高三立体几何习题(文科含答案)

2 3 正视图 图 1 侧视图 图 2 2 俯视图 2 图 3 立几习题 2 1 若直线 不平行于平面 且 则lala A 内的所有直线与异面 B 内不存在与 平行的直线aal C 内存在唯一的直线与 平行 D 内的直线与 都相交alal 2 是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 1 l 2 l 3 l A B 12 ll 23 ll 13 ll 12 ll 23 ll 13 ll C 共面 D 共点 共面 233 lll 1 l 2 l 3 l 1 l 2 l 3 l 1 l 2 l 3 l 3 如图 1 3 某几何体的正视图 主视图 侧视图 左视图 和俯视图分别是等边三角 形 等腰三角形和菱形 则该几何体的体积为 A B 4 34 C D 2 32 4 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 A 2 8 3 B 8 3 C 8 2 D 2 3 5 如图 在四棱锥ABCDP 中 平面 PAD 平面 ABCD AB AD BAD 60 E F 分别是 AP AD 的中点 求证 1 直线 EF 平面 PCD 2 平面 BEF 平面 PAD 5 本小题满分 13 分 如图 为多面体 平面与平面垂直 点在线段上 ABEDFCABEDACFDOAD OAB OAC ODE ODF 都是正三角形 1OA 2OD 证明直线 BCEF 求棱锥的体积 FOBED 6 本小题共 14 分 如图 在四面体 PABC 中 PC AB PA BC 点 D E F G 分别是棱 AP AC BC PB 的 中点 求证 DE 平面 BCP 求证 四边形 DEFG 为矩形 是否存在点 Q 到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等 说明理由 7 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD AB AD 点 E 在线段 AD 上 且 CE AB I 求证 CE 平面 PAD 11 若 PA AB 1 AD 3 CD CDA 45 求四棱锥 P ABCD 的体积2 8 本小题满分 12 分 如图 已知正三棱柱ABC 111 ABC的底面边长为 2 侧棱长为 3 2 点 E 在侧棱 1 AA上 点 F 在侧棱 1 BB上 且2 2AE 2BF I 求证 1 CFC E II 求二面角 1 ECFC 的大小 9 本题满分 12 分 如图 3 在圆锥PO中 已知2 POO A的直径 A 2 ABCABDAC 点在上 且C AB 30为的中点 I 证明 ACPOD 平面 II 求直线和平面PAC所成角的正弦值 10 本小题满分 12 分 如图 四边形 ABCD 为正方形 QA 平面 ABCD PD QA QA AB PD 1 2 I 证明 PQ 平面 DCQ II 求棱锥 Q ABCD 的的体积与棱锥 P DCQ 的体积的比值 5 6 本小题满分 13 分 本题考查空间直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 空间直线平行的证明 多面体体积的计算 考查空间想象能力 推理论证能力和运算求解 能力 I 证明 设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点 由于 OAB 与 ODE 都是正三角形 所以 OG OD 2 OBDE 2 1 同理 设是线段 DA 与 FC 延长线的交点 有 G 2 ODGO 又由于 G 和都在线段 DA 的延长线上 所以 G 与重合 G G 在 GED 和 GFD 中 由 和 OC 可知 B 和 C 分别是 GE 和 GFOBDE 2 1 DF 2 1 的中点 所以 BC 是 GEF 的中位线 故 BC EF II 解 由 OB 1 OE 2 而 OED 是边长为 2 的正 2 3 60 EOB SEOB知 三角形 故 3 OED S 所以 2 33 OEDEOBOEFD SSS 过点 F 作 FQ DG 交 DG 于点 Q 由平面 ABED 平面 ACFD 知 FQ 就是四棱锥 F OBED 的高 且 FQ 所以3 2 3 