求动点的轨迹方程(方法例题习题答案)

精品文档 1欢迎下载 求动点的轨迹方程 例题 习题与答案 求动点的轨迹方程 例题 习题与答案 在中学数学教学和高考数学考试中 求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难 点和重点内容 求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于 求轨迹方程时 题目中 没有直接告知轨迹的形状类型 而求曲线的方程时 题目中明确告知动点轨迹的形 状类型 求动点轨迹方程的常用方法有 直接法 定义法 相关点法 参数法与直接法 定义法 相关点法 参数法与 交轨法交轨法等 求曲线的方程常用 待定系数法待定系数法 求动点轨迹的常用方法求动点轨迹的常用方法 动点 P 的轨迹方程是指点 P 的坐标 x y 满足的关系式 1 1 直接法直接法 1 依题意 列出动点满足的几何等量关系 2 将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程 例题例题 已知直角坐标平面上点Q Q 2 0 和圆 C C 动点M M到圆 C C 的切线长等与1 22 yx 求动点M M的轨迹方程 说明它表示什么曲线 MQ 解 设动点 M x y 直线MN切圆C于N 依题意 即MNMQ 22 MNMQ 而 所以 222 NOMOMN 1 22 MOMQ x 2 y x y 1 2222 化简得 x 动点 M 的轨迹是一条直线 4 5 2 2 定义法定义法 分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件 由动点满足的几何条件可以判断出动点 的轨迹满足圆 或椭圆 双曲线 抛物线 的定义 依题意求出曲线的相关参数 进一步写出 轨迹方程 例题 例题 动圆 M 过定点 P 4 0 且与圆 C 相切 求动圆圆心 M 的轨迹方08 22 xyx 程 解 设 M x y 动圆 的半径为 r 精品文档 2欢迎下载 若圆 M 与圆 C 相外切 则有 MC r 4 若圆 M 与圆 C 相内切 则有 MC r 4 而 MP r 所以 MC MP 4 动点 M 到两定点 P 4 0 C 4 0 的距离差的绝对值为 4 所以动点 M 的轨迹为双曲线 其中 a 2 c 4 动点的轨迹方程为 1 124 22 yx 3 3 相关点法相关点法 若动点 P x y 随已知曲线上的点 Q x y 的变动而变动 且 x y 可用 x y 表示 0000 则将 Q 点坐标表达式代入已知曲线方程 即得点 P 的轨迹方程 这种方法称为相关点法 例题 例题 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 4 3 端点 A 在圆上运动 求线段 22 1 4Cxy AB 的中点 M 的轨迹方程 解 解 设 M x y A 依题意有 BA yx x y 2 4 A x 2 3 A y 则 x 2x 4 y 2y 3 因为点 A 在圆上 所以 AABA yx 22 1 4Cxy 4 32 42 22 yx 点 M 的轨迹方程为 1 2 2 2 3 2 yx 动点 M 的轨迹为以 2 为圆心 1 为半径的圆 2 3 4 4 参数法参数法 例题 例题 已知定点 A 3 0 M N分别为 x 轴 y 轴上的动点 M N不重合 且 MNAN 点 P 在直线MN上 求动点 P 的轨迹 C 的方程 MPNP 2 3 精品文档 3欢迎下载 解 解 设 N 0 t P x y 直线 AN 的斜率 3 t kAM 因为 所以直线 MN 的斜率MNAN t kMN 3 直线 MN 的方程为 y t 令 y 0 得x 所以点 M 0 x t 3 3 2 t 3 2 t tyxNP 3 2 y t xMP 由 得MPNP 2 3 x y t 则 3 2 3 2 t x y 2 3 ty tx 2 2 所以动点 P 的轨迹方程为 xy4 2 5 5 交轨法交轨法 例题 例题 如图 在矩形ABCD中 8 4 ABBCE F G H 分别为四边的中点 且都在坐标轴上 设 求直线EP与GQ的交点M的轨迹 的方程 0 CFCQOFOP 解 设 M x y 由已知得 4 0 4 22 PQ y xo M Q P H G F E D C BA 精品文档 4欢迎下载 则直线EP的方程为2 2 x y 直线GQ的方程为2 2 x y 即 y 2 2 x y 2 2 x 两式相乘 消去 即得M的轨迹 的方程为 22 1 0 164 xy x 练习与答案练习与答案 1 1 设圆 C 与圆 x2 y 3 2 1 外切 与直线 y 0 相切 则 C 的圆心轨迹为 A A A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 圆 2 2 已知圆 圆 一动圆与这两个圆外 22 1 4 25Mxy 22 2 4 1Mxy 切 求动圆圆心 P 的轨迹方程 x 0 3 3 过点 A 4 0 作圆 O x y2 4 的割线 求割线被圆 O 截得弦的中点的轨迹 2 x 2 y 4 0 x 1 22 4 4 已知圆 C y 4 1 动点 P 是圆外一点 过 P 作圆 C 的切线 切点为 M 2 3 x 2 且 PM PO O 为坐标原点 求动点 P 的轨迹方程 提示 PO PM 22 1 2 PC 3x 4y 12 0 5 5 已知圆 22 1 4 1Cxy 圆 22 2 2 1Cxy 动点P到圆 1 C 2 C上点的距离的 最小值相等 求点P的轨迹方程 解 解 动点 P 到圆 C 的最短距离为 PC 1 11 动点 P 到圆 C 的最短距离为 PC 1 22 依题意有 PC 1 PC 1 即 12 PC PC 12 所以动点 P 的轨迹为线段 C C 的中垂线 所以动点 P 的轨迹方程为 12 2x y 5 0 6 6 已知双曲线的左 右顶点分别为 点 P Q 2 2 1 2 x y 12 A A 12 x y 12 xy 是双曲线上不同的两个动点 求直线与交点的轨迹 E 的方程 1 AP 2 A Q 