2013-2014学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

2013 2014 学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷 A 卷 答案 Page 1 of 9 第 1 页 共 9 页 北北 京京 交交 通通 大大 学学 2013 20142013 2014 学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷 学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷 A A 卷 卷 参参 考考 答答 案案 一 一 本题满分 本题满分 8 分 分 某中学学生期末考试中数学不及格的为某中学学生期末考试中数学不及格的为 语文不及格的为 语文不及格的为 两门课程都不及格的 两门课程都不及格的 11 7 为为 已知一学生数学考试不及格 求他语文考试也不及格的概率 已知一学生数学考试不及格 求他语文考试也不及格的概率 4 分 分 已知一学生语文考已知一学生语文考 2 试不及格 求他数学考试及格的概率 试不及格 求他数学考试及格的概率 4 分 分 解 解 设 某学生数学考试不及格 某学生语文考试不及格 A B 由题设 11 0 AP 07 0 BP 02 0 ABP 所求概率为 11 2 11 0 02 0 AP ABP ABP 所求概率为 7 5 07 0 02 0 07 0 BP ABPBP BP BAP BAP 二 二 本题满分 本题满分 8 分 分 两台车床加工同样的零件 第一台车床加工出现不合格品的概率为两台车床加工同样的零件 第一台车床加工出现不合格品的概率为 0 03 第二台车床加工出现不合 第二台车床加工出现不合 格品的概率为格品的概率为 0 05 把两台车床加工的零件放在一起 已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工 把两台车床加工的零件放在一起 已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工 的零件多一倍 现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件 发现是不合格品 求这个零件是第二台的零件多一倍 现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件 发现是不合格品 求这个零件是第二台 车床加工的概率 车床加工的概率 解 解 设 任取一个零件是不合格品 任取一个零件是第一台车床加工的 A B 所求概率为 由 Bayes 公式得 ABP BAPBPBAPBP BAPBP ABP 2013 2014 学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷 A 卷 答案 Page 2 of 9 第 2 页 共 9 页 11 5 03 0 3 2 05 0 3 1 05 0 3 1 三 三 本题满分 本题满分 8 分 分 设随机变量设随机变量的密度函数为的密度函数为X 其它0 0 2 cos x x C xf 求常数求常数 3 分 分 现对现对独立重复地观察独立重复地观察 4 次 用次 用表示观察值大于表示观察值大于的次数 求的次数 求 5 分 分 CXY 3 2 YE 解 解 由密度函数的性质 得 1 dxxf C x Cdx x Cdxxf2 2 sin2 2 cos1 00 因此 2 1 C 由于 2 1 2 1 1 2 sin 2 cos 2 1 3 3 33 x dx x dxxfXP 所以 随机变量的分布列为Y k k CkYP 2 1 4 4 3 2 1 0 k 所以 4 0 22 k kYPkYE 5 16 1 4 16 4 3 16 6 2 16 4 1 16 1 0 22222 四 四 本题满分 本题满分 8 分 分 在正方形在正方形中任取一点中任取一点 求使得方程 求使得方程有两个有两个 1 1 qpqpD的 qp 0 2 qpxx 实根的概率 实根的概率 解 解 2013 2014 学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷 A 卷 答案 Page 3 of 9 第 3 页 共 9 页 设 方程有两个实根 所求概率为 A0 2 qpxx AP 设所取的两个数分别为与 则有 pq11 p11 q 因此该试验的样本空间与二维平面点集 11 11 qpqpD的 中的点一一对应 随机事件与二维平面点集 即与点集A 04 2 qpqpDA的 q p qpDA 4 2 的 中的点一一对应 