河南理工大往年概率论试题

河南理工大学 概率论往年试题概率论往年试题 及详细答案及详细答案 河南理工大学 2010 2011 学年第 一 学期 概率论与数理统计 试卷 A 卷 总得分总得分阅卷人阅卷人复查人复查人考试方式考试方式 本试卷考试分数占本试卷考试分数占 学生总评成绩比例学生总评成绩比例 闭卷 80 分数分数 20 得分得分 1 对于任意两个事件 A 和 B 则有 A 若 则一定独立 B 若 则有可能独立 AB A BAB A B C 若 则一定独立 D 若 则一定不独立 AB A BAB A B 2 设都是随机变量的分布函数 是相应的概率密度 则 12 F xF x 12 f xfx A 是分布函数 B 是概率密度 12 F x F x 12 f xfx C 是概率密度 D 是分布函数 12 f x fx 12 F xF x 专业班级 姓名 学号 密 封 线 专业班级 姓名 学号 密 封 线 一 选择题 本题 20 分 每题 4 分 3 设随机变量和相互独立且 则 XY 3 2 4 8 XNYN他他 A B 1 5 2 P XY 1 3 2 P XY C D 1 1 2 P XY 1 1 2 P XY 4 设是总体的一个样本 且已知 未知 则 是 1 n XX X E X D X 的无偏估计量 D X A B 22 12 11 22 XX 1 2 1 1 1 n i i XX n C D 2 1 1 n i i XX n 2 1 1 1 n i i XX n 5 设随机变量都服从标准正态分布 则 X Y A 服从正态分布 B 服从分布 XY 22 XY 2 C 都服从分布 D 服从分布 22 XY和 2 22 X YF 1 设 则 0 5P A 0 6P B 0 8P B A P AB 2 设二维随机变量的概率密度为 X Y 则 6 01 0 xxy f x y 他他 1 P XY 3 设是随机变量 有切比雪夫不等式 X 2 XDXE 4 PX 4 设 则有 22 10 2 E 5 若 0 2 2 3 2 3 是均匀分布总体 0 的观测值 则的矩估计值是 分数分数 20 得分得分 二 填空题 本题 20 分 每题 4 分 三三 有两个箱子 第 1 个箱子有 3 个白球 2 个红球 第 2 个箱子有 4 个白球 4 个红球 现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子中 再从第 2 个箱子中 取出一个球 此球是白球的概率是多少 已知上述从第 2 个箱子中取出的是白球 则 从第 1 个箱子中取出的球是白球的概率是多少 分数分数 10 得分得分 四 设是两个相互独立的随机变量 其概率密度分别为 X Y 1 01 0 y XY xey fxfy 他 0他他他 0他他他 求随机变量的概率密度 ZXY 分数分数 10 得分得分 分数分数 10 得分得分 五 设的概率密度为 YX 1 01 0 yxx f xy 他 他 他他他 求 的值 Cov X Y D XY 分数分数 10 得分得分 六 用机器包装味精 每袋净重为随机变量 期望值为 100 克 标准差为 10 克 一箱内装 200 袋味精 利用中心极限定理 求一箱味精净重大于 20400 克的概率 400 2 83 2 83 0 9977 20000 密 封 线 分数分数 10 得分得分 七 设是取自总体的一个样本 为一相应的样本 12 n XXX X 12 n x xx 值 总体的概率密度为X 1 0 0 1 0 1 x xx xf 0 试求未知参数的最大似然估计量 河南理工大学 2010 20112010 2011 学年第 一 学期 概率论与数理统计试卷 A 卷 答案及评分标准 一 选择题 共 20 分 每题 4 分 1 B 2 A 3 C 4 D 5 C 二 填空题 共 20 分 每题 4 分 1 0 3 2 3 4 10 5 4 1 4 15 16 三 三 10 分 分 解 以表示事件 从第一箱取出一个白球 以 B 表示事件 从第二箱中取出一个白球 H 由已知条件可得 由全概率公式可得 32 5 9 4 9 55 P HP HP B HP B H P BP B H P HP B H P H 3524 5959 23 45 需要求的是由贝叶斯公式可得 P H B P B H P H P H B P B H P HP B H P H 3 5 5 9 3 5 5 92 5 4 9 15 23 四 四 10 分 分 解 因为相互独立 且 所以 X YZXY 欲使 当且仅当 ZXY fzfx fzx dx 0 XY fx fzx 01 0 xzx 既 01 xzx 1 当时 由于 故 0z 0 XY fx fzx 0 Z fz 密 封 线 分数分数 10 得分得分 八 设某种清漆的 9 个样品 其干燥时间 以小时计 分别为 6 0 5 7 5 8 6 5 7 0 6 3 5 6 6 1 5 0 设干燥时间总体服从正态分布 若未知 求的置信水平为 0 95 的置 2 N 2 信区间 