新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案

北师大版 八年级数学下册教学案 第 1 页 共 37 页 第五章第五章 分式与分式方程分式与分式方程 1 1 认识分式 一 认识分式 一 知识技能基础目标知识技能基础目标 学生在小学学过分数 其实分式是分数的 代数化 所以其性质与运算是完全类 似的 在前面的学习中学生已经学会用字母表示实际问题中的数量关系 其中包括整 式与分式等数量关系 过程与方法目标过程与方法目标 在整式的学习中 学生初步具备了用整式表示现实情境中的数量关系 建立数学 模型的思想 在相关的学习中学生初步具备了观察 归纳 类比 猜想的能力以及自 主探索 合作交流的能力 情感与价值观目标情感与价值观目标 从实际生活情景出发 让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程 根据 三维教学目标及新课程标准的要求 结合当前学生的心理特点以及现有的认知水平 教学重点教学重点 1 了解分式的概念 明确分式和整式的区别 2 让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程 体会分式是表示现实世 界中的一类量的数学模型 教学难点教学难点 分式有意义 无意义 值为零三者的区别 教学方法教学方法 师生共同讨论法 教师引导 主要由学生分组讨论得出结果 教学过程教学过程 本节课共设计了 6 个教学环节 知识准备 情景引入 自主探索 练习提高 课堂反馈 自我小结 第一环节第一环节 知识准备知识准备 活动内容 温故而知新 问题 下列子中那些是整式 a 3x2y3 5x 1 x2 xy y2 ab cm a a y xy nm 3 19 2 北师大版 八年级数学下册教学案 第 2 页 共 37 页 活动目的 因为分式概念的学习是学生通过观察 比较分式与整式的区别从而获得分式的概 念 所以必须熟练掌握整式的概念 注意事项 学生能够比较准确的找出哪些是整式 有些学生会简单的认为 分数 形式的代 数式不是整式 其实这不是判别的关键 而是看分母中是不是含有字母 第二环节第二环节 情景引入情景引入 活动内容 以一个 土地沙化 的问题情景引入 让学生思考讨论 用式分式表达题目中的数量 关系 问题情景 1 面对目前严重的土地沙化问题 某县决定分期分批固沙造林 一 期工程计划在一定期限内固沙造林 2400 公顷 实际每月固沙造林的面积比原计划 多 30 公顷 结果提前完成一原计划的任务 这一问题中有哪些等量关系 如果设原计划每月固沙造林 x 公顷 那么原计划完成一期工程需要 个月 实际完成一期工程用了 个月 问题情景 2 新华书店库存一批图书 其中一种图书的原价是每册 a 元 现 降价 x 元销售 当这种图书的库存全部售出时 其销售额为 b 元 降价销售开始时 新华书店这种图书的库存量是多少 活动目的 让学生进一步经历探索实际问题中的数量关系的过程 通过问题情景 让学生初步 感受分式是解决问题的一种模型 体会分式的意义 发展符号感 注意事项 要给学生一定的思考时间 让学生积极投身于问题情景中 根据学生的情 况教师可以给予适当的提示和引导 第三环节第三环节 自主探索自主探索 活动内容 以小组的形式对前面出现的分式进行讨论后得出分式的概念 体会分式的意义 讨论内容 对前面出现的代数式如下 它们有什么共同特征 它们与整式有什么不同 活动目的 让学生通过观察 归纳 总结出整式与分式的异同 从而得出分式的概念 xa b xx 3 2400 2400 北师大版 八年级数学下册教学案 第 3 页 共 37 页 第四环节第四环节 练习提高练习提高 活动内容 例题 1 当 a 1 2 时 分别求分式 的值 解 1 当 a 1 时 2 当 a 2 时 2 当 a 取何值时 分式 有意义 解 当分母的值为零时 分式没有意义 除此以外 分式都有意义 由分母 2a 0 得 a 0 所以 当 a 取零以外的任何数时 分式 都有意义 活动目的 让学生体会分式的意义 理解如果 a 的取值使得分母的值为零 则分式没有意 义 反之有意义 注意事项 通过例题讲解 让学生从两方面来理解 一是分式分式中的字母可以表示使分式有意 义的任何数 二是分式可与分数类比 分式的分母也不能为零 学生基本能够通过计 算出分式的值 但对于分式什么条件下有意义 一下子掌握还有一定的难度 需要通 过与分数进行类比 多举例才能理解的更深刻 第五环节第五环节 课堂反馈课堂反馈 活动内容 1 下列各式中 哪些是整式 哪些是分式 答 2 4 是整式 1 3 是分式 活动目的 考察学生对分式 整式概念的理解 注意事项 学生完成的较好 能抓住分式与整式概念的区别 准确的判断出分式 整式 活动内容 yxxy x x ba a b 2 2 1 4 4 1 3 2 2 2 1 a a 2 1 1 12 11 2 1 a a 4 3 22 12 2 1 a a a a 2 1 a a 2 1 北师大版 八年级数学下册教学案 第 4 页 共 37 页 2 x 取什么值时 下列分式无意义 解 1 因为当分母的值为零时 分式没有意义 由 2 x 3 0 得 x 2 3 所以当 x 时 分式无意义 2 3 2 因为当分母的值为零时 分式没有意义 由 5x 10 0 得 x 2 所以当 x 2 时 分式无意义 活动目的 让学生体会分式的意义 知道如果 a 的取值使的分母的值为零 则分式 没有意义 反之有意义 3 把甲 乙两种饮料按质量比 x