高一数学下册《直线与圆的位置关系》学案人教版

1 / 12高一数学下册直线与圆的位置关系学案人教版高一数学下册直线与圆的位置关系学案人教版直线与圆的位置关系是在学生掌握了直线与圆的方程表达形式的基础上，引导学生用解方程组的办法来学习该节内容。该方法在解决直线与圆的位置关系时，有时也不太方便(因为计算量大)，而初中平面几何中的几何法却显得简单而易掌握，所以在安排该节例题时，我特意进行了教学设计，让学生去感受、体会何种情况下用代数法，何种情况下用几何法解题更为简捷。本节课主要针对学习过的圆的标准方程，一般方程的运用，讨论直线和圆的位置关系。设计思想通过探究式教学方法(即以问题的发现、解决、应用为主线;以观察、分析、讨论为手段;以强化能力、创新、发展为目的;以教师“导” ，学生“动” ，围绕“疑”字做文章)在探究疑难问题中学习和创新，使课堂教学从过去的“传授知识”转变为“探究知识” ，从过去的“教师唱主角”变为“学生演大戏” ，充分发挥学生的主体作用，让学生在获取知识的同时，体验科学探究的过程，增强学生学习的兴趣。 直线与圆的位置关系在初中平面几何里学生已经学过从几何图形角度去判断的，即看圆心到直线的距2 / 12离与圆半径大小比较，而高中解析几何中安排这一内容，还可以从代数中方程的观点去破解，即看直线方程与圆方程所联立方程组解的个数，来确定直线和圆的位置关系。该节内容充分体现了数学中“数形结合”这一重要思想。我本着新课程理念，以人为本，关注人的全面而有个性的发展，在本节内容设计的，创设情境环节，我在黑板上写了一个成语， “旭日东升” ，激发学生头脑中浮现着一个生动的画面晴朗的早晨，一轮红日从东方的地平线下冉冉升起，又通过我的演示，使学生从想象和视觉两个角度去感受直线和圆的位置关系的动态变化。激发学生的兴趣，陶冶学生的情操。接着，让学生回忆初中平面几何中直线与圆的位置关系及判定方法，并告诉学生这些都是从“形”的观点来研究的。提醒学生能否从“数”的观点来研究?什么样的一门数学学科解决了把“形”的问题转化为“数”的问题来解决?让学生体会并感受到运用平面解析几何中联立方程组等知识可以解决这一问题，其具体指导思想为：引入平面直角坐标系，把点用坐标来表示，曲线(直线)用方程来表示，从而把“形”的问题转化为“数”的问题来解决，体现数形结合这一个重要的数学思想和方法。平面直角坐标系中，直线用二元一次方程 Ax+By+c=0来表示，圆用特殊的二元二次方程或来表示，自然而然地3 / 12想到类比于处理两条直线位置关系的方法(即联立方程组)，根据方程组解的个数来判断直线与圆的关系。教学目标1.知识目标：掌握通过联立方程组解的个数讨论来研究直线与圆的位置关系;掌握利用圆心到直线的距离与半径大小关系来判断直线与圆的位置关系;能够熟练运用几何法，代数法判断直线与圆的位置关系，并理解待定系数法解题的思路。2.能力目标：学生通过经历观察，分析，总结，实践等数学活动，理解并能用几何法，代数法判断直线与圆相交，相切，相离。应用待定系数法解决直线与圆的位置关系，培养学生的分析问题和解决问题的能力。运用数形结合、分类讨论、类比等数学思想和方法的能力。3.过程目标：学生通过学习直线与圆的位置关系，体会数形结合的数学思想，培养学生观察，分析问题的能力。通过问题的引入，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生积极参与学习，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，树立学习数学的自信心。4.情感目标：让学生从运动的角度观察直线与圆相交，相切，相离的关系，关注知识的生成，发展与变化的过程，主动探索，勇于发现，从而领悟世界上的一切物体4 / 12都是运动变化的辩证唯物主义观点。增强学生对数学美的认识和追求;增强学生互助合作的能力，深刻认识“生存与共存”的关系。教学重点与难点教学重点：判断直线与圆的位置关系。教学难点：运用几何法，代数法判断直线与圆的位置关系的理论依据及法则的得出。教学方法和学法指导1.教学方法：引导探究法、讲练结合。2.学法指导：通过对平面几何相关问题的观察，分析，总结，借助数形结合思想解决问题。教学手段：教学多媒体电脑、教学光盘、圆规、直尺、圆纸板教学程序设计：媒体演示，引入生境老师在黑板上写上“旭日东升”的成语，让一学生解释该成语的意思，老师叙述情景：晴朗的早晨，一轮红日从东方地平线上升起，那么在太阳升起的过程中，太阳与地平线的相对位置关系是动态变化着的。