特殊三角形常见题型

1 八年级上册第二章 特殊三角形 一 将军饮马 例 1 如图 在正方形 ABCD 中 AB 9 点 E 在 CD 边上 且 DE 2CE 点 P 是对 角线 AC 上的一个动点 则 PE PD 的最小值是 A 3 B 10 C 9 D 9 1032 变式训练变式训练 1 如图 在矩形 ABCD 中 AD 4 DAC 30 点 P E 分别在 AC AD 上 则 PE PD 的最小值是 A 2 B 2 C 4 D 3 8 3 3 2 如图 AOB 30 P 是 AOB 内一定点 PO 10 C D 分别是 OA OB 上的动点 则 PCD 周长的 最小值为 3 如图 AOB 30 C D 分别在 OA OB 上 且 OC 2 OD 6 点 C D 分别是 AO BO 上的动点 则 CM MN DN 最小值为 4 如图 C 为线段 BD 上一动点 分别过点 B D 作 AB BD DE BD 连结 AC CE 1 已知 AB 3 DE 2 BD 12 设 CD x 用含 x 的代数式表示 AC CE 的长 2 请问点 C 满足什么条件时 AC CE 的值最小 并求出它的最小值 3 根据 2 中的规律和结论 请构图求出代数式 的最小值 2 4 8 2 16 二 等腰三角形中的分类讨论 例 2 1 已知等腰三角形的两边长分别为 8cm 和 10cm 则它的周长为 2 已知等腰三角形的两边长分别为 8cm 和 10cm 则它的腰长为 3 已知等腰三角形的周长为 28cm 和 8cm 则它的底边为 变式训练变式训练 1 已知等腰三角形的两边长分别为 3cm 和 7cm 则周长为 2 已知等腰三角形的一个角是另一个角的 4 倍 则它的各个内角的度数为 3 已知等腰三角形的一个外角等于 150 则它的各个内角的度数为 4 已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 25 则它的各个内角的度数 5 已知等腰三角形底边为 5cm 一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3cm 则腰长为 6 在三角形 ABC 中 AB AC AB 边上的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得的锐角为 40 则底角 B 的度数为 E BC AD P 第 2 题 B O A P C D 第 1 题 B O A C DM N 第 3 题 BD A E C 2 3 4 6 7 如图 A B 是 4 5 的网格中的格点 网格中每个小正方形的边长都是单 位 1 请在图中清晰地标出使以 A B C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有 格点 C 的位置 三 两圆一线定等腰 例 3 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 2 3 在坐标轴上找一点 P 使得 AOP 是等腰三角形 则这样的点 P 共有 个 变式训练变式训练 1 在平面直角坐标系xOy 中 已知点 A 1 在坐标轴 3 上找一点 P 使得 AOP 是等腰三角形 则符合条件的点P 的个 数为 A 5 B 6 C 7 D 8 2 在平面直角坐标系中 若点 A 2 0 点 B 0 1 在坐标轴上找 一点 C 使得 ABC 是等腰三角形 这样的点 C 可以找到 个 3 在坐标平面内有一点 A 2 O 为原点 在 x 轴上找一点 B 使 O A B 为顶点的三角形为等 3 腰三角形 写出 B 点坐标 4 平面直角坐标系中 已知点 A 4 2 B 4 3 试在 y 轴上找一点 P 使 APB 为等腰三角形 求 点 P 的坐标 5 如图 1 已知一次函数 分别与 x y 轴交于 A B 两点 过点 B 的直线 BC 交 x 轴负半轴 与点 C 且 OC OB 1 2 1 求直线 BC 的函数表达式 2 如图 2 若 ABC 中 ACB 的平分线 CF 与 BAE 的平分线 AF 相交于点 F 求证 AFC ABC 1 2 3 在 x 轴上是否存在点 P 使 ABP 为等腰三角形 若存在 请直接写出 P 点的坐标 若不存在 请说 明理由 A B x y O 3 四 折叠问题 例 4 如图 在矩形 ABCD 中 AB 6 BC 8 将矩形折叠 使得点 D 落在线 段 BC 的点 F 处 则线段 DE 的长为 变式训练变式训练 1 如图 在矩形 ABCD 中 AB 6 BC 8 将矩形折叠 使得点 B 落在对角线 AC 的点 F 处 则线段 BE 的 长为 2 如图 在矩形 ABCD 中 AB 6 BC 8 沿 EF 将矩形折叠 使 A C 重合 若 则折痕 EF 的长为 3 如图 在矩形 ABCD 中 AB 6 BC 8 沿 AC 将矩形折叠 使得点 B 落在点 E 处 则线段 