2011年高考试题——数学文(海南卷)解析版

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 海南卷 数学 文 试题解析 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 4 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 卷 注意事项 1 答题前 考生在答题卡上务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号 填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3 第 卷共 l2 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 已知集合 0 1 2 3 4 1 3 5 MNPMN 则P的子集共有 A 2 个 B 4 个 C 6 个 D 8 个 解析 本题考查交集和子集概念 属于容易题 显然 P 子集数为 22 4 3 1 故选 B 2 复数 5 1 2 i i A 2i B 1 2i C 2i D 12i 解析 本题考查复数的运算 属容易题 解法一 直接法 5 1 2 i i 故选 C i ii ii 2 2121 215 解法二 验证法 验证每个选项与 1 2i 的积 正好等于 5i 的便是答案 3 下列函数中 即是偶数又在 0 单调递增的函数是 A 3 yx B 1yx C 2 1yx D 2 x y 解析 本题考查函数的奇偶性和单调性 属于简单题 可以直接判断 A 是奇函数 B 是偶函数 又是 0 的增函数 故选 B 4 椭圆 22 1 168 xy 的离心率为 A 1 3 B 1 2 C 3 3 D 2 2 解析 本题考查椭圆离心率的概念 属于容易题 直接求 e 故选 D 也可 2 2 4 22 a c 以用公式故选 D 2 2 2 1 16 8 11 2 2 2 e a b e 5 执行右面得程序框图 如果输入的N是 6 那么输出的p是 A 120 B 720 C 1440 D 5040 解析 本题考查程序框图 属于容易题 可设 1 1 P 2 1 K 则32 2 2 KP 46 3 3 KP 524 4 4 KP 6120 5 5 KP 67720 6 6 KP 输出 720 故选 B 6 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学参加各个小组的可能性 相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 解析 本题考查古典概型 属于容易题 设三个兴趣小组分别为 A B C 他们参加情况共一下 9 种情况 其中参加同一小组情况共 3 中 故概率为故选 A 3 1 9 3 7 已知角 的顶点与原点重合 始边与 x 轴的正半轴重合 终边在直线 y 2x 上 则 cos2 A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 解析 本题考查三角公式 属于容易题 易知 tan 2 cos 由 cos2 2 1 3 5 故选 B 5 1 cos 2 8 在一个几何体的三视图中 正视图和俯视图如右图所示 则相应的侧视图可以为 解析 本题考查三视图的知识 同时考察空间想象能力 属于难题 由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥 后面是一个圆锥 由此可选 D 9 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点 且与 C 的对称轴垂直 l 与 C 交于 A B 两点 AB 12 P 为 C 的准线上一点 则 ABP 的面积为 A 18 B 24 C 36 D 48 解析 本题考查抛物线的方程 属于中等题 易知 2P 12 即 AB 12 三角形的高是 P 6 所以面积为 36 故选 C 10 在下列区间中 函数的零点所在的区间为 43 x f xex A B C D 1 0 4 1 0 4 1 1 4 2 1 3 2 4 解析 本题考查零点存在定理 属于中等题 只需验证端点值 凡端点值异号就是答案 故 选 C 11 设函数 则 sin 2 cos 2 44 f xxx A 在单调递增 其图象关于直线对称 yf x 0 2 4 x B 在单调递增 其图象关于直线对称 yf x 0 2 2 x C 在单调递减 其图象关于直线对称 yf x 0 2 4 x D 在单调递减 其图象关于直线对称 yf x 0 2 2 x 解析 本题考查三角函数的性质 属于中等题 解法一 f x sin 2x cos2x 所以 f x 在 0 2 单调递减 其图像关于直 2 2 2 线 x 2 对称 故选 D 解法二 直接验证 由选项知 0 2 不是递增就是递减 而端点值又有意义 故只需 验证端点值 知递减 显然 x 4 不会是对称轴 故选 D 12 已知函数 y f x 的周期为 2 当 x 11 时 f x x2 那么函数 y f x 的图像与函 数 y xlg的图像的交点共有 A 10 个 B 9 个 C 8 个 D 1 个 解析 本题考查函数的图象和性质 属于难题 本题可用图像法解 易知共 10 个交点 1 9 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须回答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量 k 为实数 若向量 a b 与向量 ka b 垂直 则 k 解析 本题考查向量的基本运算和性质 属于容易题 解法一 直接法 a b ka b 0 展开易得 k 1 解法二 凭经验 k 1 时 a b a b 数量积为 0 易知 k 1 14 若变量 x y 满足约束条件则 z x 2y 的最小值为 329 69 xy xy 解析 本题考查线性规划的基本知识 属于容易题 只需画出线性区域即可 易得 z x 2y 的最小值为 6 15 ABC 中 B 120 AC 7 AB 5 则 ABC 的面积为 解析 本题考查余弦定理和面积公式 属于容易题 有余弦定理得 120 0222 cos2BCAC BCACAB 所以 BC 3 有面积公式得 S 4 315 16 已知两个圆锥有公共底面 且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上 若圆 锥底面面积是这个球面面积的 16 3 则这两个圆锥中 体积较小者的高与体积较大者的高的 比值为 解析 本题考查球内接圆锥问题 属于较难的题目 由圆锥底面面积是这个球面面积的 16 3 得 所以 则小圆锥的高为大圆锥的高为 所以比值为 16 3 4 2 2 R r 2 3 R r 2 R 2 3R 3 1 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知等比数列中 2 1 3 a 公比 1 3 q an I n