各种类型的微分方程及其相应解法

各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级 交土 01 班 姓名 高云 学号 微分方程的类型有很多种 解题时先判断微分方程是哪种类型 可以帮助 我们更快解题 所以我们有必要归纳整理一下各类型 主要是一阶和二阶 的 微分方程及其相应解法 一 一阶微分方程的解法 1 可分离变量的方程 或dxxfdyyg ygxf dx dy 其特点是可以把变量 x 和 y 只分别在等式的两边 解法关键是把变量分离后两 边积分 例例 1 求微分方程的通解 ydydxyxydydx 2 解解 先合并及的各项 得dxdydxydyxy 1 1 2 设分离变量得 01 01 2 xydx x dy y y 1 1 1 2 两端积分得 dx x dy y y 1 1 1 2 ln 1 ln 1 ln 2 1 1 2 Cxy 于是 记则得到题设方程的通解 22 1 2 1 1 xCy 2 1 CC 1 1 22 xCy 2 齐次方程 1 x y f dx dy 2 a b 均不等于 0 cbyaxf dx dy 例例 2 求解微分方程 2 222 xyy dy yxyx dx 解解 原方程变形为 22 2 2 yxyx xyy dx dy 1 2 2 2 x y x y x y x y 令则方程化为 x y u dx du xu dx dy 1 2 2 2 uu uu dx du xu 分离变量得 1 1 2 21 2 1 2 1 uuuu x dx du 两边积分得 lnlnln 2 1 2ln 2 3 1ln Cxuuu 整理得 2 1 2 3 Cx uu u 所求微分方程的解为 2 32 xyCyxy 3 一阶线性微分方程 CdxexQeyxQyxp dx dydxxpdxxp 其通解为 例 3 xy dx dy xsin2 1 y 解 将方程改写为 x x y xdx dysin2 这里 故由求解公式得 x xp 2 x x xq sin sin 1sin 2 22 xdxxC x dxe x x Cey dx x dx x 22 sincos x x x x x C 由初值条件 得 1 y0 C 所以初值问题的解为 2 cossin x xxx y 例 4 设非负函数具有一阶导数 且满足 求函数 f x 1 2 00 x f xf t dtt ft dt f x 解 设 则 两边对求导 得 1 2 0 At ft dt 0 x f xf t dtA x 由已知 x fxf xf xCe 0 x fACAf xAe 又 则 11 22 2 00 4 1 t At ft dtt AedtA e 2 4 1 x f xe e 例 5 设 其中满足下列条件 xgxfxF f x g x 且 xgxf g xf x 00f x exgxf2 求满足的一阶方程 求的表达式 xF xF 解 1 由 xgxfxgxfxF 22 xfxg 2 2 xgxfxgxf 24 2 xFe x 可见 所满足的一阶微分方程为 xF 2 2 4 0 0 x F xF xe F 2 由通解公式有 4 2 2 2 CdxeeexF dx x dx 4 42 Cdxee xx 22xx eCe 将代入上式 得 于是0 0 0 0 gfF1 C 22 xx F xee 4 伯努利方程 内适当选定的点的坐标是区域 其中内恒成立 此时通解为在区域要条件是 方程的充分的全微分 其为全微分左边恰好是某一个函数 全微分方程 即可 其余同再令同除以 G G 0 5 3 00 1 00 yx CdyyxQdxyxPyxu x Q y P yxudyyxQdxyxp yuyyxQyxp dx dy x x y y nnn 二 二阶线性微分方程的解法 1 可降阶微分方程 次分型 求解方法 连续积n 1 xfy n 2 pypyyxfy 则型 求解方法 令 3 p dy dp dx dp yyyfy py 则型 求解方法 令 例 6 方程的通解为 03 yyx 解 3 30 y xyyy x 令 原方程变为 ypyp 3p p x 1 1 3 33 ln3lnln Cdpdp dxdxpxCpy pxpxx 所以 2 32 11 2 C dx C yC xx 2 1 0 2 xfyxQyxPy yxQyxPy 二阶非齐次线性方程 二阶齐次线性方程 3 二阶常系数齐次线性方程 sincos r 3 r2 1 0qp 0 212 1 21 2121 2 21 xCxCeyi exCCy eCeCyrr qprrqypyy x rx xrxr 则通解为一对共轭复根 则通解为 有两个相等的实根 则通解为 有两个不相等的实根 是常数 若特征方程 其中 例 7 解方程 022 yyy 解 的特征方程为022 yyy 2 1 2 2201rrri 则方程的通解为 12 cossin x yeCxCx 例 8 设 其中为连续函数 求 0 sin x f xxxt f t dt xf xf 解 原方程整理得 00 sin xx f xxxf t dttf t dt 两边求导 0 cos x fxxf t dt 再两边求导得 sin fxx