第2讲曲线运动的描述

1 第三节第三节 曲线运动的描述曲线运动的描述 质点的运动总是要经过一定的轨道 在第二节 讲述了描述质点运动所需 要的四个物理量 并没有涉及质点运动所经历的轨道的样式 质点的运动轨道 可以是直线 也可以是曲线 且曲线运动是常见的运动形式 因此本节将研究 如何描述质点的曲线运动 为简单起见 本节只研究平面曲线运动 即质点运 动的轨道在一个平面上 描述质点的曲线运动 就是要找出质点在曲线运动过程中的位置 速度 加速度及运动方程等的数学表示形式 1 曲线的描述曲线的描述 曲线的曲率 曲率圆 曲率半径 曲率曲线的曲率 曲率圆 曲率半径 曲率 中心 邻切角中心 邻切角 如图 1 所示 从曲线上的两个临近的点 P1 P2各引出一条切线 设两条切 线的夹角为 两点 P1 P2间的弧长为 s 那么曲线在 P1点处的曲率定义为 1 0 lim s d sds 图 1 曲线的曲率 邻切角 曲率圆 图 1 中 两个无限临近的点 P1 P2切线间的夹角 d 称为邻切角 由 1 式 看到 曲线上某点的曲率等于在此点处的邻切角 d 与元弧 ds 的比值 过 P1点可以作一个圆 若此圆的曲率等于 P1点处曲线的曲率 那么此圆 称为曲线在此点处的曲率圆 此曲率圆的半径为 2 d ds R 1 并称其为曲线在此点处的曲率半径 曲率圆的圆心 O 称为此曲线在 P1点处 ds R 2 的曲率中心 2 平面曲线运动的描述平面曲线运动的描述 在上一节 使用直角坐标系描述物体的质点的运动是较常用的方法 但是 在描述曲线运动时 直角坐标系就显得不很方便 自然坐标系则能够方便地描 述质点的曲线运动 2 1 自然坐标系 如图 2 所示 在描述曲线运动时 可以在曲线上任意选一个点 O 作为原点 沿着曲线建立一个弯曲的坐标轴 并沿着曲线指定一个正方向 人为的 随意的 这样就建立了自然坐标系 O P s O P s a b 图 2 自然坐标系 自然坐标系中常常使用两个单位矢量表示速度和加速度 切向单位矢量和 法向单位矢量 切向单位矢量切向单位矢量 沿曲线的切线且指向自然坐标 s 增加的方向的单位矢量 通常用 表示 法向单位矢量法向单位矢量 沿着曲线的法线方向且指向曲线凹侧的单位矢 量 通常用 n 表示 很明显 这两个单位矢量是相互垂直的 曲线上任意一点 P 处的切向单位矢量和法向单位矢量如图 3 所示 O P s n 图 3 和 n 注意 和 n 不是恒矢量 虽然其大小不变 皆为 1 但其方向将随着 P 点的 位置的变化而发生变化 因而 0 矢量 d dt 0 d dt n 0 2 2 自然坐标系中质点的位置及运动方程 质点相对于原点的弧长 s 就是它在此坐标系中的位置坐标 图 2a 中点 P 的 3 位置坐标为 s 而图 2b 中点 P 的位置坐标为 s 自然坐标系中 质点的运动方程为 s s t 2 3 曲线运动中质点的速度 如图 4 所示 质点沿着曲线运动 t 时刻运动到 P1点 t t 时刻运动到 P2点 当 t 0 时 r 的方向趋于 P1点的切向 而 r 的大小则等于 P1到 P2 的弧长 s 所以有 当 t 0 时 r s 根据质点速度的定义 3 00 s limlim tt ds v ttdt r v 式中 是速度的切向分量 由此看到 在曲线运动中质点的速度没 ds v dt 有法向分量 仅有切向分量 且指向物体运动的方向 P1 P2 r s v 图 4 质点的速度 2 4 曲线运动中质点的加速度 如图 5 所示 对于曲线运动 质点的加速度的方向一般不会与质点的速度 方向相同 且加速度的方向总是指向曲线凹进去的一边 O P s a 图 5 加速度的方向 利用自然坐标系 将质点运动的加速度分解成切向加速度和法向加速度是 比较方便的 下面设法进行分解 如图 6a 所示 质点沿着曲线运动 t 时刻运动到 P1点 速度为 v1 t t 时刻运动到 P2点 速度为 v2 并设曲线在 P1点处的曲率半径为 R 求质点在 P1点处的加速度 设邻切角为 弧长为 s 如图 6b 所示 将矢量 v2平移到 A 点 在矢 4 量 AC 上截取 AD AB 的长度 连接 BD BC 那么矢量 BC v 就是速度 增量 注意到 v v 反映了速度大小的增量 而矢量 BD vn则反映了速 度方向的增量 由此速度的增量可表示为 v v vn 图 6 切向加速度与法向加速度 注意 一般说来 v v 因为 v v2 v1 v v2 v1 v v2 v1 是速度大小的改变量 下面说明 极限情况下 v 是速度增量的切向分量 而 vn则是速度增 量的法向分量 在图 6c 中 当 t 0 时 0 则 ABD 90 即 vn与 P1点的切线 垂直 因而沿着曲线在 P1点的法线方向 则有 vn vn n 若令 v