y 混合在一起 可以调制成一种混合饮料 调制 1 千克这种混合饮料需多少甲种饮料 活动目的 体会分式可以表示现实情景中的数量关系 分式是表示现实世界中的一类 量的数学模型 学会列分式 注意事项 注意事项 学生通过类比分数的分母不能为零 基本能理解分式的分母也不能为 零 在学习中 有些学生错误的理解为只是分式的分母中的字母不为零 应该及时纠 正 是整个分母不为零分母可能是单项式 也可能是多项式 第六环节第六环节 课堂小结课堂小结 一 活动内容 这节课你有哪些收获 1 学习了分式的概念 掌握了整式与分式的异同 2 知道当分式的分母不等于零时分式才有意义 3 在学习新知识时 可把它与所学的旧知识比较 通过观察 类比 归纳它们的 异同的方法来学习新知识 4 我们应该多种树 保护人类生存环境 二 布置作业 完成 学考精练 相应练习 教学反思教学反思 1 概念的创新教学 32 1 x x 105 1 2 x x 北师大版 八年级数学下册教学案 第 5 页 共 37 页 在学习分式概念时 避免传统教学中对于概念直接给出 叫学生死记硬背 忽略了 学生学的过程 也不考虑学生是否真正理解 本课时是让学生通过观察 归纳 总结 整式与分式的异同 从而得出分式概念 2 注重能力培养 新课标注重学生探索 创新 合作能力的培养 本课时观察分式与整式的异同时 就是采取学生自主探索 合作交流的形式 3 课堂反馈效果良好 对学生学习效果的反馈采用有我校特色的 举反馈牌 的方法 能较全面的了解学 生的学习情况 对不足之及时补充 有良好效果 4 需要加强的方面 在学习中 要注意观察学生的情感变化 是否遇到困难 积极性 热情是否发挥 出来 投入的程度有多少 是否每个学生都参与其中等等 作为教师应时刻关注这些 以便适时的引导他们 调动他们 鼓励他们 北师大版 八年级数学下册教学案 第 6 页 共 37 页 1 1 认识分式 二 认识分式 二 知识与技能目标 知识与技能目标 学生在上节课了解了分式的概念 在小学学过分数的基本性质 所以可类比分数 的基本性质来学习分式的基本性质 初步掌握了类比的学习方法 过程与方法目标 过程与方法目标 在相关的学习中初步具备了观察 归纳 类比 猜想的能力以及自主探索 合作 交流的能力 情感态度与价值观目标 情感态度与价值观目标 1 理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分 2 通过对分式的基本性质的归纳 培养学生观察 类比 推理的能力 3 让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流 进一步发展学生合作交流的能 力和数学表达能力 教学重点 教学重点 理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分 教学难点 教学难点 分式的基本性质的正确应用 教学方法教学方法 师生共同讨论法 教师引导 主要由学生分组讨论得出结果 教学过程教学过程 本节课设计了六个环节 知识准备 情景引入 例题讲解 课堂反馈 课堂小结 第一环节第一环节 知识准备知识准备 活动内容 复习分数的基本性质 北师大版 八年级数学下册教学案 第 7 页 共 37 页 问题 的依据是什么 2 1 6 3 活动目的 通过分数的约分复习分数的基本性质 通过类比来学习分式的基本性质 注意事项 学生对于分数的基本性质掌握较好 基本能说出分数的分子分母同时乘以或除以同一 个不为零的数 分数的值不变 第二环节第二环节 情景引入情景引入 活动内容 通过对上题的回答 来回答本题 寻求两者之间的联系 与同伴讨论交流 从而归纳 出分式的基本性质 问题 你认为分式与相等吗 与呢 a a 6 3 2 1 mn m2 m n 活动目的 让学生通过观察 类比 推理出分式的基本性质 并让学生明白类比的理由是字母可 以表示任何数 注意事项 通过对分数的基本性质的理解 可类比得出分式的基本性质 但学生只想到分式的分 子分母同时乘以或除以一个数 不容易想到整式 另外这个整式不能为零 老师要引 导学生想到这一点 第三环节第三环节 例题讲解例题讲解 活动内容 例 1 下列等式的右边是怎样从左边得到的 1 2 0 22 y xy by x b b a bx ax 例 2 化简下列分式 1 2 ab cab2 12 1 2 2 xx x 活动目的 通过例 1 加深学生对分式的基本性质的理解和应用 例 2 让学生了解把一个分式的分 子和分母的公因式约去 这种变形称为分式的约分 分子和分母已没有公因式 这样 北师大版 八年级数学下册教学案 第 8 页 共 37 页 的分式称为最简分式 引导学生找出他们的公因式 并学会利用分式的基本性质进行 约分 使结果为最简分式或整式 注意事项 有的学生在应用分式的基本性质时往往分式的分子与分母没有同时乘以或除以同一个同一个 公因式公因式 有些学生不能正确找到分子 分母的公因式 导致约分的错误和不彻底 实际教学例 1 下列等式的右边是怎样从左边得到的 1 2 0 22 y xy by x b b a bx ax 第四环节第四环节 课堂反馈课堂反馈 活动内容 做一做做一做 1 填空 1 2 yxyxyx x 2 1 4 2 2 y y 2 化简 1 2 yx xy 2 20 5 bab baa 议一议议一议 在时 米仓和阿呆出现了分歧 米仓认为 而阿呆认为 yx xy 2 20 5 yx xy 2 20 5 2 20 5 x x 你对他们的做法有何看法 与同伴交流 yx xy 2 20 