2011年高考数学原创预测题 专题五 立体几何 文 大纲人教版

用心 爱心 专心1 专题五 立体几何专题五 立体几何 一 选择题 1 设地球半径为 若甲地位于北纬 45 度东经 120 度 乙地位于南纬 75 度东经 120 度 则甲乙两地的R 球面距离为 R3R 6 R 6 5 R 3 2 2 一个圆柱的轴截面为正方形 其体积与一个球的体积之比是 3 2 则这个圆柱的侧面积与这个球的表 面积之比为 1 1 3 21 22 3 3 已知两条不同的直线 两个不同的平面 则下列命题中的真命题是 mn A 若 则 m n mn 若 则 mn mn 若 则 m n mn 若 则 m n mn 4 圆锥的母线长为 6 轴截面的顶角为 120 度 过两条母线作截面 则截面面积的最大值为 9 318 18 3 9 DCBA 5 某个数学活动小组为了测量学校操场上国旗旗杆 DC 的高度 在旗杆的正西方向的点 A 测得旗杆顶端 D 的仰角为 30 度 沿点 A 向北偏东 60 度前进 18 米到达点 B 测得旗杆顶端 D 的仰角为 45 度 经目测 AB 小于 AC 则旗杆的高度为 米 9 16 18 9 或 18 6 下列说法不正确的是 空间中 一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形 同一平面的两条垂线一定共面 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直 且这些直线都在同一个平面内 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 7 等边三角形ABC的边长为 4 M N分别为AB AC的中点 沿MN将 AMN折起 使得平面AMN与平面 MNCB所成的二面角为 30 则四棱锥A MNCB的体积为 3 2 3 2 3 3 8 由棱长为 2 的正方体的表面的六个中心为顶点构成的新几何体的体积为 用心 爱心 专心2 2 4 3 2 3 4 9 设为两两不重合的平面 为两两不重合的直线 给出下列四个命题 若 nml 则 若 则 若 则 若 nmnm l l 则 其中真命题个数是 lnml nm 1 2 3 4 10 矩形 ABCD 中 AB 4 BC 2 E F 分别为 AB CD 的中点 沿 EF 把 BCFE 折起后与 ADFE 垂直 P 为矩 形 ADFE 内一动点 P 到面 BCFE 的距离与它到点 A 的距离相等 设动点 P 的轨迹是曲线 L 则曲线 L 是 的一部分 A 圆 椭圆 抛物线 双曲线 二 填空题 11 若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3 4 5 从长方体的一条体对角线的一个端点出发 沿表面 运动到另一个端点 其最短路程是 12 用一个半径为 10 厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥 放在水平桌面上 被一阵风吹倒 如图 则它的最高点到桌面的距离为 13 在一个棱长为 6 厘米的密封的正方体盒子中 放一个半径为 1 厘米的小球 任意摇动盒子 小球在盒 子中不能到达的空间为 G 则这个正方体盒子中的一点属于 G 的概率为 14 直角三角形 ABC 中 AD 是斜边 BC 上的高 则 AB 是 BD 与 BC 的等比中项 请利用类比推理给出 三棱锥 P ABC 中 侧棱 PA PB PC 两两垂直 点 P 在底面上的射影为 O 则 三 解答题 15 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD PC AD 底面 ABCD 为梯形 AB DC AB BC PA AB BC 点 E 在棱 PB 上 且 PE 2EB 用心 爱心 专心3 1 求证 平面 PAB 平面 PCB 2 求证 PD 平面 EAC 16 在 ABC 中 AB CA 6 BC 8 点 D E F 分别是 BC AB CA 的中点 以三条中位线为折痕 折成一 个三棱锥 P DEF 求 1 异面直线 PD 与 EF 间的距离 2 这个三棱锥 P DEF 的体积 17 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 AA1 AD 1 点 E F G 分别是棱 AA1 C1D1 BC 的中点 1 在直线 A1D1上是否存在点 Q 使得 EQ 平行于平面 FB1G 2 求二面角B1 EF G 