九年级数学上册 图形的相似小结复习 沪科版

1 图形的相似小结复习图形的相似小结复习 知识梳理 1 两个相似三角形 的比值叫做相似比 若 ABC A B C 它们的相似比为 k 则 A B C 与 ABC 的相似比为 当相似比为 时 这两个三角形全等 全等三角形是 三角形 在用 连接两个相似三角形时 应把 放在 的位置上 2 识别 判断 两个三角形相似可以利用 1 2 如果两个三角形中有两个 这两个三角形相似 3 如果两个三角形中有 且 这两个三角形相似 4 当两个三角形中有 这两个三角形相似 3 相似三角形的基本性质是 除此之外 相似三角形的对应 对应 对应 都等于相似比 对应周长的比等于 面积的比等于 4 三角形的中位线平行于第三边 并且等于这边的一半 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的 一半 5 利用相似可以把一个图形 或 保持形状不变 如果两个图形不仅相似 而且 的 连线都 像这样的相似叫做位似 位似是由 和 所决定的 6 两个位似图形的特点是 1 对应边 2 对应顶点 3 两个图形是 这三点也是识别位似的依据 7 画位似图形的步骤 1 确定 2 把位似中心与 连线 或延长 3 根据 在所连直线上截取相应线段 4 把所截各点用实线连接 8 平面内一点的位置可由一对 来准确描述它的位置 但由于所确定的 不同 该点的坐 标不同 选择的单位长度不同 不同 我们还可以利用 确定点的位置 利用方位角 时 不能只指明方位 同时必须指出 与测量点的距离 9 一个图形沿 x 轴 或平行于 x 轴的直线 平移 m 个单位 图形对应顶点 坐标不变 若向 平移 其 坐标加 m 若向 平移 其 坐标减 m 一个图形沿 y 轴 或平行于 y 轴的直线 平移 m 个单位 图形对应顶点 坐标不变 若向 平移 其 坐标 减 m 若向 平移 其 坐标加 m 10 关于 x 轴对称的两个图形对应顶点的坐标特点是 关于 y 轴对称的两个图形对应顶点的坐 标特点是 如果一个图形绕原点 O 旋转 180 得到新图形的对应顶点的横坐标与原图形对应 顶点的横坐标 纵坐标 典型例题 例 1 如图所示 D E 两点分别在 ABC 两条边上 且 DE 与 BC 不平行 请填上一个你认为适合的条件 使得 ADE ABC 2 分析 熟练掌握相似三角形的判定方法 进行尝试选择 解 结合判定方法补充条件为 1 B 或 2 C 或 ADAE ABAC 例 2 如图 已知 ABC 中 AB 8 BC 7 AC 6 点 D E 分别在 AB AC 上 如果以 A D E 为顶点 的三角形和 ABC 相似 且相似比为 试求 AD AE 的长 1 4 分析 不要忘了分类 注意本题中 AD 可以和 AB 对应 也可以和 AC 对应 解 1 当 ADE ABC 时 1 4 ADAE ABAC AB 8 AC 6 AD 2 AE 3 2 2 当 ADE ACB 时 1 4 ADAE ACAB AB 8 AC 6 AD AE 2 3 2 例 3 2006 年苏州 如图 梯形 ABCD 中 AB CD 且 AB 2CD E F 分别是 AB BC 的中点 EF 与 BD 相交于点 M 1 求证 EDM FBM 2 若 DB 9 求 BM 分析 由条件易证得四边形 CBED 是平行四边形 利用对应边互相平行可证得三角形相似 再根据对应边 的比相等进行计算 证明 1 E 是 AB 的中点 AB 2EB AB 2CD CD EB 又 AB CD 四边形 CBED 是平行四边形 CB ED EDB DBF DEM BFM 3 DEM BFM 2 DEM BFM DMDE BMBF F 是 BC 的中点 DE 2BF DM 2BM BM DB 9 3 1 3 1 3 例 4 某社区拟筹资金 2000 元 计划在一块上 下底分别是 10 米 20 米的梯形空地上种植花木 如图 所示 他们想在地带种植单价为 10 元 米 2的太阳花 当 地带种满花后 已经BMCAMD 和AMD 花了 500 元 请你预算一下 若继续在地带种植同样的太阳花 资金是否够用 并说明理由 BMC 分析 可以通过面积大小的对比计算一下 若继续在地带种同种太阳花所需资金是否超过 2000BMC 元即可 解 梯形 ABCD 中 AD BC AMD BMD AD 10 BC 20 4 1 20 10 2 BMC AMD S S 22 200 5010500mSmS BMCAMD 还需要资金 200 10 2000 元 