5 xxyx xy 4 1 54 5 活动目的 通过做一做 和议一议 检查学生对分式的约分的掌握情况 对于错误及时指出并纠 正 注意事项 在教学中让学生将约分的步骤分为这样几步 首先将找出分子和分母公因式并提取 再将分式的分子和分母同时除以公因式 最后看看结果是否为最简分式或整式 第五环节第五环节 课堂小结课堂小结 北师大版 八年级数学下册教学案 第 9 页 共 37 页 1 这节课你有哪些收获 注意事项 在小结时学生能总结出本节课的重点是分式的基本性质 利用它可将分式化简 教师 还可引导学生归纳出分式约分的步骤一是确定分子和分母的公因式 二是利用分式的 基本性质 将分子和分母的整体都除以公因式 类比的学习方法是学习新知识时常用 的方法 让学生熟悉和初步掌握这种方法 2 布置作业 完成 学考精练 相应练习 教学反思教学反思 1 在分式的约分教学中 要及时发现学生的错误 并当作错误例题进行全班范围的分 析 找出原因 让其他学生也认识到这种错误 不能只是改正答案 2 在让学生小组讨论之前应给学生一定的时间独立思考 不要让一些思维活跃的同学 的回答代替了其他学生的思考 从而掩盖了其他学生的疑问和错误 教师应对学生的 讨论给予引导 对学习困难的学生给予及时的帮助 是小组合作学习更具实效性 3 找公因式是约分的关键 应设计一些找公因式的练习 作为铺垫 这样学生可能对 约分掌握得更好 北师大版 八年级数学下册教学案 第 10 页 共 37 页 2 2 分式的乘除法 分式的乘除法 知识技能基础目标 知识技能基础目标 学生在小学已经学过分数的乘除法 掌握了分数的乘除法法则 在学习分式的乘 除法法则时可通过与分数的乘除法法则进行类比学习 在前面学习了整式乘法和因式 分解 为分式的运算和结果的化简奠定基础 过程与方法目标 过程与方法目标 让学生初步具备观察 分析 归纳的能力和类比的学习方法 情感态度与价值观目标 情感态度与价值观目标 1 类比分数的乘除运算法则 探索分式的乘除运算法则 2 理解分式的乘除运算法则 会进行简单的分式的乘除法运算 3 能解决一些与分式有关的简单的实际问题 4 通过师生讨论 交流 培养学生合作探究的意识和能力 教学重点 教学重点 进行简单的分式的乘除法运算 教学难点 教学难点 对于分子 分母是多项式的分式的乘除法的运算时 一般先分解因式 并在运算 过程中约分 教学方法教学方法 师生共同讨论法 教师引导 主要由学生分组讨论得出结果 教学过程教学过程 第一环节第一环节 复习旧知识复习旧知识 复习小学学过的分数的乘除法运算 活动内容 1 计算 并说出分数的乘除法的法则 北师大版 八年级数学下册教学案 第 11 页 共 37 页 1 2 8 21 7 4 9 4 5 2 分数乘以分数 用分子的积做积的分子 分母的积做积的分母 分数除以分数 把除 数的分子分母颠倒位置 与被除数相乘 活动目的 复习小学学过的分数的乘除法运算 为学习分式乘除法的法则做准备 教学效果 学生能准确的说出分数的乘除法运算法则 第二环节第二环节 引入新课引入新课 活动内容 97 25 9 2 7 5 53 42 5 4 3 2 27 95 2 9 7 5 9 2 7 5 43 52 4 5 3 2 5 4 3 2 猜一猜 c d a b c d a b 你能总结分式乘除法的法则吗 与同伴交流 cb da c d b a db ca d c b a c d b a 分式的乘除法的法则 两个分式相乘 把分子相乘的积作为积的分子 把分母相乘的积作为积的分母 两个分式相除 把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 活动目的 让学生观察运算 通过小组讨论交流 并与分数的乘除法的法则类比 让学生自 己总结出分式的乘除法的法则 教学效果 通过类比分数的乘除法的法则 学生明白字母代表数 这样很顺利的得出分式的 乘除法的法则 第三环节第三环节 知识运用知识运用 活动内容 北师大版 八年级数学下册教学案 第 12 页 共 37 页 例题 1 1 2 2 2 62 83 ay ya 2 21 22 a aaa 例题 2 1 2 x y xy 2 2 6 2 4 1 44 1 2 2 2 a a aa a 活动目的 通过例题讲解 使学生会根据法则 理解每一步的算理 从而进行简单的分式的乘 除法运算 并能解决一些与分式有关的简单的实际问题 增强学生代数推理的能力 与应用意识 需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式 对 于这一点 很多学生在开始学习分式计算时往往没有注意到结果要化简 教学效果 学生能将算式对照乘除法的法则进行运算 在运算结果中 如果不是最简分式往往 忘记约分 因式分解在分式约分中起到重要作用 对于分子 分母是多项式的分式 的乘除法的运算时 一般先分解因式 并在运算过程中约分 可以是运算简化 活动内容 例题 3 通常购买同一品种的西瓜时 西瓜的质量越大 花费的钱越多 因此人们希望西瓜 瓤占整个西瓜的比例越大越好 假如我们把西瓜都看成球形 并把西瓜瓤的密度看成 是均匀的 西瓜的皮厚都是 d 已知球的体积公式为 其中 R 为球的半径 3 3 4 RV 那么 1 西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少 2 西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少 3 