2013届高考数学一轮复习 第25讲 平面向量的概念及运算精品学案

1 20132013 年普通高考数学科一轮复习精品学案年普通高考数学科一轮复习精品学案 第第 2525 讲讲 平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算 一 课标要求 一 课标要求 1 平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例 了解向量的实际背景 理解平面向量和向量相等的含义 理解向量的几何表示 2 向量的线性运算 通过实例 掌握向量加 减法的运算 并理解其几何意义 通过实例 掌握向量数乘的运算 并理解其几何意义 以及两个向量共线的含义 了解向量的线性运算性质及其几何意义 3 平面向量的基本定理及坐标表示 了解平面向量的基本定理及其意义 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 会用坐标表示平面向量的加 减与数乘运算 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二 命题走向二 命题走向 本讲内容属于平面向量的基础性内容 与平面向量的数量积比较出题量较小 以选择 题 填空题考察本章的基本概念和性质 重点考察向量的概念 向量的几何表示 向量的 加减法 实数与向量的积 两个向量共线的充要条件 向量的坐标运算等 此类题难度不 大 分值 5 9 分 预测 2013 年高考 1 题型可能为 1 道选择题或 1 道填空题 2 出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量 借助基向量表达交点位置 或借助向量的坐标形式表达共线等问题 三 要点精讲三 要点精讲 1 向量的概念 向量 既有大小又有方向的量 向量一般用 来表示 或用有向线段的起点与终点cba 的大写字母表示 如 几何表示法 坐标表示法 向量AB AB a yxjyi xa 的大小即向量的模 长度 记作 即向量的大小 记作 AB a 向量不能比较大小 但向量的模可以比较大小 零向量 长度为 0 的向量 记为 其方向是任意的 与任意向量平行零向量0 0 0 由于的方向是任意的 且规定平行于任何向量 故在有关向量a 0 a 0 0 平行 共线 的问题中务必看清楚是否有 非零向量 这个条件 注意与 0 的区别 单位向量 模为 1 个单位长度的向量 向量为单位向量 1 0 a 0 a 平行向量 共线向量 2 方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以移到同一直线上 方向相同或 相反的向量 称为平行向量 记作 由于向量可以进行任意的平移 即自由向量 a b 平行向量总可以平移到同一直线上 故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量 只有大小 方向两个要素 起点可以任意选取 现在 必须区分清楚共线向量中的 共线 与几何中的 共线 的含义 要理解好平行向量中 的 平行 与几何中的 平行 是不一样的 相等向量 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合 记为 大小相等 ba 方向相同 2211 yxyx 21 21 yy xx 2 向量的运算 1 向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设 则 ABa BCb a b ABBC AC 规定 1 aaa 00 2 向量加法满足交换律与结合律 向量加法的 三角形法则 与 平行四边形法则 1 用平行四边形法则时 两个已知向量是要共始点的 和向量是始点与已知向量的 始点重合的那条对角线 而差向量是另一条对角线 方向是从减向量指向被减向量 2 三角形法则的特点是 首尾相接 由第一个向量的起点指向最后一个向量的 终点的有向线段就表示这些向量的和 差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时 用平行四边形法则 当两向量是首尾连接时 用三角形法 则 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加 但这时必须 首尾相连 ABBCCDPQQRAR 2 向量的减法 相反向量 与长度相等 方向相反的向量 叫做的相反向量 a a 记作 零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有 i a a a ii iii 若 是互为相反向量 则 a a a a 0 a b a b b a a b 0 向量减法 向量加上的相反向量叫做与的差 a b a b 记作 求两个向量差的运算 叫做向量的减法 baba 3 作图法 可以表示为从的终点指向的终点的向量 有共同起点 ba b a a b 3 实数与向量的积 实数 与向量的积是一个向量 记作 它的长度与方向规定如下 a a aa 当时 的方向与的方向相同 当时 