抽象函数解题方法与技巧第五计

每周一计第五计每周一计第五计 抽象函数解题方法与技巧抽象函数解题方法与技巧 所谓抽象函数问题 是指没有具体地给出函数的解析式 只给出它的一些特征或性质 解决这类问题 常涉及到函数的概念和函数的各种性质 因而它具有抽象性 综合性和技巧性等特点 抽象函数问题既 是教学中的难点 又是近几年来高考的热点 一 换元法换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法 它是解答抽象函数问题的基本方法 例 1 已知 f 1 sinx 2 sinx cos2x 求 f x 解 令 u 1 sinx 则 sinx u 1 0 u 2 则 f u u2 3u 1 0 u 2 故 f x x2 3x 1 0 x 2 二 方程组法二 方程组法 运用方程组通过消参 消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题 例 2 2 3 2 1 2 xfx x fxfxfxf x y求证且为实数即是实数函数设 解 x x x f x xf x fx x3 2 3 1 2 1 1 联立方程组 得得代换用 3 22 3 2 3 x x xf 三 待定系数法三 待定系数法 如果抽象函数的类型是确定的 则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题 例 3 已知 f x 是多项式函数 且 f x 1 f x 1 2x2 4x 求 f x 解 由已知得 f x 是二次多项式 设 f x ax2 bx c a 0 代入 f x 1 a x 1 2 b x 1 c ax2 2a b x a b c f x 1 a x 1 2 b x 1 c ax2 b 2a x a b c f x 1 f x 1 2ax2 2bx 2a 2c 2x2 4x 比较系数得 a 1 b 2 c 1 f x x2 2x 1 四 赋值法四 赋值法 有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的 可通过赋特殊值法使问题得以解决 例 4 对任意实数 x y 均满足 f x y2 f x 2 f y 2且 f 1 0 则 f 2001 解 令 x y 0 得 f 0 0 令 x 0 y 1 得 f 0 12 f 0 2f 1 2 f 1 0 f 1 令 x n y 1 得 f n 1 f n 2 f 1 2 f n 即 f n 1 f n 故 f n f 2001 1 22 n2001 2 例 5 已知 f x 是定义在 R 上的不恒为零的函数 且对于任意的实数 a b 都满足 f ab af b bf a 1 求 f 0 f 1 的值 2 判断 f x 的奇偶性 并证明你的结论 3 若 f 2 2 un f 2n n N 求证 un 1 un n N 解 1 令 a b 0 得 f 0 0 令 a b 1 得 f 1 0 2 f x 是奇函数 因为 令 a b 1 得 f 1 1 f 1 f 1 f 1 0 故 f x f 1 x f x xf 1 f x 故 f x 为奇函数 3 先用数学归纳法证明 un f 2n 0 n N 略 五 转化法五 转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系 为 问题的解决带来极大的方便 例 6 设函数 f x 对任意实数 x y 都有 f x y f x f y 若 x 0 时 f x 0 且 f 1 2 求 f x 在 3 3 上的最大值和最小值 解 令 x y 0 得 f 0 0 令 y x 得 f x f x f 0 0 即 f x 为奇函数 设 x10 由已知得 f x2 x1 0 故 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 f x1 所以 f x 是 R 上的减函数 又 f 3 f 1 f 2 3f 1 6 f 3 6 1 2 1 2 故 f x 在 3 3 上的最大值为 6 最小值为 6 例 7 定义在 R 上的函数 f x 满足 对任意实数 m f xm mf x f 2 1 1 求证 f xy f x f y 对任意正数 x y 都成立 2 证明 f x 是 R 上的单调增函数 3 若 f x f x 3 2 求 x 的取值范围 解 1 令 x 2m y 2n 其中 m n 为实数 则 f xy f 2m n m n f 2 m n 又 f x f y f 2m f 2n mf 2 nf 2 m n 所以 f xy f x f y 2 证明 设 0 x1 x2 可令 m n 且使 x1 2m x2 2n 由 1 得 f x1 f x2 f 2m n m n f 2 m n 0 1 2 x f x 故 f x1 f x2 即 f x 是 R 上的增函数 3 由 f x f x 3 2 及 f x 的性质 得 f x x 3 2f 2 f 4 解得 30 n N f n1 n2 f n1 f n2 n1 n2 N f 2 4 同时成立 若存在 求出函数 f x 的解析式 若不存在 说明理由 解 假设存在这样的函数 f x 满足条件 得 f 2 f 1 1 f 1 f 1 4 解得 f 1 2 又 f 2 4 22 f 3 23 由此猜想 f x 2x x N 数学归纳证明 略 例 9 已知 f x 