你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算 与同伴交流 活动目的 能解决一些与分式有关的简单的实际问题 教学效果 通过以上例题帮助学生总结出分式乘除法的运算步骤 当分式的分子与分母都是单项式时 北师大版 八年级数学下册教学案 第 13 页 共 37 页 1 乘法运算步骤是 用分子的积做积的分子 分母的积做积的分母 把分式 积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式 如果分子 或分母 的符号是负号 应把负号提到分式的前面 约分 2 除法的运算步骤是 把除式中的分子与分母颠倒位置后 与被除式相乘 其它 与乘法运算步骤相同 当分式的分子 分母中有多项式 先分解因式 如果分子与分母有公因式 先约分再计算 如果分式的分子 或分母 的符号是负号时 应把负号提到分式的前面 最后的计算结果必须是最简分式 第四环节第四环节 课堂反馈课堂反馈 活动内容 化简 1 2 3 2 ab b a 1 2 a a aa 2 2 11 y x y x 对本节知识进行巩固练习 教学效果 在总结出分式乘除法的运算步骤后 大部分学生能很好的掌握 但是还有些学生忘记 运算结果要化成最简形式 老师要及时提醒学生 式的知识没掌握好 将会影响到分 式的运算 所以有的学生有必要复习和巩固一下分解因式的知识 第五环节第五环节 课堂小结课堂小结 一 活动内容 1 分式的乘除法的法则 2 分式运算的结果通常要化成最简分式或整式 3 学会类比的数学方法 二 布置作业 完成 学考精练 相应练习 教学反思教学反思 1 学生对于法则的运用不难 但是较差班级的学生在运用法则计算时遇到单项 北师大版 八年级数学下册教学案 第 14 页 共 37 页 式乘单项式 单项式乘多项式或多项式乘多项式即整式的乘法运算时 情况较差 另 外在结果的化简上存在问题 化简意识不够 应该在复习分数的乘除法时复习分数的 约分 通过对分数的约分类比分式的约分 加强化简意识和能力 还有因式分解的基 础知识不扎实 这些直接影响这节课的学习 这充分体现了数学知识是相关相联的 所以课前有必要巩固整式的乘法运算和因式分解这两方面的知识 进行有针对的练习 2 类比的学习方法是学习新知识的好方法 北师大版 八年级数学下册教学案 第 15 页 共 37 页 3 3 分式的加减法 一 分式的加减法 一 知识与技能目标 知识与技能目标 由分数加减运算类比分式的加减是这节内容的重要内容 过程与方法目标 过程与方法目标 经历过类比和猜测的活动 如实数的加减运算类比整式的合并同类项 由在 n 10 时的值的情况去猜测时的情况 由正整数相乘去发现规律猜测与负整数的0 n0 n 乘法等 这些活动经验都为本节学习有很好的启迪 情感态度与价值观目标 情感态度与价值观目标 1 类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则 2 理解同分母的分式加减法的运算法则 能进行同分母的分式加减及分母互为 相反式的分式加减法运算 3 通过学习认识数与式的联系 理解事物拓延的内在本质 丰富数学情感与思 想 教学方法教学方法 师生共同讨论法 教师引导 主要由学生分组讨论得出结果 教学过程教学过程 第一环节第一环节 情景引入情景引入 活动内容活动内容 做一做 3 2 3 1 7 2 7 1 8 3 8 1 12 5 12 7 猜一猜 aa 21 xx 12 bb2 5 2 3 yy3 4 3 7 活动目的 活动目的 通过做一做的几道同分母分数加减的题 引导学生用类比的思想 猜一猜 北师大版 八年级数学下册教学案 第 16 页 共 37 页 同分母分式的加减运算 并试图让学生认识其合理性 从而抛出同分母分式加减法的 运算法则 点明本节课的主要内容 活动的注意事项 活动的注意事项 通过人人都可以入手的做一做 让学生回答 可以使学生很快进入 状态又不觉得困难 而后两个运算后要约分 学生极有可能报出没有约分的答案 因 此 类比时注意引导学生 正确猜想 约分是分数的必要步骤哦 使法则的提出顺理 成章 也为后面的学习做好铺垫 运算法则 同分母的分式相加减 分母不变 把分子相加减 用式子表示为 a cb a c a b 第二环节第二环节 同分母加减同分母加减 活动内容活动内容 学习了同分母分式加减法的法则 是否会用还得先讲再练 例例 1 1 2 ab ba ab ba 2 4 2 2 xx x 3 4 nm nm nm nm 42 1 3 1 1 1 2 x x x x x x 活动目的 活动目的 教学生如何运用法则进行运算 通过这 4 道例题 让学生学会加减法运算 并注意运算时可能出现的问题 活动的注意事项 活动的注意事项 在进行运算时若分子是多项式的 分子要先带括号 再去括号后合 并同类项 运算结果也类比分数加减法的结果 要化成最简形式 即约去分子与分母 的所有公因式 化简 第三环节第三环节 练习巩固练习巩固 活动内容活动内容 练一练 1 2 3 x mn x m 1 ba bab ba a 22 2 yx yx yx yx 2 7 2 2 活动目的活动目的 通过 3 道题的演练巩固 让学生对同分母分式的加减法有更好的认识与掌握 活动的注意事项 活动的注意事项 通过学生的解答情况 对法则做进一步的讲解 力图让学生理解并 掌握同分母分式的加减法法则 第四环节第四环节 拓展提高拓展提高 北师大版 八年级数学下册教学案 第 17 页 共 37 页 活动内容活动内容 例例 2 计算 1 2 yx y