0 025 6 0 574 8 2 306 xst 2 当时 01z 0 1 z z xz Z fzedxe 3 当时 1z 1 0 1 z xz Z fzedxee 综上所述得 0 0 1 01 1 1 z Z z z fzez eez 五 五 10 分 分 解 各数学期望均可以按照计算 因为仅在有限 E g X Yg x y f x y dxdy f x y 区域内不为 0 故各数学期望均化为上相应的积分 01Gyxx G 1 0 2 3 x x G E Xxf x y dxdyxdxdy 1 0 x x G E Yyf x y dxdydxydy 1 0 00 dx 11 00 00 x x G E XYxyf x y dxdyxdxydyxdx 000Cov X YE XYE X E Y 1 222 0 1 2 x x G E Xx f x y dxdyx dxdy 1 222 0 1 6 x x G E Yy f x y dxdydxy dy 2 2 2 121 2318 D XE XE X 2 2 11 0 66 D YE YE Y 2 D XYD XD YCov X Y 112 1869 六 六 10 分 分 解 设箱中第 袋味精的净重为克 是相互独立同分布的随机变量序列 且i i X 1 2 200 i X i 100 100 1 2 200 ii E XD Xi 由中心极限定理可知 近似服从 即近似服从 200 1 i i X 200 100 200 100 N 200 1 i i X 20000 20000 N 所以 200200 11 20400120400 ii ii PXPX 200 1 20000 2040020000 1 2000020000 i i X P 1 2 83 1 0 99770 0023 七 七 10 分 分 解 因为似然函数 1 0 0 1 0 1 x xx xf 1 n i i Lf x 仅考虑的情况 1 12 0 1 1 2 0 n ni x xxxin 他他 0 L 对数似然函数 1 ln ln 1 ln 2 n i i n Lx 即解得 0 ln L d d 1 ln 0 22 n i i x n 2 2 1 ln n i i n x 又因为 所以的最大似然估计量为 2 2 ln 0 d L d 2 2 1 ln n i i n X 于是求得最大似然估计量 2 1 2 ln n i i L X n 八 八 10 分 分 解 由于所以 有 1 X t n Sn 22 1 1 1 X Ptntn Sn 即有 22 1 1 1P XSntnXSntn 即得的一个置信水平为的置信区间为 1 22 1 1 XSntnXSntn 今 0 025 9 10 95 20 025 8 2 306 6 0 574ntxs 且 即得的一个置信水平为的置信区间为 0 95 0 025 0 574 6 8 5 558 6 442 3 t 河南理工大学 2010 2011 学年第 二 学期 概率论与数理统计 试卷 A 卷 专业班级 姓名 学号 密 封 线 总得分总得分阅卷人阅卷人复查人复查人考试方式考试方式 本试卷考试分数占本试卷考试分数占 学生总评成绩比例学生总评成绩比例 闭卷 80 分数分数 20 得分得分 1 设 A 和 B 为不相容事件 且 则下列结论中正确的是 0 0P AP B A B C D 0P B A P A BP A 0P A B P ABP A P B 2 若服从上的均匀分布 则下列选项正确的是 X 0 1 21YX A 服从上的均匀分布 B Y 0 1 01 1PY C 服从上的均匀分布 D Y 1 3 01 0 5PY 3 相互独立 则对任意给定的 有 129 XXX 1 i E X 1 i D X 0 A B 9 2 1 1 1 i i PX 9 2 1 1 1 1 9 i i PX C D 9 2 1 9 1 i i PX 9 2 1 9 1 9 i i PX 4 设 则服从自由度为的分0 1 XN 1 1 n i i XX n 22 1 1 1 n i i SXX n 1 n 2 布的随机变量是 A B C D 2 1 n i i X 2 S 2 1 nX 2 1 nS 5 设随机变量的概率密度是偶函数 是的分布函数 则对于任意实数 X f x F xXa 有 A B 2 1FaF a 0 0 5 a Faf x dx C D FaF a 0 1 a Faf x dx 1 设随机变量和相互独立且都服从分布 XY0 1 2 0 0 3 P XP Y 则 1 1 1 3 P XP Y P XY 一 选择题 每题只有一个正确答案 本题 20 分 每题 4 分 分数分数 20 得分得分 二 填空题 本题 20 分 每题 4 分 2 设随机变量 Y 是随机变量的线性函数 则X56YX 3D X XY 3 若 则 0 5 0 6 0 8P AP BP B A P AB 4 设是取自正态总体的简单随机样本 要使 1234 XXXX 2 0 2 