解 由为双曲线的左右顶点知 12 A A 12 2 0 2 0 AA 两式相乘 1 1 1 2 2 y AP yx x 1 2 1 2 2 y A Q yx x 2 22 1 2 1 2 2 y yx x 1 124 22 yx 精品文档 5欢迎下载 因为点在双曲线上 所以 即 故 11 P x y 2 2 1 1 1 2 x y 2 1 2 1 1 22 y x 22 1 2 2 yx 所以 即直线与交点的轨迹的方程为 2 2 1 2 x y 1 A P 2 A QE 2 2 1 2 x y 7 7 已知曲线与直线交于两点和 2 C yx 20l xy AA A xy BB B xy 且 记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域 含边界 AB xx CABLAB 为 设点是上的任一点 且点与点和点均不重合 若点是线段的D P s tLPABQAB 中点 试求线段的中点的轨迹方程 PQM 解 1 联立与得 则中点 设线段的 2 xy 2 xy2 1 BA xxAB 2 5 2 1 QPQ 中点坐标为 则 即 又点在曲线M yx 2 2 5 2 2 1 t y s x 2 5 2 2 1 2 ytxsP 上 C 化简可得 又点是上的任一点 且不与点和点 2 2 1 2 2 5 2 xy 8 11 2 xxyPLA 重合 则 即 中点的轨迹方程为 B2 2 1 21 x 4 5 4 1 xM 8 11 2 xxy 4 5 4 1 x 8 8 已知点C 1 0 点A B是 O 上任意两个不同的点 且满足 22 9xy 0 BCAC 设P为弦AB的中点 求点P的轨迹T的方程 解 连结 CP 由0AC BC 知 AC BC CP AP BP 1 2 AB 由垂径定理知 222 OPAPOA 精品文档 6欢迎下载 即 22 9OPCP 设点 P x y 有 2222 1 9xyxy 化简 得到 22 4xxy 9 9 设椭圆 过点的直线 交椭圆于 A B O 为坐标原点 点 P 满足1 4 2 2 y x 1 0 Ml 当 绕着 M 旋转时 求动点 P 的轨迹方程 2 1 OBOAOP l 解 直线 过点 设其斜率为 k 则直线 的方程为 l 1 0 Ml1 kxy 记 由题设可得点 A B 的坐标 11 yxA 22 yxB 11 yx 22 yx 是方程组的解 其方程组中消取得 1 4 1 2 2 y x kxy y032 4 22 kxxk 2 21 2 21 4 8 4 2 k yy k k xx 点 P 的坐标为 2 1 OBOAOP 2 2 2121 yyxx 即 点 P 为 4 4 4 22 kk k 设点 P 为 则 P 点的轨迹参数方程为 为参数 yx 2 2 4 4 4 k y k k x k 消去参数得 k04 22 yyx 当斜率不存在时 A B 的中为原点 0 0 也满足上述方程 k 故 动点 P 的轨迹方程为 04 22 yyx 10 10 设圆 C 与两圆 2222 5 4 5 4xyxy 中的一个内切 另一个外切 求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程 解 两圆半径都为 2 设圆C的半径为R 两圆心为 1 5 0 F 2 5 0 F 由题意得或 12 2 2RCFCF 21 2 2RCFCF 1212 42 5 CFCFFF 可知圆心 C 的轨迹是以为焦点的双曲线 设方程为 则 12 F F 22 22 1 xy ab 精品文档 7欢迎下载 所以轨迹 L 的方程为 222 24 2 5 1 1aacbcab 2 2 1 4 x y 11 11 如图所示 已知 P 4 0 是圆内的一点 A B 是圆上两动点 且满足36 22 yx 求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 0 90 APB 解 解 设 R x y 依题意 有 OR RA 36 而 RA RP 所以 22 OR RP 36 即 22 36 4 2222 yxyx 化简得 14 2 22 yx 设 Q X Y 因为 R x y 是 QP 的中点 所以有 x y 故 2 4X 2 Y 14 2 2 2 4 22 YX 化简得 X56 22 Y 12 12 在平面直角坐标系中 直线交轴于点 A 设是 上一点 M 是线段 OPxOy 2l x xPl 的垂直平分线上一点 且满足 MPO AOP 当点 P 在 上运动时 求点 M 的轨迹 E 的方l 程 解 解 如图 1 设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线 交 OP 于点 Q MPQAOPMPlMOMP 且 因此即 22 2 xyx 2 4 1 1 yxx 另一种情况 见图 2 即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧 精品文档 8欢迎下载 MQ 为线段 OP 的垂直平分线 MPQMOQ 又 MPQAOPMOQAOP 因此 M 在轴上 此时 记 M 的坐标为x 0 x 为分析的变化范围 设为 上任意点 0 M xx中 2 Pa l aR 由 MOMP 即 得 22 2 xxa 2 1 11 4 xa 故的轨迹方程为 0 M x 0 1yx 综合 和 得 点 M 轨迹 E 的方程为 2 4 1 1 0 1 xx y x 13 13 点 M 是椭圆 2 2 1 4 y x 上的动点 如图 点A的坐标为 1 0 B是圆 22 1xy 上的点 N是点M在x轴上的射影 点Q满足条件 0 求线段QB的ONOMOQ QABA 中点P的轨迹方程 解 解 设M mmBB xyB xy QQ Q xy 因为 0 N N xOMONOQ 故 2 QNQM xxyy 222 2 4 y QQM xyxy 因为0 QA BA 1 1 1 1 0 QQNn QNQN xyxy xxy y 所以 1 QNQNNQ x xy yxx 记 P 点的坐标为 PP xy 因为 P 是 BQ 的中点