S为的前n项和 证明 1 2 n n a S an II 设 31323 logloglog nn baaa 求数列 n b的通项公式 解析 本题考查等比数列基本知识和等差数列的基本知识 I 3 1 1 3 1 n na 3 1 n 2 1 1 3 1 1 1 1 3 1 33 n n nS 1 2 n n a S II 31323 logloglog nn baaa 1 2 3 n 2 1 nn 数列 n b的通项公式为 bn 2 1 nn 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥PABCD 中 底面ABCD为平行四边形 60 2 DABABAD PD 底面ABCD I 证明 PABD II 设1PDAD 求棱锥DPBC 的高 解 因为60 2DABABAD 由余弦定理得3BDAD 从而 BD2 AD2 AB2 故 BD AD 又 PD 底面 ABCD 可得 BD PD 所以 BD 平面 PAD 故 PA BD 过 D 作 DE PB 于 E 由 I 知 BC BD 又 PD 底面ABCD 所以 BC 平面 PBD 而 DE平面 PBD 故 DE BC 所以 DE 平面 PBC 由题设知 PD 1 则 BD PB 2 3 由 DE PB PD BD 得 DE 即棱锥DPBC 的高为 2 3 2 3 19 本小题 12 分 某种产品的质量以其质量指标值衡量 质量指标值越大表明质量越好 且质量指标值大 于或等于 102 的产品为优质产品 现用两种新配方 分别称为 A 分配方和 B 分配方 做试验 各 生产了 100 件这种产品 并测量了每件产品的质量指标值 得到下面试验结果 A 配方的频数分布表 指标值分组 90 94 94 98 98 102 102 106 106 110 频数82042228 B 配方的频数分布表 指标值分组 90 94 94 98 98 102 102 106 106 110 频数412423210 分别估计用 A 配方 B 配方生产的产品的优质品率 已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y 单位 元 与其质量指标值 t 的关系式为 2 94 2 94102 4 102 t yt t 估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率 并求用 B 配方生产的上述 100 件 产品平均一件的利润 解 本题考查概率的基本知识 属于容易题 由实验结果知 用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 0 3 所以用 A 配方生 100 822 产的产品中优质品率的估计值为 0 3 由实验结果知 用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 0 42 100 1032 所以用 B 配方生产的产品中优质品率的估计值为 0 42 由条件知 用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率当且仅当 t 94 由试验结果知 t 94 的频率为 0 96 所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概 率估计值为 0 96 用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润为 2 68 元 4422542 4 100 1 20 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系 xOy 中 曲线 2 61yxx 与坐标轴的交点都在圆 C 上 求圆 C 的方程 若圆 C 与直线0 xya 交与 A B 两点 且OAOB 求 a 的值 解析 本题考查圆的方程和直线和圆的关系 曲线 2 61yxx 与坐标轴的交点为 0 1 3 0 22 故可设圆的圆心坐标为 3 t 则有 221 t3 2 2 2 t 2 解得 t 1 则圆的半径为 3 13 2 2 t 所以圆的方程为 9 13 22 yx 设 A B 其坐标满足方程组 1 1 y x 2 2 y x 0 xya 2 9 13 22 yx 消去 y 得到方程012 82 2 22 axa ax 由已知可得判别式 56 16a 4 0 a 2 由韦达定理可得 a xx 4 21 2 12 2 21 a a xx 由OAOB 可得又 所以 0 21 21 yy xx a x y 1 1 a x y 2 2 2 0 2 2121 axxxx a 由 可得 a 1 满足 0 故 a 1 21 本小题满分 12 分 已知函数 ln 1 axb f x xx 曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程为230 xy 求a b的值 证明 当0 x 且1x 时 ln 1 x f x x 解析 本题考查导数的基本概念和几何意义 22 1 ln 1 x x b x fx xx 由于直线230 xy 的斜率为 1 2 且过点 1 1 故 1 1 1 1 2 f f 即 1 1 22 b a b 解得1a 1b 由 知 f x 所以 1 1 ln xx x x x x x xf x x 1 ln2 1 1 1 ln 2 2 考虑函数 则 h x x x x xx x 2 2 2 22 1122 所以 x 1 时 h x 0 而 h 1 0 故 x时 h x 0 可得 ln 1 x f x x 1 0 x h x 0 可得 ln 1 x f x x 1 从而当0 x 且1x 时 ln 1 x f x x 请考生在第 22 23 24 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时请 写清题号 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选 讲如图 D E分别为ABC 的边AB AC上的点 且不与ABC 的顶点重合 已知AE的长为 m AC的 长为 n AD AB的长是关于x的方程 2 140 xxmn 的两个根 证明 C B D E四点共圆 若90A 且4 6mn 求C B D E所在圆的半径 解析 连结 DE 根据题意在 ADE 和 ACB 中 AD AB mn AE AC 即 又 DAE CAB 从而 ADE ACB AB AE AC AD 因此 ADE ACB 所以 C B D E 四点共圆 m 4 n 6 方程 2 140 xxmn 的两根为 2 12 即 AD 2 AB 12 取 CE 的中点 G DB 的中点 F 分别过 G F 作 AC AB 的垂线 两垂线交于点 H 连结 D H 因 为 C B D E 四点共圆 所以圆心为 H 半径为 DH 由于 A 900 故 GH AB HF AC 从而 HF AG 5 DF 5 故半径为 5 2 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 曲线