而剩余资金为 2000 500 1500 2000 所以资金不够用 例 5 两个全等的含 角的三角板和三角板如图所示放置 三点在一条30 60 ADEABCEAC 直线上 连结 取的中点 连结 试判断的形状 并说明理由 BDBDMMEMCEMC 分析 当梯形中有腰的中点时 常常考虑再取另一腰的中点构造梯形中位线去解决问题 4 解 的形状是等腰直角三角形 EMC 理由 取 CE 的中点 N 连结 MN M 是 BD 的中点 MN DE MN DE BC 1 2 DEA 90O MN EC ME MC DE AC AE BC MN AC AE EC 1 2 1 2 是直角三角形 EMC 即的形状是等腰直角三角形 EMC 例 6 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为 3 5cm 3 5cm 放映的荧屏的规格为 2m 2m 若放映机的光源距胶片 20cm 时 问荧屏应拉在离镜头多远的地方 放映的图象刚好布满整个荧 屏 解析 胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的 镜头就相当于位似中心 因此本题可以转化为位似问题 解答 位似图形是特殊位置上的相似图形 因此位似图形具有相似图形的所有性质 设荧屏距镜头为 xcm 由题意可得 解得 cm 即 m 203 5 200 x 8000 7 x 80 7 x 答 荧屏应拉在离镜头m 的地方 放映的图象刚好布满整个荧屏 80 7 例 7 下列说法中不正确的是 A 位似图形一定是相似图形 B 相似图形不一定是位似图形 C 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 D 位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行 分析 本题考查了位似图形的性质及相似图形与位似图形的关系 A B C 正确 因为一对位似对应点 与位似中心共线 所以 D 错误 例 8 在 AB 30m AD 20m 的矩形 ABCD 的花坛四周修筑小路 1 如果四周的小路的宽均相等 如图 1 那么小路四周所围成的矩形 A B C D 和矩形 ABCD 相 似吗 请说明理由 2 如果相对着的两条小路的宽均相等 如图 2 试问小路的宽 x 与 y 的比值为多少时 能使小路四 周所围成的矩形 A B C D 和矩形 ABCD 相似 请说明理由 5 分析 因为矩形每个角都为 90 所以判断矩形 A B C D 和矩形 ABCD 是否相似关键在它们的长和 宽之比是否相等 解 当 x 0 时 30302 20202 xA BA D xABAD 故矩形 A B C D 和矩形 ABCD 不相似 当时 是矩形 A B C D 和矩形 ABCD 相似 A BA D ABAD 所以 解得 30302 20202 y x x y 2 3 例 9 2006 年德州市 如图所示 在 ABC 中 AB AC 1 点 D E 在直线 BC 上运动 设 BD x CE y 1 如果 BAC 30 DAE 105 试确定 y 与 x 之间的函数关系式 2 如果 BAC 的度数为 DAE 的度数为 当 满足怎样的关系式时 1 中 y 与 x 之间 的函数关系式还成立 试说明理由 分析 确定两线段间的函数关系 可利用线段成比例 找相等关系转化为函数关系 解 在 ABC 中 AB AC 1 BAC 30 ABC ACB 75 ABD ACE 105 又 DAE 105 DAB CAE 75 又 DAB ADB ABC 75 CAE ADB ADB EAC y 1 1 ABBDx ECACy 即 1 x 当 满足 90 y 仍成立 2 1 x 此时 DAB CAE DAB ADB CAE ADB 又 ABD ACE ADB EAC y 1 x 例 10 阅读下面的短文并回答下列问题 6 我们把相似形的概念推广到空间 如果两个几何体大小不一定相等 但形状完全相同 就把它们叫做相 似体 如图 甲 乙是两个不同的正方体 正方体都是相似体 它们的一切对应线段之比都等于相似比 a b 设 S甲 S乙 分别表示这两个立方体的表面积 则 又设 V甲 V乙 分别表 2 2 2 6 6 b a b a S S 乙 甲 示这两个立方体的体积 则 3 3 3 b a b a V V 乙 甲 1 下列几何体中 一定属于相似体的是 A 两个球体B 两个圆锥体C 两个圆柱体D 两个长方体 2 