的大小 3 求四面体 EFGB1的体积 18 如图在正三棱柱 ABC A1B1C1中 D 为 AC 的中点 1 求证 AB1 平面 BDC1 2 设 AB1垂直于 BC1 BC 2 求这个三棱柱的表面积 19 如图 平行四边形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直 AB 1 AD 2 ADC 60 AF a a 0 1 求证 AC BF 2 若二面角 F BD A 的大小为 60 求 a 的值 20 如图 AB 为圆O的直径 点 E F 在圆上 已知 AB EF AB BC 4 AE EF BF 2 AD 2 直角梯形 ABCD 所在的平面与圆O所在的平面互相垂直 1 求证 平面 CBE 平面 DAE 2 在 DB 上是否存在一点 G 使 GF 平面 DAE 若不存在 请说明理由 若存在 请找出这一点 并证 明 答案解析 专题五 答案解析 专题五 1 解析 选 D 连接甲乙两地的大圆上的劣弧的球心角为 45 75 120 度 用心 爱心 专心4 由弧长公式得甲乙两地的球面距离为 故选 D R 3 2 2 解析 选设圆柱的底面半径为 球的半径为 由于圆柱的轴截面为正方形 因此圆柱的母线长rR 为 r2 所以 即 故选 2 3 3 4 2 3 2 R rr V V 球 圆柱 Rr 侧 侧 侧侧侧 1 4 22 2 R rr S S 3 解析 选 因为两个平面垂直 所以这两个平面的法向量就垂直 所以对 在 B 中有 m 与 n 不垂直 的情况 在 C 中 还有 m 与 n相交 异面的情况 在 D 中 还有 m 与 n 相交 异面的情况 故选 4 解析 选 B 设截面等腰三角形的顶角为 则截面面积为 sin18sin6 2 1 2 S 因为 所以 故选 B 1200 18sin18 S 5 解析 选 C 设 则 hDC hACDAC3 30 所以在中 hBCDBC 45 BAC 应用余弦定理得 18 30 ABBAC 30cos3182318 2 22 hhh 解这个方程得 9h 18 或h 当时 与已知矛盾 故舍去 时 成立 所以9 hABhAC 393 18 h ABAC 318 选 C 6 解析 选 D 一组对边平行且相等的四边形就决定了这个四边形是平行四边形 同一平面的两条垂线互 相平行 因而共面 这些直线都在同一个平面内即直线的垂面 把书本的书脊垂直放在桌上就可明确看出 D 不正确 7 解析 选 在平面图中 过作AL BC 交MN于K 交BC于L 则AK MN KL MN AKL是面AMN与面MNCB所成的二面角的平面角 即有 AKL 30 由条件知 3AB 4 3 AM 2 3 AK 用心 爱心 专心5 则四棱锥A MNCB的高h 30sinAK 2 3 KL 2 42 SMNCB 33 故选 A 2 3 33 3 1 V MNCBA 2 3 8 解析 选 D 构成的新几何体是两个有公共底面的正四棱锥 它的底面边长为 高为 1 所以一个2 正四棱锥的体积为 故选 D 3 2 12 3 1 2 9 解析 选 B 也有相交的情况 要保证相交 才有 由面面平行性质定理可知 nm 对 因 同样 从而 故 对 故选 B mllml nl nm 10 解析 选 C 如图 过点 P 作 PQ 垂直于 FE 则 PQ 垂直于平面 BCFE 所以 PQ PA 所以动点 P 的轨迹即曲线 L 为以 A 为焦点 以 FE 为准线的抛物线在矩形ADFE内的部 分 故选 C 11 解析 从长方体的一条体对角线的一个端点出发 沿表面运动到另一个端点 有三种方案 2222 4 35 80 5 34 74 或 或 90543 2 2 故最短路径是74 答案 74 12 解析 要抓住两点 1 半圆纸片的半径成了圆锥的母线 2 半圆弧长成了圆锥的底面周长 设 圆锥的底面半径为 母线为 则 rl102 10 rl5 r 所以轴截面顶角的一半为 轴截面为正三角形 故被吹倒后圆锥的最高点离桌面的距离为 30 厘米 3560sin l 答案 厘米 35 13 解析 在正方体盒子中 不能到达的八个角的空间即为图一中的内切于正方体的小球不能到达的空间 其体积为 小球沿每条棱运动不能到达的空间 除去两端的两个角 的体积 即为高为 3 4 8 3 4 23 4 的一个正四棱柱的体积减去其内接圆柱体积的四分之一 如图二 即 用心 爱心 专心6 正方体有 12 条棱 所以在盒子中小球不能到达的空间 G 的体积为 44142 4 1 22 又正方体盒子的体积为 63 216 