14.5等腰三角形的性质

14 5 1 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 教学目标教学目标 1 经历观察 操作 猜想 说理等活动 发现 归纳等腰三角形 等边对等角 等腰三角形三线合一 的重要性质 体会实验归纳和逻辑推理这两种研究 方法的联系与区别 2 会用演绎法对等腰三角形的性质进行说理 3 会运用等腰三角形的性质 提高计算和推理能力并体会分类讨论的思想 教学重点教学重点 1 等腰三角形的性质的探索和应用 教学难点教学难点 1 等腰三角形的性质的应用 教学过程教学过程 一 情景引入一 情景引入 问题问题 1 前面我们学习过一般三角形的那些方面 前面我们学习过一般三角形的那些方面 边 任意两边之和大于第三边 角 三角形内角和为 180 度 特殊线段 中线 角平分线 高 问题问题 2 什么叫等腰三角形 什么叫等腰三角形 定义 两条边相等的三角形叫做等腰三角形 有两边相等 问题问题 3 我们在上学期已经学过了等腰三角形是轴对称图形 那么利用轴对称 性 你是否能够剪出一个等腰三角形 动手操作 一张长方形的纸片 利用轴对称性剪一个等腰三角形 说明说明 1 剪刀剪过的两边是相等的 归纳相关概念 相等的两条边是它的腰腰 第三边为底边底边 两腰的夹角是顶角顶角 腰的对角是底角底角 问题问题 4 对于等腰三角形来说 比一般三角形多了一个条件 两条边相等 请同学们猜想一下 这个条件会带来那些特殊的性质呢 操作观察 操作观察 将刚才剪下来的 ABC 沿刚才的折痕 AD 翻折 猜想猜想 B C 等腰三角形两底角相等 BD CD AD 为底边上的中线 AD BC AD 为底边上的高 BAD CAD AD 为顶角平分线 ABC 为轴对称图形 二 新课探索二 新课探索 问题问题 5 刚刚我们从操作的角度感知了等腰三角形的这些结论 下面我们从数 学说理的角度来证明对于任意等腰三角形 这些结论都是成立的 已知 如图 在已知 如图 在 ABC ABC 中 中 ABAB AC AC 说明说明 B B C C 的理由 的理由 分析 要证角相等 有两条思路可以考虑 分析 要证角相等 有两条思路可以考虑 三线八角三线八角 全等全等 为证 B C 得把 B C 放在两个全等三角形里 需要添 加辅助线构造符合证明要求的两个三角形 设计意图设计意图 几何教学的功能 不仅仅是学会做题 而应学习思考问题的方式 引导学生 多种方法解题 可以训练学生的发散思维 等腰三角形性质等腰三角形性质 1 1 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形的两个底角相等 简写成简写成 等边对等角等边对等角 符号语言 符号语言 在在 ABC ABC 中 中 AB AC AB AC 已知已知 B C B C 等边对等角等边对等角 要证角相等 要证角相等 1 1 三线八角 三线八角 2 2 全等 全等 3 3 等边对等角 等边对等角 3 3 目标检测目标检测 在等腰三角形中 1 一个底角为 40 则它的另外两个角为 40 和 100 2 一个角为 40 则它的另外两个角为 70 70 或 40 100 分析分析 已知角是 40 可以是顶角 也可以是底角 所以需要分两种情况进行 讨论 当已知角 40 为顶角时 这时需求出两个底角 180 40 70 当 已知角是底角时 这时需求出另一个底角和一个顶角 另一个底角也为 40 顶角为 180 2 40 100 3 一个角为 110 那么它的另外两个角为 35 35 设计意图设计意图 分类讨论思想 培养学生分析问题的有序性 四 新课探索四 新课探索 问题问题 6 6 在前面的实验操作中 我们还发现 AD 即是等腰三角形 ABC 的顶角平 分线也是底边上的高和中线 接下来我们我们就通过说理来证明这一猜想 1 已知 AD 是等腰 ABC 的顶角平分线 求证 AD 是底边上的高和中线 分析分析 在上面证明 等边对等角 的过程中 当添加的辅助线是顶角平分线时 我们由全等得到了 B C 