请归纳出相似体的三条主要性质 相似体的一切对应线段 或弧 长度的比等于 相似体表面积的比等于 相似体体积的比等于 3 假定在完全正常发育的条件下 不同时期的同一个人的人体是相似体 一个小朋友上幼儿园时身高 为 1 1 米 体重为 18 千克 到了初三时 身高为 1 65 米 问他的体重是多少 不考虑不同时期人体平均 密度的变化 分析 1 球面上任一点到球心的距离都等于半径 球的表面积与半径的平方成正比 球的体积与半径 的立方成正比 且球的三视图是全等的圆 故球体一定是相似体 2 从题目的内容看 两个相似体的 相似比为 a b 则表面积的比是相似比的平方 体积比是相似比的立方 3 人体的体重与体积和密度 有关 不考虑密度的情况下 体重与体积成正比 体积的比等于相似比 人体身高的比 的立方 解 1 A 2 相似比 相似比的平方 相似比的立方 3 设他的体重是 xkg 则根据题意得 得 x 60 75 kg 3 1 65 181 1 x 赏析 将 相似 的概念从平面扩展到空间后 情况会发生什么变化呢 实际上这也不是个很复杂的问题 因为阅读材料中明确地告诉我们 相似体的 一切对应线段之比都等于相似比 重要的信息它就明摆在 那儿 就看你能否收集到它 并加以分析处理 从而用以解决问题 模拟试题 答题时间 30 分钟 1 如图所示 在梯形 ABCD 中 AB CD 中位线 EF 交对角线 AC BD 于 M N 两点 若 EF 18cm MN 8cm 则 AB 的长是 A 10cm B 13cm C 20cm D 26cm 2 如图所示 AB CD AE FD AE FD 分别交 BC 于点 G H 则图中共有相似三角形 7 A 4 对 B 5 对C 6 对D 7 对 3 如图 电灯 P 在横杆 AB 的正上方 AB 在灯光下的影长为 CD AB CD AB 2m CD 5m 点 P 到 CD 的距离是 3m 则点 P 到 AB 的距离是 A 56610 6753 mBmCmDm 4 如图 把 PQR 沿着 PQ 的方向平移到 P Q R 的位置 它们重叠部分的面积是 PQR 面积的一半 若 PQ 则此三角形移动的距离 PP 是 2 A B C 1 D 1 1 2 2 2 2 5 如图 小明想用皮尺测量池塘 A B 之间的距离 但现在利用皮尺无法直接测量到这一距离 学习了数 学的有关知识后 他想出了一个主意 先在地上取一个可以直接到达 A B 两点的点 O 连接 OA OB 分 别在 OA OB 上取中点 C D 连接 CD 并测得 CD a 由此他就知道了 AB 间的距离是 A a 1 2 B 2a C aD 3a 6 如图 已知 ABC DBE AB 6 DB 8 则 S ABC S DBE 7 由三角形三条中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的 8 如图 ABC 中 BAC 120 AB AC BC 4 请你建立适当的直角坐标系 并写出 A B C 各点 的坐标 8 9 某市有 A B C D 四个大型超市 分别位于一条东西走向的平安大路两侧 请建立适当的直 角坐标 系并写出四个超市相应的坐标 10 方格纸中的每个小方格都是边长为 1 的正方形 我们把以格点间连线为边的三角形称为 格点三角 形 图中的 ABC 是格点三角形 在建立平面直角坐标系后 点 B 的坐标为 1 1 1 把 ABC 向左平移 8 格后得到 A1B1C1 画出 A1B1C1的图形并写出点 B1的坐标 2 把 ABC 绕点 C 顺时针旋转 90 后得到 A2B2C 画出 A2B2C 的图形并写出点 B2的坐标 3 把 ABC 以点 A 为位似中心放大 使放大前后对应边长的比为 1 2 画出 AB3C3的图形 11 如图 李华晚上在路灯下散步 已知李华的身高 AB h 灯柱的高 OP O P L 两灯柱之间的 距离 OO m 1 若李华距灯柱 OP 的水平距离 OA a 求他的影子 AC 的长 2 若李华在两路灯之间行走 则他前后的两个影子的长度之和 DA AC 是否是定值 请说明理由 9 试题答案 1 D 点拨 AB 2MF MF MN NF 则 NF EF MN 2 5cm MF 13cm AB 26cm 2 C 点拨 本题考查对相似三角形的判定和识图能力 由已知 BFH BAG BFH CDH BFH CEG BAG CEG BAG CDH GCE HCD 共 6 对 3 C 4 D 点拨 本题涉及平移与相似三角形的性质 平移后重叠三角形与 PQR