所以 24 13 124 1 22 1 4 1 1 3 1 1 2 p p dp p D D AP A 的的的 的的的 五 五 本题满分 本题满分 8 分 分 一个工厂生产某种产品的寿命一个工厂生产某种产品的寿命 单位 年 的密度函数为 单位 年 的密度函数为X 00 0 4 1 4 x xe xf x 该工厂规定 该产品在售出的一年内可予以调换 若工厂售出一个该产品 赢利该工厂规定 该产品在售出的一年内可予以调换 若工厂售出一个该产品 赢利 100 元 而调换一个该元 而调换一个该 产品 需花费产品 需花费 300 元 试求工厂售出一个该产品净赢利的数学期望 元 试求工厂售出一个该产品净赢利的数学期望 解 解 设为工厂售出一个产品的净赢利 则Y 1300 1100 X X Y 所以 300300100100 YPYPEY 13001100 XPXP 1 0 4 1 4 4 1 300 4 1 100dxedxe xx 2013 2014 学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷 A 卷 答案 Page 4 of 9 第 4 页 共 9 页 5203 111300100 4 1 4 1 ee 六 六 本题满分 本题满分 9 分 分 设设是由是由轴 轴 轴及直线轴及直线所围成的三角形区域 二维随机变量所围成的三角形区域 二维随机变量在在内服内服GXY022 yx YX G 从均匀分布 求从均匀分布 求与与的相关系数的相关系数 XY YX 解 解 由于区域的面积为 1 因此的联合密度函数为G YX Gyx Gyx yxf 0 1 当时 10 x xdydyyxfxf x X 12 22 0 所以 其它0 1012xx xfX 当时 20 y 2 1 2 1 0 y dydxyxfyf y Y 所以 其它0 20 2 1y y yfY 3 1 3 1 2 1 212 1 0 dxxxdxxxfXE X 3 2 2 1 2 0 dy y ydyyyfYE Y 6 1 4 1 3 1 212 1 0 222 dxxxdxxfxXE X 3 2 2 1 2 0 222 dy y ydyyfyYE Y 所以 18 1 3 1 6 1 var 2 2 2 XEXEX 2013 2014 学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷 A 卷 答案 Page 5 of 9 第 5 页 共 9 页 9 2 3 2 3 2 var 2 2 2 YEYEY 1 0 22 0 222 0 1 0 2 dx y xxydydxdxdyyxxyfXYE x x 6 1 2 1 3 2 4 1 22212 1 0 23 1 0 2 dxxxxdxxx 所以 18 1 3 2 3 1 6 1 cov YEXEXYEYX 2 1 9 2 18 1 18 1 varvar cov YX YX YX 七 七 本题满分 本题满分 9 分 分 某餐厅每天接待某餐厅每天接待位顾客 假设每位顾客的消费额 单位 元 服从区间位顾客 假设每位顾客的消费额 单位 元 服从区间上的均匀分上的均匀分400 100 20 布 并且每位顾客的消费额是相互独立的 试求 布 并且每位顾客的消费额是相互独立的 试求 该餐厅每天的平均营业额 该餐厅每天的平均营业额 3 分 分 用中心极限用中心极限 定理计算 该餐厅每天的营业额在其平均营业额的定理计算 该餐厅每天的营业额在其平均营业额的元之间的概率 元之间的概率 6 分 分 附 标准正态分布的分 附 标准正态分布的分760 布函数布函数的某些取值 的某些取值 x x55 1 60 1 65 1 70 1 x 9394 0 9452 0 9505 0 9554 0 解 解 设表示第 位顾客的消费额 则有 i Xi 400 2 1 i 相互独立 40021 XXX 100 20 UXi 400 2 1 i 所以 60 i XE 3 1600 12 80 var 2 i X 再设表示餐厅每天的营业额 则 X 400 1i i XX 所以 元 2400060400 400 1 400 1 i i i i XEXEXE 由独立同分布场合下的中心极限定理 有 2013 2014 学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷 A 卷 答案 Page 6 of 9 第 6 页 共 9 页 3 1600 400 760 3 1600 400 24000 3 1600 400 760 76024000760 X PXP 901 0 19505 0 21645 1 2 3 1600 400 760 3 1600 400 760 八 八 本题满分 本题满分 8 分 