高中数学 函数图象法是解决数学问题的一利器教案 新人教A版必修1

1 函数图象法是解决数学问题的一利器函数图象法是解决数学问题的一利器 1 掌握描绘函数图象的两种基本方法 描点法和图象变换法 2 会利用函数图象 进一步研究函数的性质 解决方程 不等式中的问题 3 用数形结合的思想 分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题 4 掌握知识之间的联系 进一步培养观察 分析 归纳 概括和综合分析能力 5 掌握从给定函数图象中提取信息解决数学问题 以解析式表示的函数作图象的方法有两种 即列表描点法和图象变换法 掌握这两种 方法是本节的重点 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性 也应避免盲目地连点成线 要把表列在关 键处 要把线连在恰当处 这就要求对所要画图象的存在范围 大致特征 变化趋势等作 一个大概的研究 而这个研究要借助于函数性质 方程 不等式等理论和手段 是一个难 点 用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换 以及确定怎样 的变换 这也是个难点 1 1 作函数图象的一个基本方法 作函数图象的一个基本方法 基本初等函数草图法 例例 1 1 作出下列函数的图象 1 y x 2 x 1 2 y 10 lgx 分析 分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难 除去对其函数性质分析外 我们还应想到对已知解析式进行等价变形 解 解 1 当 x 2 时 即 x 2 0 时 当 x 2 时 即 x 2 0 时 这是分段函数 每段函数图象可根据二次函数图象作出 见图 6 2 当 x 1 时 lgx 0 y 10 lgx 10lgx x 当 0 x 1 时 lgx 0 所以 这是分段函数 每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出 见图 7 2 说明 说明 作不熟悉的函数图象 可以变形成基本函数再作图 但要注意变形过程是否等 价 要特别注意 x y 的变化范围 因此必须熟记基本函数的图象 例如 一次函数 反比 例函数 二次函数 指数函数 对数函数 及三角函数 反三角函数的图象 在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想 2 2 作函数图象的另一个基本方法 作函数图象的另一个基本方法 图象变换法 图象变换法 一个函数图象经过适当的变换 如平移 伸缩 对称 旋转等 得到另一个与之相关 的图象 这就是函数的图象变换 在高中 主要学习了三种图象变换 平移变换 伸缩变换 对称变换 1 平移变换 函数 y f x a a 0 的图象可以通过把函数 y f x 的图象向左 a 0 或向右 a 0 平移 a 个单位而得到 函数 y f x b b 0 的图象可以通过把函数 y f x 的图象向上 b 0 或向下 b 0 平移 b 个单位而得到 2 伸缩变换 函数 y Af x A 0 A 1 的图象可以通过把函数 y f x 的图象上各点的纵坐标伸长 A 1 或缩短 0 A 1 成原来的 A 倍 横坐标不变而得到 函数 y f x 0 1 的图象可以通过把函数 y f x 的图象上 而得到 3 对称变换 函数 y f x 的图象可以通过作函数 y f x 的图象关于 x 轴对称的图形而得到 函数 y f x 的图象可以通过作函数 y f x 的图象关于 y 轴对称的图形而得到 函数 y f x 的图象可以通过作函数 y f x 的图象关于原点对称的图形而得到 函数 y f 1 x 的图象可以通过作函数 y f x 的图象关于直线 y x 对称的图形而得到 函数 y f x 的图象可以通过作函数 y f x 在 y 轴右方的图象及其与 y 轴对称的图 形而得到 函数 y f x 的图象可以通过作函数 y f x 的图象 然后把在 x 轴下方的图象以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方 其余部分保持不变而得到 例例 2 2 已知 f x 199 4x 2 4x 3 x R 那么函数 f x 的最小值为 分析 分析 由 f x 199 的解析式求 f x 的解析式运算量较大 但这里我们注意到 y f x 100 与 y f x 其图象仅是左右平移关系 它们取得 求得 f x 的最小值即 f x 199 的最小值是 2 说明 说明 函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的 是 互相利用 关系 函 数图象在判断函数奇偶性 单调性 周期性及求最值等方面都有重要用途 例 3 k为何实数时 方程kxx 3 2 2 有四个互不相等的实数根 解 将原方程变形为21 2 2 kxx 设1 2 2 xxxfy 作出其图象 而2 ky是一条平行于x轴的直线 原方程有四个互不相等的实根 即直线与曲线有四 个不同的交点 由图象可知 120 k 即32 k 3 2005 年高考数学中的函数图象题 一 