yx x a a a a 1 21 1 2 练一练 1 2 3 ab b ba a 22 2 x x x 1 1 1 2 mn n nm n mn nm 22 活动目的 活动目的 这是一组分母互为相反式的分式加减的题目 实则是简单的异分母分式的 加减法 有了例题的讲解 又有练一练的巩固 应该能够掌握 第三小题有意增加难 度 在于学生能力的提高 解答时只要将后一分母前的运算符号变为相反 即可按同 分母分式的加减法法则进行运算 旨在初现异分母分式加减的运算 实则化成同分母 的分式 这要求学生能够熟练掌握 为下节课一般的异分母加减做好准备 活动的注意事项 活动的注意事项 通过例题来理解分母互为相反式的分式加减运算 改变运算符号实 质等同于乘以 1 也就是后面要讲的通分 学生刚接触肯定是略有难度 应精心讲解 耐心指导学生完成练一练 第五环节第五环节 课堂小结课堂小结 活动内容 活动内容 1 同分母分式加减法则是 同分母的分式相加减 分母不变 把分子相加减 2 学会用转化的思想将分母互为相反式的分式加减运算转化成同分母分式的加减法 3 分子是多项式时 一定记得添括号后再进行加减运算 4 类比方法很多时候是对的哦 学会用这种方法去分析和解决问题 活动目的 活动目的 结合本节课的学习 同学生一起总结主要内容喝关键点 从而使学生对所 学内容能更好的理解并掌握 激发学生学好数学的积极性 第六环节第六环节 布置作业 1 习题 5 4 2 布置作业 完成 学考精练 相应练习 教学反思教学反思 1 不能脱离教材 教材为我们提供了最基本有效的教学素材 我们应该充分挖掘这 些素材 把他们转化成本节课的实质内容 并能湿透教学目标 让学生通过对这些素 北师大版 八年级数学下册教学案 第 18 页 共 37 页 材的把握 做到举一反三 灵活运用 2 因势利导 由浅入深 鼓励学生通过与分数类比 抛出分式加减运算法则后 应该 先讲用再让用 顺水推舟给出例 2 演练结合 讲纠互补 注意对关键点的引导 3 课后多虑 作为运算 那还是应该多练 扎实基本功 毕竟课堂时间有限 3 3 分式的加减法 二 分式的加减法 二 知识与技能目标 知识与技能目标 类比异分母分数相加减对异分母分式相加减内容的学习都有了充分的铺垫 过程与方法目标 过程与方法目标 从学习字母表示数开始 学生就经历过许多从实际问题建模的思想 用代数式去 解决实际问题的经验 同时在以前的学习中 学生也经历了很多合作交流的学习过程 具有了一定的活动的经验和合作与交流的能力 情感态度与价值观目标 情感态度与价值观目标 1 会找最简公分母 能进行分式的通分 2 理解并掌握异分母分式加减法的法则 3 经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程 训练学生的分式运算能力 4 培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识 进一步通过实例发展学 生的符号感和用数学的意识 教学方法教学方法 师生共同讨论法 教师引导 主要由学生分组讨论得出结果 教学重点 教学重点 会找最简公分母 能进行分式的通分 教学难点 教学难点 理解并掌握异分母分式加减法的法则 会找最简公分母 能进行分式的通分 教学过程教学过程 第一环节第一环节 问题引入问题引入 北师大版 八年级数学下册教学案 第 19 页 共 37 页 活动内容活动内容 问题 1 同分母分式是怎样进行加减运算的 问题 2 异分母分数又是如何进行加减 问题 3 那么 你是怎么做的 aa4 13 活动目的 活动目的 通过回忆同分母分式的加减法法则 异分母分数的加减法运算 来引出本 节课的内容 同时又对问题 3 点明了类比的思想方法 使进入新知识的学习顺理成章 活动的注意事项 活动的注意事项 学生回答时应帮助辅正 对问题 2 的回答要注意引导其为问题 3 服 务 从而转入到异分母分式的加减法学习 学生在回答问题 3 时 应耐心听学生的想 法 便于后面的教学有的放矢 不盲目不一味的个人表演 第二环节第二环节 学习新知学习新知 活动内容活动内容 1 议一议 小明认为 只要把异分母的分式化成同分母的分式 异分母的分式的加减问题就变成 了同分母的分式的加减问题 小亮同意小明的这种看法 但他俩的具体做法不同 小明 aa a a a a a aa a aa a aa4 13 4 13 44 12 44 43 4 13 222 小亮 aaaaaaa4 13 4 1 4 12 4 1 4 43 4 13 你对这两种做法有何评论 与同伴交流 2 异分母分式加减法的法则 异分母的分式相加减 先通分 化为同分母的分式 然后再按同分母分式的加减法法则进行计算 用式子表示为 ac adbc ac ad ac bc c d a b 活动目的 活动目的 在很自然转到异分母分式的加减问题时 化异分母分式为同分母分式就成 为关键所在 通过议一议让学生理解最简公分母对通分好处 在讨论之后明确异分母 分式加减法的法则 直截了当让学生再次体会到类比分数的效果 进一步领悟这种思 想方法 用式子表达法则定理是数学语言的特色 应当让学生学会 活动的注意事项 活动的注意事项 这里的小明 小亮两人的做法很有代表性 也是学生在化异分母为 同分母的过程经常出现的 这就很自然提到通分的概念 引导学生类比最小公倍数确 定最简公分母 当然 从最后结果来说 都是对的 这就要求我们耐心引导 第三环节第三环节 运用新知运用新知 北师大版 八年级数学下册教学案 第 20 页 共 37 页 活动内容活动内容 