高三数学不等式选讲 知识点和练习

1 不等式选讲不等式选讲 一 绝对值不等式一 绝对值不等式 1 1 绝对值三角不等式 绝对值三角不等式 定理定理 1 1 如果 a b 是实数 则 a b a b 当且仅当 ab 0 时 等号成立 注 注 1 绝对值三角不等式的向量形式及几何意义 当a b 不共线时 a b a b 它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边 2 不等式 a b a b a b 中 成立的条件分别是 不等式 a b a b a b 在侧 成立的条件是 ab 0 左侧 成立的条件是 ab 0 且 a b 不等式 a b a b a b 右侧 成立的条件是 ab 0 左侧 成立的条件是 ab 0 且 a b 定理定理 2 2 如果 a b c 是实数 那么 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0 时 等号成立 2 2 绝对值不等式的解法 绝对值不等式的解法 1 含绝对值的不等式 x a 与 x a 的解集 不等式a 0 a 0 a 0 x a x a x a x a x x a 或 x a x x R 且 x 0 R 注 注 x 以及 x a x b 表示的几何意义 x 表示数轴上的点 x 到原点O的距离 x a x b 表示数轴上的点 x 到点 a b 的距离之和 差 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c c ax b c ax b c ax b c 或 ax b c 3 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法 方法一 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的思想 方法二 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论的思想 方法三 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了函数与方程的思想 2 二 证明不等式的基本方法二 证明不等式的基本方法 1 1 比较法 比较法 1 作差比较法 理论依据 a b a b 0 a b a b 0 证明步骤 作差 变形 判断符号 得出结论 注 作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数 或式子 与 0 的大小关系 2 作商比较法 理论依据 0 1 a bab b 0 1 a bab b 证明步骤 作商 变形 判断与 1 的大小关系 得出结论 2 2 综合法 综合法 1 定义 从已知条件出发 利用定义 公理 定理 性质等 经过一系列的推理 论证而得到命题成立 这种证明方法叫做综合法 综合法又叫做推证法或由因导果法 2 思路 综合法的思索路线是 由因导果 也就是从一个 组 已知的不等式出 发 不断地用必要条件代替前面的不等式 直至推导出要求证明的不等式 3 3 分析法 分析法 1 定义 从要证的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至所需条件为已知 条件或一个明显成立的事实 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题 成立 这种证明方法叫做分析法 2 思路 分析法的思索路线是 执果索因 即从要证的不等式出发 不断地用充 分条件来代替前面的不等式 直到打到已知不等式为止 注 注 综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程 其表述简单 条 理清楚 当问题比较复杂时 通常把分析法和综合法结合起来使用 以分析法寻找证明的 思路 用综合法叙述 表达整个证明过程 4 4 放缩法 放缩法 1 定义 证明不等式时 通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小 简化不等式 从而达到证明的目的 这种证明方法称为放缩法 3 2 思路 分析证明式的形式特点 适当放大或缩小是证题关键 5 5 除此之外还有反证法和数学归纳法除此之外还有反证法和数学归纳法 绝对值不等式习题绝对值不等式习题 例 1 不等式的解集为 5 3 10 xx A 5 7 B 4 6 C D 答案 D 5 7 4 6 解析 由不等式的几何意义知 式子表示数轴的点与点 5 的距 3 5 xx x 离 和与点 3 的距离之和 其距离之和的最小值为 8 结合数轴 选项 D 正确 例 2 已知集合 1 349 4 0 AxR xxBxR xtt t 则集合 AB 答案 52 xRx 解析 54 9 4 3 xRxxxRxA 0 6 1 42 0 6 1 4 t t txRxt t txRxB 2 xRx 52 2 54 xRxxRxxRxBA 例 3 对于实数 x y 若 则的最大值为 11 x12 y12 yx 答案 5 4 例 4 不等式的解集是 130 xx 解析 由题得 所以不等 1 xx1 3 1 3 1 22 xxxxx 式的解集为 1 xx 例 5 若关于 x 的不等式存在实数解 则实数的取值范围是 12axx a 答案 3 3 解析 因为所以存在实数解 有12 12 3xxxx 12axx 或3a 3a 3a 例 6 已知函数 f x x 2 x 5 I 证明 3 f x 3 II 求不等式 f x x2 8x 15 的解集 解 I 3 2 2 5 27 25 3 5 x f xxxxx x 当25 3273 xx 时 所以 3 3 f x II 由 I 可知 当的解集为空集 2 2 815xf xxx 时 当 2 25 815 535 xf xxxxx 时的解集为 当 2 5 815 56 xf xxxxx 时的解集为 综上 不等式 2 815 536 f xxxxx 的解集为 例 7 已知函数 2 3 f xxg xxm 1 解关于x的不等式 10 f xaaR 2 若函数 f x的图象恒在函数 g x图象的上方 求m的取值范围 解 1 不等式 10f xa 即210 xa 5 当1a 时 不等式的解集是 2 2 当1a 时 不等式的解集为R 当1a 时 即21xa 即21xa 或者21xa 