《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 典型例题透析典型例题透析 类型一 类型一 解一元二次不等式解一元二次不等式 例例 1 1 解下列一元二次不等式 1 2 3 2 50 xx 2 440 xx 2 450 xx 思路点拨思路点拨 转化为相应的函数 数形结合解决 或利用符号法则解答 解析 解析 1 1 方法一 方法一 因为 2 5 4 1 0250 所以方程的两个实数根为 2 50 xx 1 0 x 2 5x 函数的简图为 2 5yxx 因而不等式的解集是 2 50 xx 05 xx 方法二 方法二 或 2 50 5 0 xxx x 0 50 x x 0 50 x x 解得 或 即或 0 5 x x 0 5 x x 05x x 因而不等式的解集是 2 50 xx 05 xx 2 2 方法一 方法一 因为 0 方程的解为 2 440 xx 12 2xx 函数的简图为 2 44yxx 所以 原不等式的解集是 2 x x 方法二 方法二 当时 22 44 2 0 xxx 2x 2 2 0 x 所以原不等式的解集是 2 x x 3 3 方法一 方法一 原不等式整理得 2 450 xx 因为 方程无实数解 0 2 450 xx 函数的简图为 2 45yxx 所以不等式的解集是 2 450 xx 所以原不等式的解集是 方法二 方法二 22 45 2 110 xxx 原不等式的解集是 总结升华 总结升华 1 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决 培养并提高数形结合的分 析能力 2 当时 用配方法 结合符号法则解答比较简洁 如第 2 3 小题 当0 且是一个完全平方数时 利用因式分解和符号法则比较快捷 如第 1 小题 0 3 当二次项的系数小于 0 时 一般都转化为大于 0 后 再解答 举一反三 举一反三 变式 1 解下列不等式 1 2 2 2320 xx 2 3620 xx 3 4 2 4410 xx 2 230 xx 答案答案 1 1 方法一 方法一 因为 2 3 4 2 2 250 方程的两个实数根为 2 2320 xx 1 1 2 x 2 2x 函数的简图为 2 232yxx 因而不等式的解集是 2 2320 xx 1 2 2 x xx 或 方法二 方法二 原不等式等价于 21 2 0 xx 原不等式的解集是 1 2 2 x xx 或 2 整理 原式可化为 2 3620 xx 因为 0 方程的解 2 3620 xx 1 3 1 3 x 2 3 1 3 x 函数的简图为 2 362yxx 所以不等式的解集是 33 1 1 33 3 3 方法一 方法一 因为0 方程有两个相等的实根 2 4410 xx 12 1 2 xx 由函数的图象为 2 441yxx 原不等式的的解集是 1 2 方法二 方法二 原不等式等价于 2 21 0 x 原不等式的的解集是 1 2 4 4 方法一 方法一 因为 方程无实数解 0 2 230 xx 由函数的简图为 2 23yxx 原不等式的解集是 方法二 方法二 22 23 1 220 xxx 原不等式解集为 变式 2 解不等式 2 666xx 答案答案 原不等式可化为不等式组 即 即 2 2 66 66 xx xx 2 2 120 0 xx xx 4 3 0 1 0 xx x x 解得 34 10 x xx 或 原不等式的解集为 3014 xxx 或 类型二 已知类型二 已知一元二次不等式的解集求待定系数一元二次不等式的解集求待定系数 例例 2 2 不等式的解集为 求关于的不等式 2 0 xmxn 4 5 x x 的解集 2 10nxmx 思路点拨思路点拨 由二次不等式的解集为可知 4 5 是方程的二根 故 4 5 2 0 xmxn 由韦达定理可求出 的值 从而解得 mn 解析 解析 由题意可知方程的两根为和 2 0 xmxn 4x 5x 由韦达定理有 45m 4 5n 9m 20n 化为 即 2 10nxmx 2 20910 xx 2 20910 xx 解得 41 51 0 xx 11 45 x 故不等式的解集为 2 10nxmx 11 45 总结升华 总结升华 二次方程的根是二次函数的零点 也是相应的不等式的解集的端点 根据不 等式的解集的端点恰为相应的方程的根 我们可以利用韦达定理 找到不等式的解集与其 系数之间的关系 这一点是解此类题的关键 举一反三 举一反三 变式 1 不等式 ax2 bx 12 0 的解集为 x 3 x 2 则 a b 答案答案 由不等式的解集为 x 3 x 2 知 a0 对一切实数 x 恒成立 求实数 m 的取值范围 思路点拨思路点拨 不等式对一切实数恒成立 即不等式的解集为 R 要解决这个问题还需要讨 论二次项的系数 解析 解析 1 当 m2 4m 5 0 时 m 1 或 m 5 若 m 1 则不等式化为 3 0 对一切实数 x 成立 符合题意 若 m 5 则不等式为 24x 3 0 不满足对一切实数 x 均成立 所以 m 5 舍去 2 当 m2 4m 5 0 即 m 1 且 m 5 时 由此一元二次不等式的解集为 R 知 抛物线 y m2 4m 5 x2 4 m 1 x 3 开口向上 且与 x 轴无交点 所以 0 5m4m 12 1m 16 05m4m 22 2 即 1 m 19 19m1 5m1m或 综上所述 实数 m 的取值范围是 m 1 m0 3 x2 a 1 x a0 即 a 2 或 a 2 时 原不等式的解集为 2 4 2 4 22 aa x aa xx或 当 0 即 a 2 或 2 时 原不等式的解集为 2 a x x 当 0 即 2 a 2 时 原不等式的解集为 R 3 x 1 x a 1 时 原不等式的解集为 x 1 x a 当 a 1 时 原不等式的解集为 x a x 1 当 a 1 时 原不等式的解集为 总结升华 总结升华 对含字母的二元一次不等式 一般有这样几步 定号 对二次项系数大于零和小于零分类 确定了二次曲线的开口方向 求根 求相应方程的根 当无法判断判别式与 0 的关系时 要引入讨论 分类求 解 定解 根据根的情况写出不等式的解集 当无法判断两根的大小时 引入讨论 举一反三 举一反三 变式1 解关于x的不等式 0 01 1 2 ax a ax 答案答案 原不等式化为0 1 a xax a 1或a 1时 解集为 当0 a 1 或a1或 1 a0时 若 即时 2 1 0 a a 2 1 0 a 1 2 a x 若 即时 x R 2 1 0 aa 2 1 a 若 即时 2 1 0 a a 2 1 a 2 1 a x 当a 0时 则有 2 1 a 2 1 a x 变式2 解关于x的不等式 ax2 2x 10时 则 0 11 11 a a a a x a 0时 若a 0 0 即a 1时 x R 若a 0 0 即a 1时 x R且x 1 若a0 即 1 a0 答案答案 若 a 0 原不等式化为 x 1 0 解集为 x x 1 若 a 0 原不等式为关于 x 的一元二次不等式 方程的判别式 1 4a01 2 xax 当 1 4a0 即时 方程有两个不等实数根 4 1 a01 2 xax a a x 2 411 1 a a x 2 411 2 当时 函数的图象开口向上 4 1 0 a1 2 xaxxf 与 x 轴有两个不同的交点 且 其简图如下 21 xx 所以 此时不等式的解集为01 2 xax 2 411 2 411 a a a a 当 a 0 时 函数的图象开口向下 1 2 xaxxf 与 x 轴有两个不同的交点 且 其简图如下 21 xx 所以 此时不等式的解