例例 3 1 2 3 a a a5 153 3 1 3 1 xx2 1 4 2 2 aa a 活动目的 活动目的 通过例 3 讲解异分母分式加减法法则的应用 让学生在学习之后开始掌握 运用知识 通过不同梯度的三道例题 呈现异分母分式加减的三种形式 让学生体会 法则的运用要因题而变 而万变不离其宗 异分母分式加减法法则 活动的注意事项 活动的注意事项 在化成同分母分式的过程中 学生可能会出现一些麻烦 这要求我 们根据具体情况加以引导 关键还是一个类比思想起主导 最简公分母类比最小公倍 数 同时还要疏导学生在 3 题中出现小明的问题 开始渗透分母是多项式的且可以 进行因式分解时 应分解因式后再通分 同样 对于通分后的分子是多项式的也要先 添括号后再进行运算 第四环节第四环节 小试牛刀小试牛刀 活动内容活动内容 1 将下列各组分式通分 axx x2 3 1 1 2 96 2 9 1 2 22 aaax x x24 4 1 3 2 2 计算 b a a b 23 1 2 1 2 1 1 2 aa xy yx x y y x 22 3 活动目的 活动目的 第 1 题让学生练习通分 既是检查学生掌握找最简公分母的情况 又用来 发现学生在化成同分母中的困难 帮助老师正确引导 及时纠正 第 2 题就是考查学 生运用法则进行运算的能力 从 1 到 2 及每一小题都设置梯度上升就是为了让学生循 序渐进的掌握知识 不突兀的给学生设置障碍 以免打击学生的学习信心和兴趣 活动的注意事项 活动的注意事项 学生在完成分母是多项式的分式通分时可能会遇到困难 这时候应 该及时指导 积极鼓励 应该让学生明确通分的依据就是分数的基本性质 分母边了 分钟也要跟着变 防止学生产生畏难情绪就此放弃 在通分后分子是多项式的应提醒 学生添括号 再进行加减运算 最后结果也要约分 第五环节第五环节 分式加减的应用分式加减的应用 活动内容活动内容 例 4 小刚家和小丽家到学校的路程都是 3km 其中小丽走的是平路 骑车速度 2v km h 小刚需要走 1km 的上坡路 2km 的下坡路 在上坡路上的骑车速度为vkm h 北师大版 八年级数学下册教学案 第 21 页 共 37 页 在下坡路上的骑车速度为 3vkm h 那么 1 小刚从家到学校需要多长时间 2 小刚和小丽谁在路上花费的时间少 少用多长时间 活动目的 活动目的 通过这个实例 提高学生运用分式表达数量之间的关系 并运用分式的加 减运算解决实际问题的能力 和增强学生用数学解决问题的意识 讲解这个题目时 可以采取学生演板 大家讨论 交流的形式 给老师发现学生在用知识时真正的 症 结 所在 有助于教学的针对性 活动的注意事项 活动的注意事项 此题难度不大 关键是看学生是否会用分式表示量并解决量之间关 系的问题 同时应该关注学生的书写规范 及时指导 第六环节第六环节 拓展提高拓展提高 活动内容活动内容 用两种方法计算 x x x x x x4 22 3 2 活动目的活动目的 由同分母分式加减法到异分母分式加减法 认识过程顺理成章 而解决的 主要思想就是类比 那么学习了乘除和加减 学生也可能会好奇的问到混合运算 此 题就有此意 正常运算顺序给学生一个知识的线性联系和运用 而两种方法的提出 则是附带了乘法分配律的拓宽运用 有时候使得计算变得更加简单 应该让学生了解 另外 此题也可进一步考查学生的分式运算能力 第七环节第七环节 课堂小结课堂小结 活动内容 活动内容 1 异分母分式相加减的法则 2 通分的关键就是找最简公分母 对于分母是多项式且能够进行分解因式的要先分解 后再类比最小公倍数找最简公分母 3 通分前是单项式的分子通分后就可能是多项式了 运算时记得添括号 4 运算结果要约分 有一些运算律仍然适用 布置作业布置作业 1 P121 122 习题 5 5 2 完成 学考精练 相应练习 教学反思教学反思 1 例题和习题采取梯度设置 有助于学生循序渐进的获得知识 对知识的掌握更容 易且更牢靠 教学效果很好 北师大版 八年级数学下册教学案 第 22 页 共 37 页 2 讨论让学生更明确其理所在 容易接受 演练让老师能更好的发现学生在接受新 知识时所遇到的困难和容易犯的错误 有助于及时纠正 应该多采取这种方式 3 实际问题解决在于对数学模型的理解 对字母表示数的理解 可以在平时教学中 不时渗透 使学生用数学的意识增强 数学思想得到提升 3 3 分式的加减法 三 分式的加减法 三 知识与技能目标 知识与技能目标 同分母分式 异分母分式的加减运算及法则 因式分解 对这节课异分母分式相 加减和分式求值及应用内容的学习都有了充分的铺垫 过程与方法目标 过程与方法目标 在学习中 让学生经历合作交流的学习过程 具有了一定的活动的经验和合作与 交流的能力 情感态度与价值观目标 情感态度与价值观目标 1 会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算 2 提高学生对代数式化简变形的能力 3 能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值 4 会运用分式建立数学模型 从而解决实际问题 增强学生用数学的意思 教学重点 教学重点 会找最简公分母 能进行分式的通分 教学难点 教学难点 理解并掌握异分母分式加减法的法则 会找最简公分母 能进行分式的通分 教学方法教学方法 师生共同讨论法 教师引导 主要由学生分组讨论得出结果 北师大版 八年级数学下册教学案 第 23 页 共 37 页 教学过程教学过程 第一环节第一环节 