EF 的长为 4 如图 将边长为 4 的正方形纸片 置于平面直角坐标系内 顶点 A 在坐标原点 AB 在 x 轴正方向上 E F 分别是 AD BC 的中点 M 在 DC 上 将 ADM 沿折痕 AM 折叠 使点 D 折 叠后恰好落在 EF 上的 P 点处 1 求点 M P 的坐标 2 求折痕 AM 所在直线的解析式 3 设点 H 为直线 AM 上的点 是否存在这样的点 H 使得以 H A P 为顶点 的三角形为等腰三角形 若存在 请直接写出点 H 的坐标 若不存在 请说明理 由 例 5 如图 在 ABC 中 BD CE 分别是边 AC AB 上的高线 1 如果 BD CE 那么 ABC 是等腰三角形 请说明理由 2 如果 A 60 取 BC 中点 F 连结点 D E F 得到 DEF E D C A B F E F D C A B 第 1 题 E F G D C A B 第 2 题 F E D C A B 第 3 题 4 请判断该三角形的形状 并说明理由 3 如果点 G 是 ED 的中点 求证 FG DE 变式训练变式训练 1 如图 点 M 是 Rt ABC 斜边 BC 的中点 点 P Q 分别在 AB AC 上 且 PM QM 1 如图 1 若 P Q 分别是 AB AC 的中点 求证 PQ2 PB2 QC2 2 如图 2 若 P Q 分别是线段 AB AC 的动点 不与端点重合 1 中的结论还成立吗 若成立请给 与证明 若不成立请说明理由 2 问题发现 如图 1 ACB 和 DCE 均为等边三角形 点 A D E 在同一直线上 连接 BE 1 求证 ACD BCE 2 填空 AEB 的度数为 拓展探究 如图 2 ACB 和 DCE 均为等腰三角形 ACB DCE 90 点 A D E 在同一直线上 点 M 为 AB 的中点 连接 BE CM EM 求证 CM EM 5 全等之三垂直 K 型图 例 1 如图 已知 AC CF EF CF AB BE AB BE 求证 AC BF BC EF 1 如图 已知 AC CF EF CF AB CE AC CF 求证 AB CE 2 已知 AC CF EF CF AG CE AG CE 求证 AG CF 3 如图 已知 AE BD CD BD ABC 90 AB AC 求证 AE BD BE CD 4 如图 点 A 是直线 在第一象限内的一点 连接 OA 以 OA 为斜 边向上作等腰直角三角形 OAB 若点 A 的横坐标为 4 则点 B 的坐标为 5 已知 如图 点 B C E 在同一条直线上 B E 60 ACF 60 且 AB CE 证明 ACB CFE 全等之手拉手模型 例 1 在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形 ABD 和 BCE 连接 AE 与 CD 证明 1 ABE DBC 2 AE DC 3 AE 与 DC 的夹角为 60 1 2 3 E A B D C G F E C A B G F E C A 60 60 60 F A BE C H F G E D A B C 6 4 AGB DFB 5 EGB CFB 6 BH 平分 AHC 7 GF AC 1 如果两个等边三角形 ABD 和 BCE 连接 AE 与 CD 证明 1 ABE DBC 2 AE DC 3 AE 与 DC 的夹角为 60 4 AE 与 DC 的交点设为 H BH 平分 AHC 2 如果两个等边三角形 ABD 和 BCE 连接 AE 与 CD 证明 1 ABE DBC 2 AE DC 3 AE 与 DC 的夹角为 60 4 AE 与 DC 的交点设为 H BH 平分 AHC 3 如图 两个正方形 ABCD 和 DEFG 连接 AG 与 CE 二者相交于 H 问 1 ADG CDE 是否成立 2 AG 是否与 CE 相等 3 AG 与 CE 之间的夹角为多少度 4 HD 是否平分 AHE H E F AD B C G E B D A C H E B D A C 7 4 如图两个等腰直角三角形 ADC 与 EDG 连接 AG CE 二者相交于 H 问 1 ADG CDE 是否成立 2 AG 是否与 CE 相等 3 AG 与 CE 之间的夹角为多少度 4 HD 是否平分 AHE 5 两个等腰三角形 ABD 与 BCE 其中 AB BD CB EB ABD CBE a 连接 AE 与 CD 问 1 ABE DBC 是否成立 2 AE 是否与 CD 相等 3 AE 与 CD 之间的夹角为多少度 4 HB 是否平分 AHC 钢架中的等腰三角形 例 1 如图钢架中 A 10 焊上等长的钢条来加固钢架 若 AB BC CD DE 一直作下去 那么图中这样的钢条至多需要 根 1 如图钢架中 焊上等长的钢条 P1P2 P2P3 P3P4 P4P5 至多需要 8 根加 固钢架 若 P1A P1P2 则 A 2 如图钢架 BAC 中 焊上等长的钢条来加