XN 则 222 1234 2 34 2 a XXbXX a b 5 若 0 2 2 3 2 3 是均匀分布总体的观测值 则的矩估计值是 0 U 三三 设有来自三个地区的各 10 名 15 名和 20 名考生的报名表 其中女的报 名表分别为 3 份 7 份和 15 份 随机地取一个地区的报名表 从中先后抽出两份 求先抽到的一份是女生表的概率 分数分数 10 得分得分 四 设二维随机变量的概率密度为 X Y 22 1 0 Cxxy f x y y 其他 1 试确定常数 2 求边缘概率密度 C XY fxfY 分数分数 10 得分得分 分数分数 10 得分得分 五 设二维随机变量的概率密度为 X Y 0 0 0 x y exy f x y 其他 求随机变量的分布函数和概率密度 ZYX 分数分数 10 得分得分 六 设的概率密度为 YX 02 01 3 0 xy xy f xy 其他 求 E X D X E Y D Y 分数分数 10 得分得分 七 在天平上反复称质量为的物体 每次称量结果独立同服从 04 0 N 若以表示次称量的算术平均 则为使 至少应该Xn95 0 1 0 XPn 是多少 975 0 96 1 分数分数 10 得分得分 八 设是取自总体的一个样本 为一相应的样本值 总 12 n XXX X 12 n x xx 体的概率密度为X 其中 为未知参数 1 0 x ex f x 其他 0 试求 未知参数的最大似然估计量和 河南理工大学 2010 20112010 2011 学年第 二 学期 概率论与数理统计试卷 A 卷 答案及评分标准 二 二 选择题 共选择题 共 20 分分 每题每题 4 分 分 1 C 2 C 3 D 4 D 5 B 二 填空题 共二 填空题 共 20 分分 每题每题 4 分 分 1 2 1 3 0 3 4 5 4 5 9 11 20100 三 三 10 分 分 解 设 先抽到的一份为女生表 报名表是第 区考生的 A i B i1 2 3i 则为一完备事件组 且 i B 123 1 3P BP BP B 又 123 3 10 7 15 3 4P A BP A BP A B 由全概率公式可得 3 1 ii i P AP B P A B 137391 3 10154180 四 四 10 分 分 解 1 由于 2 2 1 1 4 21 xy f x y dxdy C cx ydxdy 从而 2 21 4 C X fxf x y dy 3 2 1 2 24 21 11 4 0 21 1 11 8 0 x x ydyx xxx 其他 其他 Y fyf x y dx 2 5 2 21 01 4 0 7 01 2 0 y y x ydxy yy 其他 其他 五 五 10 分 分 解 Z y x z FzP ZzP YXzf x y dxdy 当且仅当时 非零 0 0 xy f x y 1 当时 0z 0 1 2 x z x yz Z z y x z Fzf x y dxdydxedye 2 当时 0z 00 1 1 2 x z x yz Z y x z Fzf x y dxdydxedye 3 综上有 从而有 1 0 2 1 1 0 2 z Z z ez Fz ez 1 0 2 1 0 2 z ZZ z ez fzFz ez 4 5 六 六 10 分 分 解 的非零区域为 则 f x y 0201 Dx yxy 21 00 11 39 D xy E Xxf x y dxdyxdxdy 21 222 00 16 39 D xy E Xx f x y dxdyx dxdy 21 00 5 39 D xy E Yyf x y dxdyydydx 21 222 00 7 318 D xy E Yy f x y dxdyydydx 2 2 2 161123 9981 D XE XE X 2 2 2 7513 189162 D YE YE Y 七 七 10 分 分 解 设第 次称量的结果为 则 i 1 2 i Xin 0 04 i XN 1 1 n i i XX n 从而 0 04 E XD X n 从而 0 10 1 0 1 0 040 040 04 X PXP nnn 2 10 95 222 nnn 即 又 从而 即 0 975 2 n 1 96 0 975 1 96 2 n 15 36n 从而至少为 16 n 八 八 10 分 分 解 由题易得似然函数为 1 1 0 n i i x i n ex L 其他 仅考虑的情况 i x 对数似然函数 1 ln ln n i i x Ln 上式两端分别对和求偏导并令其等于 0 2 1 ln 0 1 ln 0 2 n i i xLn Ln 由 1 得 从而 22 0 nnxn x 当固定时 要使最大 只需最大 但 L 1 2 i xin 故 若按从小到大重排得 1 min i i n uX 1 2 i Xin 1 2 n XXX 从而 1 uX 进而有 1 XuXX 河南理工大学 2009 2010 学年第 一 学期 概率论与数理统计 试卷 A 卷 