复习引入复习引入 活动内容活动内容 问一问 同分母分式是怎样进行加减运算的 异分母分式呢 练一练 aa 14 1 2 1 1 1 2 aa a bc cb ab ba 3 活动目的 活动目的 通过回忆同分母分式 异分母分式的加减法运算法则 来加深学生对所学 知识的认识 也为这节课铺下理论基础 同时又通过练一练的三道题 检查学生对法 则的运用情况 加强对法则的理解应用 为本节课的学习扫平障碍 第二环节第二环节 学习新知学习新知 活动内容活动内容 例例 5 xxyxxy y 1 1 1 1 2 2 x x x 3 1 9 1 3 3 2 a a aa a 活动目的 活动目的 这三道题从难度上较上节课有一点攀升 涵盖了分母是多项式要先分 解再通分 分式与整式的且有整体思想的混合运算 多项但分母间分解后就有公分母 的运算 所以作为例题来讲解 也是本节课所要达到的能力目标之一 是教科书的基 本素材 同时又能巩固异分母分式加减运算的能力 应该认真讲解 活动的注意事项 活动的注意事项 在讲解应该侧重于培养分解因式找公分母的意识 注意通分后 分子的变化 再次提醒学生要加括号 第 2 小题讲解时应该注重对整体法的引导 而 不是强硬的灌输 因为逐个通分一样可以解决 可以选择在讲解后再让学生自己试试 更能体会整体思想带来的效果 或许会有更好的教学效果 第三环节第三环节 练习巩固练习巩固 活动内容活动内容 计算 1 1 2 1 x1 31 20 22 a a aa 22 2 3 nm m nm n nm m 活动目的 活动目的 通过这三题及时检验学生掌握的情况 同时巩固例题提到的一些事项 检 验学生掌握的情况 提高学生分式运算的能力 北师大版 八年级数学下册教学案 第 24 页 共 37 页 活动的注意事项 活动的注意事项 采取学生演板 老师根据情况进行点评 根据学生的表现决定是否 增加相应的练习 主要目的还是巩固异分母分式加减法的运算 备选题目 1 1 1 1 x x 22 21 20 baaab 22 2 2 3 nm m nm n nm m 第四环节第四环节 再探分式加减的应用再探分式加减的应用 活动内容活动内容 例例 6 已知 求的值 2 y x 22 2 yx y yx y yx x 与同伴交流你有几种解法 做一做 根据规划设计 某工程队准备修建一条长 1 120 m 的盲道 由于采用新 的施工方式 实际每天修建盲道的长度比原计划增加 10 m 从而缩短了工期 假设原计划每天修建盲道 x m 那么 1 原计划修建这条盲道需要多少天 实际修建这条盲道用了多少天 2 实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天 活动的注意事项 活动的注意事项 学生在完成例 6 时刻能会由于基础的原因出现困难 但那是分 式加减法的问题 前面多次提到 要扎实基础 本题关键是给学生指明两种变形途径 解决问题 1 变已知 即书中提到的由得 消元法的思想去解决 2 变2 y x yx2 所求 即将要求的式子朝已知的形式去变形 讲解时老师应该点明这两种主导思想 而做一做 大多数同学对第一问没什么大的问题 但在第二问时 有些同学弄不清哪 个减哪个数 有的用原计划减去实际的 也有的用实际减去原计划 关键是没把握谁 大谁小 总结时可点明在分子相同的情况下 又都是正数 就看分母 分母越大 分 式越小 反之 分母越小 分式越大 如 而最后的几天一定是正 5151 24xx 0 x 数 所以一定用大数减小数 明白这一点对后面的分式方程有极大的帮助 第五环节第五环节 巩固提高巩固提高 活动内容活动内容 1 先化简 再求值 北师大版 八年级数学下册教学案 第 25 页 共 37 页 3 已知 求的值 10 1 a a a a a 1 1 1 1 2 4 已知 求的值 yx3 yx yx yx xy 22 4 2 某蓄水池装有 A B 两个进水管 每小时可分别进水 a t b t 若单独开放 A 进 水管 p h 可将该水池注满 如果 A B 两根水管同时开放 那么能提前多长时间将 该蓄水池注满 活动目的 活动目的 通过这两个练习题 检验学生对分式运用的掌握情况 也能知道他们对刚 刚所讲解的方法吸收了多少 同时锻炼学生运用分式表达数量之间的关系并解决实际 问题的能力 增强学生用数学解决问题的意识 第六环节第六环节 课堂小结课堂小结 活动内容 活动内容 1 异分母分式相加减的法则及通分的注意事项 2 分式的化简求值及变形 3 实际问题中能正确把握分式所表示的意义将更有助于解题 活动目的活动目的 小结本节课的主要内容 让学生对所学习知识有一个整体把握 同时帮助 梳理知识 再次点明关键点 活动的注意事项 活动的注意事项 拿上课具体实例小结 效果可能更好 布置作业 1 P124 习题 5 6 2 布置作业 完成 学考精练 相应练习 教学反思教学反思 1 讨论让学生更明确其理所在 容易接受 演练让老师能更好的发现学生在接受新 知识时所遇到的困难和容易犯的错误 有助于及时纠正 应该多采取这种方式 2 实际问题解决在于对数学模型的理解 对字母表示数的理解 可以在平时教学中 不时渗透 使学生用数学的意识增强 数学思想得到提升 北师大版 八年级数学下册教学案 第 26 页 共 37 页 4 4 分式方程 一 分式方程 一 知识与技能目标 知识与技能目标 能熟练准确地解一元一次方程 已学过分式的定义 了解分式有意义的条件 能 利用分式的基本性质进行约分通分 知晓分式方程的概念 过程与方法目标 过程与方法目标 