点引直线交圆 x2 y 1 2 1 于 Q 点 在该直线上取 P 点 使 P 到 直线 y 2 的距离等于 PQ 求 P 点的轨迹方程 解 设直线 OP 的参数方程为 t 参数 sin cos ty tx 代入已知圆的方程得 t2 t 2sin 0 所以 t 0 或 t 2sin 所以 OQ 2 sin 而 OP t 所以 PQ t 2sin 而 PM 2 tsin 所以 t 2sin 2 tsin 化简得 t 2 或 t 2 或 sin 1 当 t 2 时 轨迹方程为 x2 y2 4 当 sin 1 时 轨迹方程为 x 0 7 与圆有关的问题 例 8 点 A B C 依次在直线 l 上 且 AB ABC 过 C 作 l 的垂线 M 是这条垂线上的动点 以 A 为圆心 AB 为半径作圆 MT1与 MT2是这个圆的切线 确定 AT1T2垂心 的轨迹 解 见图 10 6 以 A 为原点 直线 AB 为 x 轴建立坐标系 H 为 OM 与圆的交点 N 为 T1T2 用心 爱心 专心 5 与 OM 的交点 记 BC 1 以 A 为圆心的圆方程为 x2 y2 16 连结 OT1 OT2 因为 OT2MT2 T1HMT2 所以 OT2 HT1 同理 OT1 HT2 又 OT1 OT2 所以 OT1HT2是菱形 所以 2ON OH 又因为 OMT1T2 OT1MT1 所以ON OM 设点 H 坐标为 x y 2 1 OT 点 M 坐标为 5 b 则点 N 坐标为 将坐标代入 ON OM 再由得 2 2 yx 2 1 OT x yb 5 5 16 5 16 2 2 2 yx 在 AB 上取点 K 使 AK AB 所求轨迹是以 K 为圆心 AK 为半径的圆 5 4 例 9 已知圆 x2 y2 1 和直线 y 2x m 相交于 A B 且 OA OB 与 x 轴正方向所成的角是 和 见图 10 7 求证 sin 是定值 证明 过 D 作 ODAB 于 D 则直线 OD 的倾斜角为 因为 ODAB 所以 2 2 1 2 tan 所以 所以 2 1 2 tan 5 4 2 tan1 2 tan2 sin 2 例 10 已知 O 是单位圆 正方形 ABCD 的一边 AB 是 O 的弦 试确定 OD 的最大值 最小 值 解 以单位圆的圆心为原点 AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系 设点 A B 的坐标分别为 A cos sin B cos sin 由题设 AD AB 2sin 这里不妨设 A 在 x 轴上方 则 0 由对称性可设点 D 在点 A 的右侧 否则将整个图形关于 y 轴作对称即可 从 而点 D 坐标为 cos 2sin sin 所以 OD 1cossin4sin4sin sin2 cos 222 4 2sin2233 2cos2 sin2 因为 所以22 4 2sin2222 1 2 12 OD 当时 OD max 1 当时 OD min 8 3 2 8 7 1 2 例 11 当 m 变化且 m 0 时 求证 圆 x 2m 1 2 y m 1 2 4m2的圆心在一条定直线上 并求 这一系列圆的公切线的方程 证明 由消去 m 得 a 2b 1 0 故这些圆的圆心在直线 x 2y 1 0 上 设公切线 1 12 mb ma 用心 爱心 专心 6 方程为 y kx b 则由相切有 2 m 对一切 m 0 成立 即 4k 3 2 1 1 12 k bmmk m2 2 2k 1 k b 1 m k b 1 2 0 对一切 m 0 成立 所以即当 k 不存在时直线为 x 1 所以公切线方程 y 和 01 034 bk k 4 7 4 3 b k 4 7 4 3 x x 1 三 基础训练题 1 已知两点 A 3 4 和 B 3 2 过点 P 2 1 的直线与线段 AB 有公共点 则该直线的倾斜 角的取值范围是 2 已知 0 则的取值范围是 sin2 cos3 y 3 三条直线 2x 3y 6 0 x y 2 3x y 2 0 围成一个三角形 当点 P x y 在此三角形边上 或内部运动时 2x y 的取值范围是 4 若三条直线 4x y 4 mx y 0 2x 3my 4 能围成三角形 则 m 的范围是 5 若 R 直线 2 x 1 y 2 3 2 0 与点 P 2 2 的距离为 