v1 由于 0 时 vn v 所以 vn vn n v n 图 6c 中 0 时 v 的方向与 v1方向相同 即沿着曲线在 P1点的切线方 向 于是有 v v v 由此 P1点的加速度为 000 limlimlim n ttt ttt vvv an t v t v tt 00 limlim 5 4 dvd v dtdt n 利用 2 及 3 式有 于是 4 式可写成 R v dt ds ds d dt d 5 2 n dvddvv vaa dtdtdtR a n n n 式中 是切向加速度分量 反映了速度大小的 dv dt a 2 n v R an dt dv a 变化 是法向加速度分量 反映了速度方向的变化 R v an 2 进一步 根据 3 式 有 6a 2 2 dvd s dtdt a 6b 2 n v R an 加速度的大小为 6c 22 n aa a 加速度的方向与切线方向的夹角 6d arctan n a a 国际单位制中加速度的单位为 米 秒 2 m s2 m s 2 4 本节小结本节小结 1 本节的难点是推导加速度的数学表达式 同时理解 产 n aa a n a n a 生的原因 2 使用加速度公式灵活应用解题 2 dvv dtR a n 讨论题 下列情况时 质点各作什么运动 at 等于 0 an等于 0 质点做什么运动 匀速直线运动 at 等于 0 an不等于 0 质点做什么运动 圆周运动 6 at 不等于 0 an等于 0 质点做什么运动 变速 加速 直线运动 at 不等于 0 an不等于 0 质点做什么运动 曲线运动 例题例题 1 以初速度 v0平抛一小球 不计空气阻力 求 t 时刻小球的切向加速度 法向加速度的大小及此式运动轨道的曲率半径 解 解 小球运动的加速度是已知的 为重力加速度 g 要求 t 时刻小球的切向加速 度和法向加速度 则只需要将重力加速度沿着轨道的切向和法向进行分解 如图 9 所示 对 g 进行分解时 需要求出 g 与 vn间的夹角 此夹角可以通 过求解 t 时刻球的速度得到 作平抛运动的小球 其运动可分解为水平方向的 匀速运动和垂直方向的自由落体运动 在水平方向上小球的速度为 vx v0 在 垂直方向上小球在 t 时刻的速度为 vy gt y xO v0 a an g 图 9 于是有 2 22 222 2 00 sin y v gtg t aggg v vg tvg t 0 22 2 0 cos x n vgv agg v vg t 根据 5 式关于法向加速度的定义可得 此时的轨道曲率半径为 3 22 22 22 2 0 0 xy nn vg tvv v R aagv 练习题练习题 列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶 在我们所讨论的时间范围 内 其运动学方程为 s 80t t2 长度 米 时间 秒 t 0 时 列车在点 O 处 此圆弧形轨道的半径 R 1500m 求列车驶过 O 点以后前进至 1200m 处的 速率及加速度 提示提示 以 O 点为原点建立自然坐标系 先求出运行至 1200m 处所需的时间 再由 6a 式直接求切向加速度 由 3 式求出速率后 由 6b 式求法向加速度 7 例题例题 2 质点 M 在水平面内运动轨道如图 10 所示 OA 段为直线 AB 和 BC 段 分别为不同半径的两个 1 4 圆周 设 t 0 时 M 在 O 点 其运动方程为 S 30t 5t2 SI 求 t 2 秒时质点 M 的切向加速度和法向加速度 解解 t 2s 时 S 80m 可知此时 M 在大圆上 质点的瞬时速率 v ds dt 30 10t m s t 2s 时 v 50m s 于是有 2 10 t dv am s dt 22 2 50 83 3 30 n v am s R 1530 an a an a O A B M C 图 10 例题例题 3 一质点在 xOy 平面内作曲线运动 其加速度是时间的函数 已知 ax 2 ay 36t2 设质点 t 0 时 r0 0 v0 0 求 1 此质点的运动方程 2 此质点的轨道方程 3 此质点的切向加速度 解解 1 由加速度求运动学方程 需要进行积分运算 x x dv a dt y y dv a dt 2 x dvdt 2 36 y dvt dt 00 2 x vt x dvdt 2 00 36 y vt y dvt dt 2 x vt 3 12 y vt 3 212vtit j x dx v dt y dy v dt 2dxtdt 3 12dyt dt 00 2 xt dxtdt 3 0012 yt dyt dt 8 2 xt 4 3yt 所以质点的运动方程为 或 2 4 3 xt yt 24 3rt