总得分总得分阅卷人阅卷人复查人复查人考试方式考试方式 本试卷考试分数占本试卷考试分数占 学生总评成绩比例学生总评成绩比例 闭卷 80 分数分数 20 得分得分 1 为随机事件 且 则下列式子正确的是 ABAB A B APBAP APBPABP C D APABP BPABP 2 设一次试验中事件发生的概率为 现重复进行次独立试验 则事件至多发生ApnA 一次的概率为 A B C D n p 1 n p n p 1 1 1 1 1 nn ppnp 专业班级 姓名 学号 密 封 线 专业班级 姓名 学号 密 封 线 一 选择题 本题 20 分 每题 4 分 3 设随机变量服从参数为的泊松分布 且X e m mXP m 210 m 则 3 DX A 3 B C 9 D 3 1 9 1 4 设 其中已知 未知 为其样本 下列各项不是统计量的 2 N 2 321 XXX 是 A B C D 2 3 2 2 2 1 2 1 XXX 1 X max 321 XXX 321 XXX 5 设连续随机变量的密度函数满足 是的分布函数 则X xfxf xFX 2004 XP A 2004 2F B1 2004 2 F C 2004 21F D 2004 1 2F 1 若为连续型随机变量 为任给定的一个实数 则 Xa P Xa 2 设随机变量 且 则常数 45 0 NX aXPaXP a 3 已知随机变量 且 相互独立 设随机变量 31 NX 12 NYXY 则 92 YXZ DZ 4 设是随机变量 有切比雪夫不等式 X 2 XDXE 3 XP 5 设 则 3D X 31YX XY 分数分数 20 得分得分 二 填空题 本题 20 分 每题 4 分 三三 有两箱同种类的零件 第一箱装 50 只 其中 10 只一等品 第二箱装 30 只 其中 18 只一等品 今从两箱中任挑出一箱 然后从该箱中取零件两次 每次任取 一只 作不放回抽样 求 1 第一次取到的零件是一等品的概率 2 第一次取到的零件是一等品的条件下 第二次取到的也是一等品的概 率 分数分数 10 得分得分 四 设 1 求的概率密度 2 求 1 0 NXYX 12 2 XY 的概率密度 分数分数 10 得分得分 分数分数 10 得分得分 五 设二维随机变量的概率密度为 X Y 01 01 0 Cxyxy f x y 其他 1 试确定常数 2 的概率密度 CZXY 分数分数 10 得分得分 六 设的概率密度为 YX 1 01 0 yxx f xy 他 他 他他他 求 E X E Y Cov X Y 密 封 线 分数分数 10 得分得分 七 求总体的容量分别为 10 15 的两独立样本均值差的绝对值大 3 20 N 于 0 3 的概率 6628 0 21 3 0 密 封 线 河南理工大学 2009 20102009 2010 学年第 一 学期 概率论与数理统计答案 试卷 A 卷 答案和评分标准 一 一 选择题 共选择题 共 20 分分 每题每题 4 分 分 1 A 2 D 3 A 4 A 5 D 二 填空题 共二 填空题 共 20 分分 每题每题 4 分 分 1 0 2 0 5 3 13 4 5 8 9 1 三 三 10 分 分 解 以表示事件 从第一箱取零件 则表示事件 从第二箱中取零件 由已知条件HH 又以表示事件 第 次从箱中 不放回抽样 取得的是一等品 1 2P HP H i Ai 由条件故1 2i 11 1 5 3 5 P A HP A H 分数分数 10 得分得分 八 设是取自总体的一个样本 为一相应的样本值 总 12 n XXX X 12 n x xx 体的概率密度为X 1 0 0 1 0 1 x xx xf 0 试求 1 未知参数的矩估计量 2 未知参数的最大似然估计量 需要求的是 111 1 103 102 5P AP A H P HP A H P H 21 P A A 因 而 12 21 1 P A A P A A P A 121212 P A AP A A H P HP A A H P H 又因为 故有 1212 1091817 50493029 P A A HP A A H 12 21 1 P A A P A A P A 1212 1 1 P A A H P HP A A H P H P A 5 1091181711951690 0 4856 2 50492302924 49291421 四 四 10 分 分 解 1 因为不取负值 从而 若 则注意到 故 YX 故Y0y 0 0 Y fyy 若 0 1 XN 的分布函数为Y 0 0 Y FyP YyPYyPXy PyXyyy 从而 时 0y 2 1 2 2 2 y YY dd fyFyyye dydy 于是 的概率密度为 YX 2 1 2 2 0 2 0 y Y ey fy 其他 2 因为故在取值 从而时 若 注意到 2 21 YX Y 1 1y 0 Y fy 1y 故的分布函数为 0 1 XN Y 2 11 21 22 111 2 1 222 Y yy FyP YyPXyPX yyy 故1y