3 1 OBEDOBEDF SFQV 7 共 14 分 证明 因为 D E 分别为 AP AC 的中点 所以 DE PC 又因为 DE平面 BCP 所以 DE 平面 BCP 因为 D E F G 分别为 AP AC BC PB 的中点 所以 DE PC FG DG AB EF 所以四边形 DEFG 为平行四边形 又因为 PC AB 所以 DE DG 所以四边形 DEFG 为矩形 存在点 Q 满足条件 理由如下 连接 DF EG 设 Q 为 EG 的中点 由 知 DF EG Q 且 QD QE QF QG EG 2 1 分别取 PC AB 的中点 M N 连接 ME EN NG MG MN 与 同理 可证四边形 MENG 为矩形 其对角线点为 EG 的中点 Q 且 QM QN EG 2 1 所以 Q 为满足条件的点 8 本小题主要考查直线与直线 直线与平面的位置关系 几何体的体积等基础知识 考查 空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查数形结合思想 化归与转化思想 满分 12 分 I 证明 因为平面 ABCD 平面 ABCD PA CE 所以 PACE 因为 ABAD CEABCEAD 所以 又 PAADA 所以平面 PAD CE II 由 I 可知 CEAD 在中 DE CDRt ECD cos451 sin451 CECD 又因为 1 ABCEABCE 所以四边形 ABCE 为矩形 所以 115 1 21 1 222 ECDADCEABCD SSSAB AECE DE 矩形四边形 又平面 ABCD PA 1 PA 所以 1155 1 3326 P ABCDABCD VSPA 四边形四边形 18 本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法 同时考查空间想象能力 和推理论证能力 满分 12 分 解法 1 由已知可得 22 11 3 2 2 2 2 2 3CCCEC F 22222 1 2 2 6EFABAEBFEFC E 于是有 222222 1111 EFC EC FCEC ECC 所以 11 C EEF C ECE 又 1 EFCEEC ECEF 所以平面 由 1 CFCEFCFC E 平面故 在中 由 可得CEF 6 2 3EFCFCE 于是有 EF2 CF2 CE2 所以 CFEF 又由 知 CF C1E 且 所以 CF 平面 C1EF 1 EFC EE 又平面 C1EF 故 CF C1F 1 C F 于是即为二面角 E CF C1的平面角 1 EFC 由 知是等腰直角三角形 所以 即所求二面角 E CF 1 C EF 1 45BFC C1的大小为 45 解法 2 建立如图所示的空间直角坐标系 则由已知可得 1 0 0 0 3 1 0 0 2 0 0 2 3 2 0 0 2 2 3 1 2 ABCCEF 1 0 2 2 3 1 2 C ECF 1 0220C E CF 1 CFC E 设平面 CEF 的一个法向量为 0 2 2 2 CE mx y z 由 0 0 m CE mCE mCF m CF 得 即 22 20 0 2 1 320 yz m xyz 可取 设侧面 BC1的一个法向量为 1 3 1 0 nnBC nCCCB 由及 0 3 1 23 0 0 1 nCC可取 设二面角 E CF C1的大小为 于是由 为锐角可得 所以 62 cos 2 32 m n mn 45 即所求二面角 E CF C1的大小为 45 湖南卷 19 本题满分 12 分 解析 I 因为 OAOC DAC 是的中点 所以ACO D 又 POO ACOACOD AA底面底面所以PO是平面POD内的两条相交直 线 所以 ACPOD 平面 II 由 I 知 ACPOD 平面又 ACPAC 平面所以平面 PODPAC 平面在 平面POD中 过O作OHPD 于H 则 OHPAC 平面连结CH 则CH是 OCPAC在平面上的射影 所以OCH 是直线 OC和平面PAC所成的角 在 22 1 2 2 2 31 2 4 PO OD Rt PODOH POOD A A中 在 2 sin 3 OH Rt OHCOCH OC A中 江西卷 解 1 设 则xPA 2 3 1 3 1 2 x x xSPAV PDCBPBCDA 底底 令 0 6