曲线积分与曲面积分补充题

1 曲线积分与曲面积分补充题曲线积分与曲面积分补充题 1 设有表示曲面 表示曲面 1 0 4 2222 zazyx 2 axyx2 22 20 az 1 求及所围立体的体积 21 0 z 2 求被所截部分的表面积 1 2 3 求被所截部分的侧面积 2 1 4 若表示被所截的部分曲面 求 S 1 2 dSzyxI S 222 5 若表示被所截的部分曲面 求 S 2 1 dSaxyxI S 32 22 6 若表示被所截曲面的上侧部分 求 1 2 zdxdyydzdxxdydzI 7 若表示曲面的交线在第一卦限部分曲线 从轴正向往下看是逆时针 21 z 设力 求该力沿曲线从到所做的功 kzj yi xF 2 0 0 2 aA 2 0 0 aB 8 若其他条件同 6 力为 此时功为多少 若点为上任一kzj yi xF B 点 功又为多少 2 1 设为连续函数 且对任意平面闭曲线都有 yxfC C dsyxf0 试证 0 yxf 2 设为连续函数 且对任意空间闭曲面都有 zyxf 0 dSzyxf 试证 0 zyxf 3 设有连续偏导数 且对任意封闭曲线 有 yxQyxPC C QdyPdx0 试证 0 x Q y P 2 4 设有连续偏导数 且对任意封闭曲面都有 zyxRzyxQzyxP 试证 0RdxdyQdzdxPdydz0 z R y Q x P 3 设为从点到点的有向光滑曲线弧 函数 111 zyxA 222 zyxB 连续 证明 zhygxf 2 1 x x dxxfdxxf 2 1 y y dyygdyyg 2 1 z z dzzhdzzh 4 设有向光滑曲线弧在面上的投影曲线为 其正向与的正向相应 且在 xoyL 光滑曲面上 函数连续 证明 yxz zyxRzyxQzyxP 1 L dyyxyxQdxyxyxpdyzyxQdxzyxP 2 dydxyxyxRdzzyxR L yx 5 设在内具有连续导数 求 xf dyxyfy y x dx y xyfy I L 1 1 2 2 2 其中是从点到点的直线段 答案 4L 3 2 3 A 2 1 B 6 设函数具有二阶连续导数 曲线积分 xgxf C x dyxfxygdxxygyexfy0 2 22 2 其中为平面上任一简单封闭曲线 C 1 求使 2 计算沿任一条曲线从到的积分 xgxf0 0 0 gf 0 0 1 1 答案 7 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 1 eeIxeeexgxeeexf xxxxxx 7 设有连续导数 对平面上任意一条分段光滑曲线 积分 L 与路径无关 dyyxxyyxdxyyxI L 22 2 22 3 1 当时 求1 0 2 0 xx 2 设是从到的分段光滑曲线 求 L 0 0 2 I 答案 4 1 2cos 2sin 222 Ixxxxxx 8 设连续可导 为不含原点的单连通区域 任取 在 xf1 1 fGGNM 内曲线积分与路径无关 G 2 1 2 xdyydx yfx N M 1 求 2 求 其中为取正向 xf 2 1 2 xdyydx yfx 3 2 3 2 3 2 ayx 答案 2 2 xxf 9 设为连续函数 为平面上分段光滑闭曲线 证明 ufCxoy 0 22 ydyxdxyxf C 10 设曲线的方向为逆时针 证明 0 22 yxyxL 2 cossin 2 22 dyyxdxxy L 11 若对平面上任何简单闭曲线恒有 C0 2 422 dyxxfdxxxyf C 其中在上有连续的一阶导数 且 试求 xf 2 0 f 1 2 xf 2 1 0 0 422 2dyxxfdxxxyf 答案 108 1 24 exexf x 12 设在圆盘内有二阶连续偏导数 且 yxu1 22 yxD 2 2 2 2 22 yx e y u x u 则 是的外单位法向量 C eds n u 1 1 n C 4 13 求 其中是绕原点两周的正向闭曲线 答案 C yx dyyxdxyx I 22 C 4 14 计算 其中是平面dzyxdyxzdxzyI C 3 2 222222 C 与柱面的交线 从轴正向看是逆时针 答案 2 zyx1 yxzC24 15 已知平面区域 为的边界 试证 yxyxD0 0 LD 1 dxyedyxedxyedyxe x L yx L ysinsinsinsin 2 2sinsin 2 dxyedyxe x L y 16 确定常数 使在右半平面上的向量 0 x jyxxiyxxyyxA 2 24224 为某二元函数的梯度 并求 答案 yxu yxuC x y yxu 2 arctan 1 17 计算 其中取外侧 zz dxdy y dzdx xx dydz I 222 coscoscos 2 1 222 zyx 答案 1tan4 18 设有连续导数 计算 ufzdxdydzdx y x f x dydz y x f y I 11 其中是所围立体的外侧 答案 2222 8 6zxyzxy 2 19 计算曲面积分 其中是曲线 xdxdydydzxzIsin 2 2 1 0 yz x 绕轴旋转一周而成的曲面 其法向量与轴的正向夹角为锐角 12 z zz 答案 15 128 I 20 求 其中为 dxdyzzdzdxxzdydzI 1 24 2 5 绕轴旋转所成的曲面下侧 1 0 20 aayaz y z 答案 1 4 1 ln4 1 ln 22 44 2 4 4 aa aa a aI 21 设为椭球面的上半部分 点 为在点的切S1 22 2 22 z yx SzyxP SP 平面 为点到平面的距离 求 答案 zyx 0 0 0O S dS yzx z I 2 3 22 设是圆周的正向边界曲线 为大于零的连续函数 证C 111 22 yx xf 明 C dx xf y dyyxf 2 23 设函数具有一阶连续偏导数 且满足 闭曲线 C 包围 yxvyxu x v y u y v x u 原点 取正向 证明 0 02 1 22 udyyvxudxyuxv yx C 24 设是球面 常数 证明 0222 2222 aazayaxzyx0 a 3 123adSazyxI