是定义在 R 上的函数 f 1 1 且对任意 x R 都有 f x 5 f x 5 f x 1 f x 1 若 g x f x 1 x 则 g 2002 解 由 f x 1 f x 1 得 f x 5 f x 4 1 f x 3 2 f x 2 3 f x 1 4 又 f x 5 f x 5 f x 5 f x 1 4 f x 1 f x 1 又 f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 又 f 1 1 f x x g x f x 1 x 1 故 g 2002 1 七 模型法七 模型法 模型法是指通过对题目的特征进行观察 分析 类比和联想 寻找具体的函数模型 再由具体函数 模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法 应掌握下面常见的特殊模型 特殊模型抽象函数 正比例函数 f x kx k 0 f x y f x f y 幂函数 f x xn f xy f x f y fxx f yfy 或 指数函数 f x ax a 0 且 a 1 f x y f x f y fx fxy fy 或 对数函数 f x logax a 0 且 a 1 f xy f x f y x ffxfy y 或 正 余弦函数 f x sinx f x cosxf x T f x 正切函数 f x tanx 1 f xf y f xy f x f y 余切函数 f x cotx 1 f x f y f xy f xf y 例 10 已知实数集上的函数 f x 恒满足 f 2 x f 2 x 方程 f x 0 有 5 个实根 则这 5 个根之和 分析 因为函数 f x 恒满足 f 2 x f 2 x 方程 f x 0 有 5 个实根 可以将该函数看成是类似于二次 函数 y k x 2 2为模型引出解题思路 即函数的对称轴是 x 2 并且函数在 f 2 0 其余的四个实数根关 于 x 2 对称 解 因为实数集上的函数 f x 恒满足 f 2 x f 2 x 方程 f x 0 有 5 个实根 所以函数关于直线 x 2 对称 所以方程的五个实数根也关于直线 x 2 对称 其中有一个实数根为 2 其它四个实数根位于直线 x 2 两侧 关于直线 x 2 对称 则这 5 个根之和为 10 例 11 设定义在 R 上的函数 f x 满足当 x 0 时 f x 1 且对任意 x y R 有 f x y f x f y f 1 2 1 解不等式 f 3x x2 4 2 解方程 f x 2 f x 3 f 2 1 1 2 分析 可联想指数函数 f x ax 解 1 先证 f x 0 且单调递增 因为 f x f x 0 f x f 0 x 0 时 f x 1 所以 f 0 1 对于任意 x0 f x f x f x x f 0 1 f x 1 fx x 0 f x 1 0 f x 0 任取 x1 x2 R 且 x10 f x2 x1 1 所以 f x1 f x2 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 f x1 f x1 f x2 x1 1 0 所以 x R 时 f x 为增函数 不等式 f 3x x2 4可化为3x x2 2 解得 x 1 x1 时 f x 0 2 0fxxfx 设 x1 x2 R 且 x1f x2 故 f x 在 R 上为减函数 附 函数的性质附 函数的性质 函数的周期性 函数的周期性 1 定义在 x R 上的函数 y f x 满足 f x a f x a 或 f x 2a f x a 0 恒成立 则 y f x 是周期为 2a 的周期函数 2 若 y f x 的图像关于直线 x a 和 x b 对称 则函数 y f x 是周期为 2 a b 的周期函数 3 若 y f x 的图像关于点 a 0 和 b 0 对称 则函数 y f x 是周期为 2 a b 的周期函数 4 若 y f x 的图像有一个对称中心 A a 0 和一条对称轴 x b a b 则函数 y f x 是周期为 4 a b 的周 期函数 5 若函数 y f x 满足 f a x f a x 其中 a 0 且如果 y f x 为奇函数 则其周期为 4a 如果 y f x 为偶 函数 则其周期为 2a 6 定义在 x R 上的函数 y f x 满足 f x a f x 则 y f x 是 1 f xa f x 或 1 f xa f x 或 周期为 2 a 的周期函数 7 若在 x R 恒成立 其中 a 0 则 y f x 是周期为 4a 的周期函数 1 1 f x f xa f x 8 若在 x R 恒成立 其中 a 0 则 y f x 是周期为 2a 的周期函数 1 1 f x f xa f x 7 8 应掌握具体推导方法 如 7 函数图像的对称性 函数图像的对称性 1 若函数 y f x 满足 f a x f b x 则函数 y f x 的图像关于直线对称 2 ab x 2 若函数 y f x 满足 f x f 2a x 或 f x a f a x 则函数 y f x 的图像关于直线 x a 对称 3 若函数 y f x 满足 f a x f b x c 则 y f x 的图像关于点成中心对称图形 22 ab c 4 曲线 f x y 0 关于点 a b 的对称曲线的方程为 f 2a x 2b y 0 5 形如的图像是双曲线 由常数分离法 0 axb