的方向与的方向0 a a 0 a a 相反 当时 方向是任意的 0 0 a 数乘向量满足交换律 结合律与分配律 3 两个向量共线定理 向量与非零向量共线有且只有一个实数 使得 b a b a 4 平面向量的基本定理 如果是一个平面内的两个不共线向量 那么对这一平面内的任一向量 有且只 21 e e a 有一对实数使 其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向 21 2211 eea 21 e e 量的一组基底 5 平面向量的坐标表示 1 平面向量的坐标表示 在直角坐标系中 分别取与 x 轴 y 轴方向相同的两个单 位向量作为基底由平面向量的基本定理知 该平面内的任一向量可表示成 i j a 由于与数对 x y 是一一对应的 因此把 x y 叫做向量的坐标 记作axiyj a a x y 其中 x 叫作在 x 轴上的坐标 y 叫做在 y 轴上的坐标 a a 规定 1 相等的向量坐标相同 坐标相同的向量是相等的向量 2 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点 终点的具体位置无关 只与其相对 位置有关系 2 平面向量的坐标运算 若 则 1122 ax ybxy 1212 abxxyy 若 则 2211 yxByxA 2121 ABxx yy 若 x y 则 x y a a 若 则 1122 ax ybxy 1221 0abx yx y 四 典例解析四 典例解析 题型 1 平面向量的概念 例 1 1 给出下列命题 若 则 a b a b 4 若A B C D是不共线的四点 则是四边形ABCD为平行四边形的充要ABDC 条件 若 则 a b b c a c 的充要条件是 且 a b a b a b 若 则 a b b c a c 其中正确的序号是 2 设为单位向量 1 若为平面内的某个向量 则 2 若与 0aaaa0aa a a0平行 则 3 若与平行且 1 则 上述命题中 假命题aa 0aa0aaa0a 个数是 A 0B 1C 2D 3 解析 1 不正确 两个向量的长度相等 但它们的方向不一定相同 正确 且 ABDC ABDC ABDC 又 A B C D是不共线的四点 四边形 ABCD为平行四边形 反之 若四边形 ABCD为平行四边形 则 且 ABDC ABDC 因此 ABDC 正确 的长度相等且方向相同 a b a b 又 的长度相等且方向相同 b c b c 的长度相等且方向相同 故 a c a c 不正确 当 且方向相反时 即使 也不能得到 故 a b a b a b a b 且 不是 的充要条件 而是必要不充分条件 a b a b 不正确 考虑 这种特殊情况 b 0 综上所述 正确命题的序号是 点评 本例主要复习向量的基本概念 向量的基本概念较多 因而容易遗忘 为此 复习时一方面要构建良好的知识结构 另一方面要善于与物理中 生活中的模型进行类比 和联想 2 向量是既有大小又有方向的量 与 模相同 但方向不一定相同 故aa 0a 1 是假命题 若与平行 则与方向有两种情况 一是同向二是反向 反向时a 0aa0a 故 2 3 也是假命题 综上所述 答案选 D aa 0a 5 点评 向量的概念较多 且容易混淆 故在学习中要分清 理解各概念的实质 注意 区分共线向量 平行向量 同向向量等概念 题型 2 平面向量的运算法则 例 2 1 如图所示 已知正六边形ABCDEF O是它的中心 若 试BA a BC b 用 将向量 表示出来 a b OE BF BD FD 2 06 上海理 13 如图 在平行四边形 ABCD 中 下列结论中错误的是 A B C D AB DC AD AB AC AB AD BD AD CB 0 3 06 广东 4 如图 1 所示 D 是 ABC 的边 AB 上的 中点 则向量 CD A B BABC 2 1 BABC 2 1 C D BABC 2 1 BABC 2 1 1 解析 根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则 用向量 来表a b 示其他向量 只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可 因为六边形ABCDEF是正六边形 所以它的中心O及顶点A B C四点构成平行四边形 ABCO 所以 BABCBAAOBO BO a b OE BO a b 由于A B O F四点也构成平行四边形ABOF 所以 2 BF BO OF BO BA a b a a b 同样在平行四边形 BCDO中 BD BCCD BCBO b a b 2 a b FD BCBA b a 点评 其实在以A B C D E F及O七点中 任两点为起点和终点 均可用 a 表示 且可用规定其中任两个向量为 另外任取两点为起点和终点 也可用 b a b a 表示 b 2 C 3 故选 A BABCBDCBCD 2 1 例 3 设A B C D O是平面上的任意五点 试化简 ABBCCD DBACBD OAOCOBCO b a O F E DC B A 