八年级的学生已经具备了一定的自主探究能力和分析问题的能力 并对发现新问 题以及寻求解决办法有相当的兴趣和积极的愿望 情感态度与价值观目标 情感态度与价值观目标 1 理解分式方程的概念 2 能够根据实际问题建立分式方程的数学模型 并能归纳出分式方程的描述性定义 3 在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气 并从中获得 成就感 提高解决问题的能力 教学重点 教学重点 了解分式方程的概念 教学难点 教学难点 会找等量关系并能列分式方程 教学方法教学方法 师生共同讨论法 教师引导 主要由学生分组讨论得出结果 北师大版 八年级数学下册教学案 第 27 页 共 37 页 教学过程教学过程 第一环节第一环节 引入新课引入新课 活动内容 活动内容 在这一章的第一节 分式 中 我们曾研究过一个 固沙造林 绿化家园 的问 题 面对日益严重的土地沙化问题 某县决定分期分批固沙造林 一期工程计划在一 定期限内固沙造林 2400 公顷 实际每月固沙造林的面积比原计划多 30 公顷 结果提 前 4 个月完成计划任务 原计划每月固沙造林多少公顷 分析 这一问题中有哪些已知量和未知量 已知量 造林总面积 2400 公顷实际每月造林面积比原计划多 30 公顷提前 4 个月完 成原任务 未知量 原计划每月固沙造林多少公顷 这一问题中有哪些等量关系 实际每月固沙造林的面积 计划每月固沙造林的面积 30 公顷 原计划完成的时间 完成实际的时间 4 个月 我们设原计划每月固沙造林 x 公顷 那么原计划完成一期工程需要 个月 实际完成一期工程用了 个月 根据题意 可得方程 活动目的 活动目的 为了让学生经历从实际问题抽象 概括分式方程这一 数学化 的过程 体会分式方程的模型在解决实际生活问题中作用 利用第一节 分式 中一个熟悉的 问题 引导学生努力寻找问题中的所有等量关系 发展学生分析问题 解决问题的能 力 注意事项注意事项 要给学生一定的思考时间 让学生积极投身于问题情景中 根据学生的情 况教师可以给予适当的提示和引导 第二环节第二环节 探究新知探究新知 活动内容 活动内容 甲 乙两地相距 1400 km 乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 9 h 已 知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 2 8 倍 1 你能找出这一问题中的所有等量关系吗 2 如果设特快列车的平均行驶速度为 x km h 那么 x 满足怎样的方程 北师大版 八年级数学下册教学案 第 28 页 共 37 页 3 如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h 那么 y 满足怎样的方程 活动目的 活动目的 再次让学生经历从实际问题抽象 概括分式方程这一 数学化 的过程 体会分式方程的模型作用 设置了这么一个例题 关键是引导学生努力寻找问题中的 所有等量关系 发展学生分析问题 解决问题的能力 注意事项 注意事项 要给学生一定的思考时间 让学生积极投身于问题情景中 通过同学之间 相互讨论 解决问题 同时要注意引导学生理解每一步的实际意义 活动内容 活动内容 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园 某学校号召同学们自愿捐款 已知七年 级同学捐款总额为4800 元 八年级同学捐款总额为5000元 八年级捐款人数比七年级 多 20人 而且两个年级人均捐款额恰好相等 如果设七年级捐款人数为 x 人 那么 x 满足怎样的方程 活动目的 活动目的 再次让学生经历从实际问题抽象 概括分式方程这一 数学化 的过程 体会分式方程的模型作用 注意事项 注意事项 要给学生一定的思考时间 让学生积极投身于问题情景中 此时 每位同 学都有了一定的找等量关系的感觉 先让他们自己完成 再小组讨论 第三环节第三环节 感悟升华感悟升华 活动内容 活动内容 回顾刚才我们得出的 4 个方程 1 2 3 4 24002400 4 30 xx 14001400 9 2 8xx 14001400 2 8 9yy 48005000 20 xx 它们和我们以前所碰到的方程一样吗 有什么不一样的地方 上面所得到的方程有什么共同特点 方程中的未知数都含在分母中 不是一元一次方程 这就是我们今天要认识的一种新的方程 分式方程 分母中含有未知数得方程 分式方程重要特征 1 含分母 2 分母中含未知数 分式方程与整式方程的区别 分式方程中分母含有未知数 而整式方程中的分母不含 有未知数 北师大版 八年级数学下册教学案 第 29 页 共 37 页 活动目的 活动目的 通过让学生通过观察 归纳 总结出整式方程与分式方程的异同 从而得 出分式方程的概念 注意事项 注意事项 注意引导学生理解分式方程重要特征 分清分式方程与整式方程的区别 第四环节第四环节 课堂反馈课堂反馈 活动内容 活动内容 1 找找看 下列方程哪些是分式方程 1 2 3 4 1 3 2 xx 1 1 2x 1 3 12 x xx 1 23 xx 2 退耕还林还草 是在我国西部地区实施的一项重要生态工程 某地规划退耕面积 共 69000 退耕还林与退耕还草的面积比为5 3 设退耕还林的面积为 x 2 hm 2 hm 那么 x 满足怎样的分式方程 活动目的 活动目的 通过学生的反馈练习 考察学生对分式方程概念的理解 注意事项 注意事项 引导学生分析题目中的已知量