所以这个正方体盒子中的一点属于 3 4 8 3 40 56412 G 的概率为 81 521 216 3 40 56 答案 81 521 14 证明 连接 CO 并延长交 AB 于 D 连接 PD 则 PD PC CD AB 所以 PD2 DO DC 所以 即三角形 PAB 的面积是三角形 AOB 的面积 ABCAOBPAB SSS 2 与三角形 ABC 的面积的等比中项 答案 三角形 PAB 的面积是三角形 AOB 的面积与三角形 ABC 的面积的等比中项 15 解析 1 PA 平面 ABCD PA BC 又 AB BC PAAB A BC 平面 PAB 又 BC平面 PCB 所以平面 PAB 平面 PCB 2 PA 底面 ABCD PA AD 又 PC AD AD 平面 PAC AC AD 在梯形 ABCD 中 由 AB BC AB BC 得 BAC 45 DCA BAC 45 又 AC AD 故DAC 为等腰直角三角形 DC AC AB 2AB 222 连接 BD 交 AC 于点 M 则 2 AB DC MB DM 连接 EM 在BPD 中 2 MB DM EB PE PD EM 又 EM 在平面 AEC 内 PD 平面 EAC 16 解析 1 取 EF 的中点 N PD 的中点 M 连接 DN MN PN 因为 DF DE PF PE 所以 PN EF DN EF PN DN 5 用心 爱心 专心7 所以 EF 平面 PDN EF MN PD MN 所以 MN 是异面直线 PD 与 EF 间的距离 在直角三角形 PMN 中 MN 1 所以异面直线 PD 与 EF 间的距离为 1 2 由前面知 EF 平面 PDN PDN 的面积为 214 2 1 2 1 MNPDS 所以这个三棱锥 P DEF 的体积 3 8 42 3 1 3 1 ShV 17 解析 1 如图取 AD 中点 M 连接 A1M 则 A1M B1G 延长 QE 交 AD 于 N 所以 EQ 平行于平面 FB1G 的充要条件是 A1M EQ 因为 E 为 AA1的中点 所以 N 为 AM 的中点 所以 4A1Q AD 所以在线段 D1A1延长线上存在点 Q 使得 EQ 平行于平面 FB1G 2 四面体 EFB1G 的六条棱长分别为 2 5 2 2 17 2 2 3 2 3 111 GBFBEBEGFGEF 所以 FGEFFBEF 1 所以 GFB1就是二面角 B1 EF G 的平面角 45 2 2 2 3 22 4 5 4 9 2 cos 11 FGBFGB 所以二面角 B1 EF G 的大小为 45 度 3 由前面可知平面 EFGFB1 4 3 2 2 2 3 2 2 1 1 GFB S 所以 8 3 2 3 4 3 3 1 3 1 1 EFSV GFB 18 解析 1 连接 BC1和 B1C 交点为 O 则 O 为 B1C 的中点 连接 OD 因为 D 为中点 所以 OD AB1 用心 爱心 专心8 又 OD 在平面 DBC1内 AB1不在平面 DBC1内 所以 AB1 平面 BDC1 2 过 A 作 AF BC 垂足为 F 连接 B1F 因为侧面垂直于底面 所以 AF 侧面 BCC1B1 所以 AB1在侧面 BCC1B1的射影为 B1F 因为 AB1垂直于 BC1 所以 BC1 B1F RtB1BF RtBC1C B1B BC BF C1C 所以 B1B2 BC BF 2 所以侧棱 2 1 BB 所以全面积为 32262 4 3 2223 2 19 解析 1 如图 在ABC 中 AB 1 BC 2 ABC 60 由余弦定理得 60cos2 22 BCABBCABAC 3 2 1 21241 BAC 90 即 AC AB 222 BCACAB 又在矩形 ACEF 中 AC AF 且 AFAB A AC 平面 ABF 又 BF平面 ABF AC BF 2 平面 ACEF 平面 ABCD 平面 ACEF平面 ABCD AC FA AC FA 平面 ABCD 过点 A 作 AG BD 于点 G 连接 FG 则 FG BD AGF 即是二面角 F BD A 的平面角 AGF 60 在ABD 中 由余弦定理得 7 2 1 21221120cos2 2222 ADABADABBD 由 7 21 120sin21 2 1 7 2 1 AGAGS ABD 得 用心 爱心 专心9 在 RtAGF 中 AGF 60 AF AG tan AGF 7 73 7 73 3 7 21 a侧 20 1 如图 连接 BE 因为四边形 ABCD 是直角梯形 所以 AD AB 又平面