d 比较大小 d 24 6 一圆经过 A 4 2 B 1 3 两点 且在两个坐标轴上的 四个截距的和为 14 则此圆的方 程为 7 自点 A 3 3 发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射 其反射光线所在的直线与圆 C x2 y2 4x 4y 7 0 相切 则光线 l 所在的方程为 8 D2 4F 且 E 0 是圆 x2 y2 Dx Ey F 0 与 x 轴相切的 条件 9 方程 x 1 表示的曲线是 2 1 1 y 10 已知点 M 到点 A 1 0 B a 2 及到 y 轴的距离都相等 若这样的点 M 恰好有一个 则 a 可能值的个数为 11 已知函数 S x y 变量 x y 满足条件 y2 2x 0 和 2x y 2 试求 S 的最大值和最小值 12 A B 是 x 轴正半轴上两点 OA a OB b a0 N x y x 1 2 y 2 a2 a 0 MN a 22 2xa 3 的最大值与最小值的和是 6 圆 x2 y2 x 6y m 0 与直线 x 2y 3 0 交于 P Q 两点 O 为原点 OPOQ 则 m 7 已知对于圆 x2 y 1 2 1 上任意一点 P x y 使 x y m 0 恒成立 m 范围是 8 当 a 为不等于 1 的任何实数时 圆 x2 2ax y2 2 a 2 y 2 0 均与直线 l 相切 则直线 l 的 方程为 9 在 ABC 中 三个内角 A B C 所对应的边分别为 a b c 若 lgsinA lgsinB lgsinC 成 等差数列 那么直线 xsin2A ysinA a 与直线 xsin2B ysinC c 的位置关系是 10 设 A x y 0 x 2 0 y 2 B x y x 10 y 2 y x 4 是坐标平面 xOy 上的点 集 C 所围成图形的面积是 ByxAyx yyxx 2 2 2211 2121 11 求圆 C1 x2 y2 2x 6y 9 0 与圆 C2 x2 y2 6x 2y 1 0 的公切线方程 12 设集合 L 直线 l 与直线 y 2x 相交 且以交点的横坐标为斜率 1 点 2 2 到 L 中的哪条直线的距离最小 2 设 a R 点 P 2 a 到 L 中的直线的距离的最小值设为 dmin 求 dmin的表达式 13 已知圆 C x2 y2 6x 8y 0 和 x 轴交于原点 O 和定点 A 点 B 是动点 且 OBA 900 OB 交 C 于 M AB 交 C 于 N 求 MN 的中点 P 的轨迹 五 联赛一试水平训练题 1 在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点 若 a 为无理数 过点 a 0 的所有 直线中 每条直线上至少存在两个有理点的直线有 条 2 等腰 ABC 的底边 BC 在直线 x y 0 上 顶点 A 2 3 如果它的一腰平行于直线 x 4y 2 0 则另一腰 AC 所在的直线方程为 3 若方程 2mx2 8 m2 xy 4my2 6 m x 3m 4 y 3 0 表示表示条互相垂直的直线 则 m 4 直线 x 7y 5 0 分圆 x2 y2 1 所成的两部分弧长之差的绝对值是 5 直线 y kx 1 与曲线 y 有交点 则 k 的取值范围是 2 2 1 x 6 经过点 A 0 5 且与直线 x 2y 0 2x y 0 都相切的圆方程为 7 在直角坐标平面上 同时满足条件 y 3x y x x y 100 的整点个数是 3 1 8 平面上的整点到直线的距离中的最小值是 5 4 3 5 xy 9 y lg 10 mx2 的定义域为 R 直线 y xsin arctanm 10 的倾斜角为 10 已知 f x x2 6x 5 满足的点 x y 构成图形的面积为 0 0 yfxf yfxf 11 已知在 ABC 边上作匀速运动的点 D E F 在 t 0 时分别从 A B C 出发 各以一定 速度向 B C A 前进 当时刻 t 1 时 分别到达 B C A 1 证明 运动过程中 DEF 的重心不变 用心 爱心 专心 8 2 当 DEF 面积取得最小值时 其值是 ABC 面积的多少倍 12 已知矩形 ABCD 点 C 4 4 点 A 在圆 O x2 y2 9 x 0 y 0 上移动 且 A