分 设总体设总体服从参数为服从参数为的几何分布 其分布律为的几何分布 其分布律为Xp 1 k pqkXP 3 2 1 k 其中其中是未知参数 是未知参数 是取自该总体中的一个样本 试求参数是取自该总体中的一个样本 试求参数10 ppq 1 n XXX 21 的极大似然估计量 的极大似然估计量 p 解 解 似然函数为 nnnn xXPxXPxXPxXxXxXPpL 22112211 nx n xxx n k kn pppppppp 1 21 1111 111 所以 pnxpnpL n k k 1lnlnln 1 所以 解方程 得 因此的极大似然估计量 0 1 ln 1 p nx p n pL dp d n k k x p 1 p 为 1 p 九 九 本题满分 本题满分 8 分 分 设总体设总体存在二阶矩 记存在二阶矩 记 是从该总体中抽取的是从该总体中抽取的X XE 2 var X n XXX 21 一个样本 一个样本 是其样本均值 求是其样本均值 求 4 分 及分 及 4 分 分 X XE XD 解 解 n nn XE n X n EXE n i n i i n i i 1111 111 2013 2014 学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷 A 卷 答案 Page 7 of 9 第 7 页 共 9 页 n n nn X n X n X n i n i i n i i 2 2 2 1 2 2 1 2 1 11 var 11 varvar 十 十 本题满分 本题满分 9 分 分 两台相同型号的自动记录仪 每台无故障工作的时间分别为两台相同型号的自动记录仪 每台无故障工作的时间分别为和和 假设 假设与与相互独立 都服从相互独立 都服从XYXY 参数为参数为的指数分布 其密度函数为的指数分布 其密度函数为5 00 05 5 x xe xf x X 现首先开动其中一台 当其损坏停用时另一台自动开动 直至第二台记录仪损坏为止 令 现首先开动其中一台 当其损坏停用时另一台自动开动 直至第二台记录仪损坏为止 令 从开始 从开始T 到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间 试求随机变量到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间 试求随机变量的概率密度函数 的概率密度函数 T 解 解 的密度函数为 X 00 05 5 x xe xf x X 的密度函数为Y 00 05 5 y ye yf y Y 由题意 知 设的密度函数为 则YXT T tfT 0 5 5dxxtfedxxtfxftf Y x YXT 作变换 则 xtu dxdu 当时 当时 代入上式 得 0 xtu x u t Y ut t Y ut T duufeeduufetf 555 55 当时 由 知 0 t 0 yfY 0 tfT 当时 0 t t t uut T tedueeetf 5555 2555 综上所述 可知随机变量的密度函数为 T 00 025 5 t tte tf t T 十一 十一 本题满分 本题满分 9 分 分 2013 2014 学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷 A 卷 答案 Page 8 of 9 第 8 页 共 9 页 设总体设总体服从指数分布 其概率密度函数为服从指数分布 其概率密度函数为 是取自是取自X 00 0 1 x xe xf x n XXX 21 该总体中的一个样本 该总体中的一个样本 求出统计量求出统计量的密度函数的密度函数 并指出该分布是什么分布 并指出该分布是什么分布 i ni XX 1 1 min xf 1 求常数求常数 使得 使得为为的无偏估计 的无偏估计 a i ni XaT 1 min 解 解 由于总体的密度函数为 因此其分布函数为X 00 0 1 x xe xf x 01 00 xe x dttfxF x x 所以的密度函数为 i ni XX 1 1 min nxx n x n e n eenxfxFnxf 1 1 1 1 1 0 x 即随机变量服从参数为的指数分布 i ni XX 1 1 min n 由于随机变量服从参数为的指数分布 所以 i ni XX 1 1 min n n XEXE i ni 1 1 min 所以 若使 只需取即可 n aXaEXE i ni1 1 minna 即若取 即 则是未知参数的无偏估计量 na i ni XnT 1 minT 十二 十二 本题满分 本题满分 8 分 分 设随机变量设随机变量与与相互独立 而且都服从正态分布相互独立 而且都服从正态分布 令 令 XY 2 NaYXU bYXV 与与都是常数 都是