会识图 从试题给出的函数图象提取信息 3 例 4 辽宁卷 12 一给定函数 xfy 的图象在下列图中 并且对任意 1 0 1 a 由 关系式 1nn afa 得到的数列 n a满足 N 1 naa nn 则该函数的图象是 答案 A 解答 由 1nn afa nn aa 1 得 nn aaf 即xxf 而 f xx 是图 中正方形的对角线 由xxf 知曲线应在正方形的对角线的上方 从图象知故选 A 点拨 分析清楚函数值与自变量的关系 即可判断 二 会画函数草图 借助函数草图解题 例 5 北京理工科 13 对于函数 xf定义域中任意的 2121 xxxx 有如下结论 2121 xfxfxxf 2121 xfxfxxf 0 21 21 xx xfxf 2 2 2121 xfxfxx f 当xxflg 时 上述结论中正确结论的序号是 答案 详解 1 1 y x O 1 1 y x O 1 1 y x O 1 1 y x O 4 对于 可以用 lgf xx 直接验证即可 满足题意 对于 如右图所示 对于 lgf xx 图象上任意不同 两点 1122 A xf xB xf x 12 12 0 AB f xf x k xx 显然成立 可以用 1 0 0 ln10 fxx x 故 正 确 再有 AB 中点 C 1212 22 xxf xf x 过 C 作DCx 轴交 f x于 D 12 2 D xx y D 在 f x上有 1212 22 DC xxf xf x yfy 故 不正确 名师指津 本题主要考查了 lgf xx 函数运算性质以及直线斜率应用 题目较综合 例 6 辽宁卷 10 已知 xfy 是定义在 上的单调函数 实数 21 xx 1 1 21 xx 1 12 xx 若 则 0 0 10 1 答案 A 解答 数形结合法 当0 如图 所示 有 21 ffxfxf 当0 时 如图 所示 有 21 ffxfxf y x O 1 x 2 x y x O 1 x 2 x 图 图 5 故选 A 点拨 数形结合解决定比分点问题 例 7 湖南理 15 函数 y f x 的图象与直线 x a x b 及 x 轴所 围成图形的面积称为函数 f x 在 a b 上的面积 3 4 3 1 3sin 3 2 0 3sin 2 0 sin 上的面积为在函数 上的面积为在函数则上的面积为在已知函数 xyii xyiNn nn nxy 解析 本题是一道很好的理性思维信息开放性定义型题 能很 好地考查学生分析思维能力 如图 1 由题设可知 2 sin Nn n nxy 上的面积为在区间长度为半个周期函数 类 似地可得 3 4 3 2 0 3sin上的面积为长度也为半个周长在函数 xy 如图 2上的面积在函数 3 4 3 1 3sin xy等于 1 3sin xy与直线 y 1 围成的半个周长的面积与矩形的面 积之和 由第一问知1 3sin xy与直线 y 1 围成的半个周 长的面积为 3 2 矩形的面积为 1 33 4 从而知 上的面积在函数 3 4 3 1 3sin xy为 3 2 三 会借助函数图象平移 伸缩变换及互反函数图象的对称性解题 例 8 广东卷 9 在同一平面直角坐标系中 函数 xfy 和 xgy 的图像 关于直线xy 对称 现将 xgy 图像沿x轴向左平移 个单位 再沿y轴向上平移 个单位 所得的图像是由两条线段组成的折线 如图 所示 则函数 xf的表达式为 A 20 2 2 01 22 x x xx xfB 20 2 2 01 22 x x xx xf C 42 1 2 21 22 x x xx xfD 42 3 2 21 62 x x xx xf 答案 A 解 将图象沿y轴向下平移 个单位 再沿x轴向右平移 个单位得下图 A 从而可以得 y x o2 1 1 图 2 1 2 3 n x y 1 1 1 1 图 1 3 4 3 x y 1 1 1 1 图 2 6 到 xg的图象 故 32 42 20 1 2 xx x x xg 函数 xfy 和 xgy 的图像关于直线xy 对称 20 2 2 01 22 x x xx xf 故选 A 也可以用特殊点检验获得答案 例 9 天津理工科 8 要得到2cosyx 的图象 只需将函数2sin 2 4 yx 的图象 上所有的点的 A 横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 再向左平行移动 个单位长度 B 横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 再向右平行移动 个单位长度 C 横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再向左平行移动 个单位长度 D 横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再向右平行移动 个单位长度 分析 cosyx 的周期是2sin 2 4 yx 的周期的 2 倍 从周期的变化上知道横坐 标应该伸长 排除 A B 2sin 2 4 yx 的横坐标伸长 2 倍后变成了 1 2sin 4 yx 将2cosyx 化成正弦形式为 2 2sin 2 yx 根据口诀 左加由减 得 2 y由 1 y向右