还可以得到继续得到 BD CD AD BC 2 已知 AD 是等腰 ABC 的底边上的中线 求证 AD 是底边上的高和顶角平分 线 分析分析 在上面证明 等边对等角 的过程中 当添加的辅助线是底边上的中线 时 我们由全等得到了 B C 还可以得到继续得到 BAD CAD AD BC 3 已知 AD 是等腰 ABC 的底边上的高 求证 AD 是底边上的中线和顶角平分 线 分析分析 在上面证明 等边对等角 的过程中 当添加的辅助线是底边上的高时 不能证明全等 那么我们如何来证明这一命题呢 生 生 结合性质一利用 A A S 证明全等 从而得到 BD CD BAD CAD 等腰三角形性质等腰三角形性质 2 2 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互 相重合 相重合 简记为 简记为 等腰三角形的三线合一等腰三角形的三线合一 符号语言 符号语言 在在 ABC ABC 中 中 ABAB ACAC 且且 ADAD 平分平分 BAC BAC 已知已知 AD BC AD BC BDBD CDCD 等腰三角形三线合一 等腰三角形三线合一 在在 ABC ABC 中 中 ABAB ACAC 且且 BDBD DC DC 已知已知 BAD BAD CAD CAD AD BCAD BC 等腰三角形三线合一 等腰三角形三线合一 在在 ABC ABC 中 中 ABAB ACAC 且且 AD BC AD BC 已知已知 BADBAD CADCAD BDBD CDCD 等腰三角形三线合一 等腰三角形三线合一 说明说明 2 等腰三角形三线合一是难点 要剖析这个性质里的条件和结论 所 以设计成填空的形式 让学生填空 证角相等 证角相等 1 三线八角 2 全等 3 等边对等角 等边对等角 4 等腰三角形三线合一 等腰三角形三线合一 设计意图设计意图 引导学生及时将所学知识纳入知识体系中引导学生及时将所学知识纳入知识体系中 H C ED B A DE A C B 问题问题 7 7 前面我们已经通过实际操作得到了等腰三角形是轴对称图像 也从等 腰三角形性质 2 中得到了顶角平分线 底边中线 底边高重合 ABD ACD 那么等腰三角形的对称轴是什么 让学生归纳 从而可以得到 等腰三角形是轴对称图形 对称轴是 顶角角平分线所在直线 底边中线所在直线 底边高所在直线 说明说明 3 学生在初一第一学期学习轴对称图形时 已经知道了等腰三角形是 轴对称图形以及等腰三角形的对称轴 所以在这里设计成填空形式 回忆并进 行巩固 在此 要强调对称轴是直线线型 所以等腰三角形的对称轴还可以是 底边中线所在直线和底边高所在直线 等腰三角形性质等腰三角形性质 3 3 等腰三角形为轴对称图形 对称轴为顶角平分线所在直线 等腰三角形为轴对称图形 对称轴为顶角平分线所在直线 或底边上的高所在直线或底边上的中线所在直线 或底边上的高所在直线或底边上的中线所在直线 四 巩固练习 四 巩固练习 例题 已知 如图 在 ABC 中 AB AC 点 D E 为线 段 BC 上的点 AD AE 请说明 BE CD 的理由 设计意图设计意图 考查等腰三角形性质的运用 该题解法不唯一 一题多解 开放探究 通过 开放探究达到自主学习的目的 发散学生思维 该题有一定难度 大多数学生会仅仅停留 在对于图形的第一感觉 而忽视了灵活运用已学知识和新学知识 法法 1 该题结合 全等三角形的判定 和 等边对等角 可以解决 法法 2 等腰三角形 三线合一 应用十分广泛 在遇到等腰三角形的问题时 尝 试作这条辅助线 常常会有意想不到的效果 证明方法一 证明方法一 AB AC 已知 B C 等边对等角 AD AE 已知 ADE AED 等边对等角 在 ABE 与 ACD 中 已知 已证 已证 ACAB DB ADEAED ABE ACD A A S BE CD 全等三角形的对应边相等 证明方法二 证明方法二 过点 A 作 AHBC 于 H 则 AHDE 在 ADE 中 AD AE AHDE 已知 DH EH 等腰三角形三线合一 在 ABC 中 A