即1xa 或者 3xa 解集为 1 3 aa 5 分 2 函数 f x的图象恒在函数 g x图象的上方 即23xxm 对任意实 数x恒成立 即23xxm 对任意实数x恒成立 由于23 2 3 5xxxx 故只要5m 所以m的取值范围是 5 不等式证明习题不等式证明习题 例 1 若 a b c 为不全相等的正数 求证 lg lg lg lg a lg b lg c a b 2 b c 2 a c 2 证明 由 a b c 为正数 得 lg lg lg lg lg lg a b 2ab b c 2bc a c 2ac 而 a b c 不全相等 所以 lg lg lg lg lg lg lg a b 2 b c 2 a c 2abbcac lg abc lg a lg b lg c a2b2c2 即 lg lg lg lg a lg b lg c a b 2 b c 2 a c 2 例 2 证明不等式 1 2 1 3 1 2 1 Nnn n 证法一 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 1 当 n 等于 1 时 不等式左端等于 1 右端等于 2 所以不等式成立 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 2 假设 n k k 1 时 不等式成立 即 1 2 k 1 3 1 2 1 k 12 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 k k kk k kk k k k 则 当 n k 1 时 不等式成立 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 综合 1 2 得 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 当 n N 时 都有 1 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 n 1 3 1 2 1 n 证法二 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 对任意 k N 都有 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 111 121 2 23 nNn n 根据 可知 当时 成立 6 2 1 2 23 2 12 22 1 3 1 2 1 1 1 2 1 221 nnn n kk kkkkk 因此 证法三 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 设 f n 1 3 1 2 1 1 2 n n 那么对任意 k N 都有 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 0 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 k kk kkkk k kkk k k kkkfkf f k 1 f k 因此 对任意 n N 都有 f n f n 1 f 1 1 0 2 1 3 1 2 1 1n n 例 3 已知 a 0 b 0 且 a b 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 求证 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 a b 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a 1 b 1 4 25 证法一 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 分析综合法 欲证原式 即证 4 ab 2 4 a2 b2 25ab 4 0 即证 4 ab 2 33 ab 8 0 即证 ab 或 ab 8 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 1 a 0 b 0 a b 1 ab 8 不可能成立 1 a b 2 ab 从而得证 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ab 4 1 证法二 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 比较法 a b 1 a 0 b 0 a b 2 ab ab 4 1 4 25 1 1 0 4 8 41 4 8334 4 2511 4 25 1 1 2222 b b a a ab abab ab abba b b a a b b a a 证法三 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 综合法 a b 1 a 0 b 0 a b 2 ab 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ab 4 1 2 2 2 25 1 1 139 1 125 16 11 1 144164 4 ab ab abab ab ab 7 4 25 1 1 b b a a即 例 4 已知求证 21 n n anN 12 231 1 23 n n aaan nN aaa 证明 11 1 21111111 1 1 2 2122 21 23 22223 2 k k kkkkk k a kn a 12 2 231 1 111111 1 23 22223223 n nn n aaannn aaa 12 231 1 232 n n aaann nN aaa 例 5 若 求证 不02 a02 b02 c 22 a bb c 2 c a 能同时大于 1 证明 由题意知202020 abc 假设有 21 21 21 a b b c c a 那么 2 2 21 ab a b 同理 2 2 1 bc 2 2 1 ca 得矛盾 假设不成立 33 故 不能同时大于 1 2 a b 2 b c 2 c a 例 6 设函数f x x a x 1 ln x 1 x 1 a 0 1 求f x 的单调区间 2 求证 当m n 0 时 1 m n 1 n m 解析 1 f x 1 a