6 解析 原式 ABBCCDACCDAD 原式 0DBBDACACAC 原式 0OBOAOCCOABOCCOABAB 例 4 设为未知向量 为已知向量 解方程 2 5 3 4 3 0 x a b x a x b 2 1 a b 解析 原方程可化为 2 3 5 4 3 0 x x a 2 1 a b b x 2 9 a b 点评 平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则 求解时兼顾到向 量的性质 题型 3 平面向量的坐标及运算 例 5 已知中 A 2 1 B 3 2 C 3 1 BC 边上的高为 AD 求 ABC AD 解析 设 D x y 则 2 1 3 2 3ADxyBDxyBCb ADBC BDBC 得 02633 01326 yx yx 1 1 y x 所以 1 2AD 例 6 已知点 试用向量方法求直线和 为坐标原点 6 2 4 4 0 4 CBAACOBO 交点的坐标 P 解析 设 则 P x y 4 OPx yAPxy 因为是与的交点 所以在直线上 也在直线上 PACOBPACOB 即得 由点得 OPOB APAC 6 2 4 4 0 4 CBA 2 6 4 4 ACOB 得方程组 解之得 6 4 20 440 xy xy 3 3 x y 故直线与的交点的坐标为 ACOBP 3 3 题型 4 平面向量的性质 例 7 平面内给定三个向量 回答下列问题 3 2 1 2 4 1abc 1 求满足的实数 m n ambnc 2 若 求实数 k 2akcba 3 若满足 且 求 d dcab 5dc d 7 解析 1 由题意得 所以 得 1 42 12 3nm 22 34 nm nm 9 8 9 5 n m 2 34 2 25 2akckkba 13 16 025432 kkk 3 4 1 2 4dcxyab 由题意得 得或 514 01244 22 yx yx 1 3 y x 3 5 y x 例 8 已知 1 2 0 1 ba 1 求 3 ba 2 当为何实数时 与平行 平行时它们是同向还是反向 kk a b ba 3 解析 1 因为 1 2 0 1 ba 所以3 7 3 ab 则 22 3 7358ab 2 k a b 2 1 k ba 3 7 3 因为与平行 所以即得 k a b ba 3 3 2 70k 1 3 k 此时 则 k a b 7 2 1 1 3 k ba 3 7 3 ba 3 3 kab 即此时向量与方向相反 ba 3 kab 点评 上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现 重点掌握平面 向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法 题型 5 共线向量定理及平面向量基本定理 例 9 平面直角坐标系中 O为坐标原点 已知两点A 3 1 B 1 3 若点 C满足 其中 R 且 1 则点C的轨迹方程为 OBOAOC A 3x 2y 11 0 B x 1 2 y 2 2 5 C 2x y 0 D x 2y 5 0 解法一 设 则 yxC 3 1 1 3OCx yOAOB 由得 OCOAOB 3 33 3 yx 8 于是 先消去 由得 1 3 3 y x 1 23 14 y x 再消去得 所以选取 D 052 yx 解法二 由平面向量共线定理 当 时 A B C 共线 OCOAOB 1 因此 点 C 的轨迹为直线 AB 由两点式直线方程得即选 D 052 yx 点评 熟练运用向量的加法 减法 实数与向量的积的坐标运算法则进行运算 两个 向量平行的坐标表示 运用向量的坐标表示 使向量的运算完全代数化 将数与形有机的 结合 例 10 1 已知 1 0 点C在 AOB内 且OAOB3OBOA AOC 30 设 m n m n R R 则等于 OCOAOB n m A B 3 C D 3 1 3 3 3 2 如图 OM AB 点 P 由射线OM 线段OB及 AB的延长线围成的阴影区域内 不含边界 且 则实数对 x y 可以是 OByOAxOP A B 4 3 4 1 3 2 3 2 C D 4 3 4 1 5 7 5 1 解析 1 B 2 C 题型 6 平面向量综合问题 例 11 已知向量与的对应关系用表示 ux y 2 vyyx vf u 1 证明 对于任意向量及常数 m n 恒有成立 a b f manbmf anf b 2 设 求向量及的坐标 1 1 1 0 ab f a f b 3 求使 p q 为常数 的向量的坐标 f cp q c 解析 1 设 则 1212 aa abb b 1122 manbmanb manb 故 222211 22 f manbmanbmanbmanb A B O M 图 9 2 2 122122 bbbnaaam f manbmf anf b 2 由已知得 1 1 0 1 f a f b 3 设 x y 则 c 2 f cyyxp q y p x 2p q 即 2P q p c 例 12 求证 起点相同的三个非零向量 3 2的终点在同一条直线上 a b a