(媒体动画演示)：如果把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，那么太阳升起的画面，就展现了平面内一个圆与一条直线的相对位置关系的变化过程!5 / 12这节课，我们就来一起探讨同一平面内直线和圆的位置关系。(板书：直线与圆的位置关系)复习回顾师：我们学过了直线和圆的方程，请问：(学生回答)问题一：直线的一般方程是什么?学生 1：Ax+By+c=0圆的标准方程是什么?学生 2：圆的一般方程是什么?学生 3：问题二：平面几何中，我们是如何判断直线和圆的位置关系?(学生作答，媒体展示图形。)问题三：平面几何中解决直线与圆的位置关系方法是从图形本身出发，即从“形”的角度来研究的，那么我们能否从数的观点来研究呢?学生讨论：发现平面解析几何这门数学学科能解决这一问题。平面直角坐标系中直线用二元一次方程Ax+By+c=0 来表示，圆用二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)来表示。问题四：从方程观点如何刻画直线和圆的关系?学生讨论：联立方程组从解的个数去判断(类比于处理两条直线位置关系)。师：我们在初中平面几何中学过的直线和圆有几种位置关系，那麽直线和圆有几种位置关系呢?生：直线与圆的位置关系有三种：相离，相切，相6 / 12交。师：在平面几何中这些位置关系用数量特征如何表示出来的?(学生独立把三种位置关系画出来)师：直线与圆的位置关系如何判断?生：直线与圆的位置关系的数量特征：直线与圆相离 dr直线与圆相交 d=r直线与圆相切 d探索发现，尝试解决(媒体展示)观察发现。师：在平面几何中判断直线与圆的位置关系的关键是比较 d 与 r 的大小关系，即把直线和圆的位置关系转化为圆心到直线的距离和圆的半径大小的比较，在初中因为已知线段的长度，我们经常通过勾股定理计算 d，现在没有线段的长，已知直线和圆的方程由该如何比较呢?生：d 是圆心到直线的距离，可以用点到直线的距离。师：那点到直线的距离公式是?生：d=师：用点到直线的距离公式的关键是?生：找对圆心的坐标。师：圆的那个方程容易找到圆心的坐标?生：圆的标准方程。7 / 12师：这种利用圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断直线与圆的位置关系的方法叫做几何法。知识应用典例剖析例 1：判断直线 x-y+2=0 与圆(x-2)2+(y-2)2=1 的位置关系。解法 1：(几何法)圆心 c(2,2)到直线 x-y+2=0 的距离为故直线与圆相离。例 2：判断直线 x+y+1=0 与圆 x2+y2-2y-3=0 的位置关系。分析：如果题目已知圆的标准方程，可以很方便的利用几何法判断直线与圆的位置关系。若已知圆的一般方程，先将圆的一般方程变化成标准方程，再利用几何法判断直线与圆的位置关系。解法 1：圆的标准方程为：x2+(y-1)2=22故圆心(0，1)到 x+y+1=0 的距离为故直线与圆相交。师：在平面几何中直线与圆的位置关系是如何定义的?生：(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆8 / 12相切.(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.师：观察一下几何图形，从代数的角度考虑看看有没有新的发现?生：直线与圆的交点个数不同呀!师：很棒!已知直线和圆的方程，直线与圆的交点个数如何转化为代数形式，和方程如何联系起来呢?把几何形式的问题转化为代数形式是解析几何的解题思想，即就是把曲线有无交点转化为方程有无实根的问题，把曲线的交点个数转化为方程组的根的个数的问题，一般通过联立方程研究一元二次方程根的问题。师：如何运用数学语言描述一元二次方程的根?生：常用判别式研究一元二次方程根的个数。师：非常好!我们可以从代数的角度利用一元二次方程的判别式判断直线与圆的位置关系，这种方法叫做代数法。知识应用典例剖析例 1：判断直线 x-y+2=0 与圆(x-2)2+(y-2)2=1 的位置关系。分析：用几何法判断关键是找对圆心，利用点到直线距离公式，求解此题也可用代数法9 / 12来解决。解法 2：(代数法)联立得 2x2-4x+3=0由=(-4)2-423=-80故直线与圆相离。总结：消去变量 y 得关于 x 的一元二次方程,根据判别式，判断一元二次方程根的情况，从而得出结论。例 2：判断直线 x+y+1=0 与圆 x2+y2-2y-3=0 的位置关系。分析：从直线与圆的交点个数来考查，利用代数法求解。将圆的一般方程化为标准方程用几何法求解。解法 1：联立得 y2-1=0由=02-4(-1)=40故直线与圆相交。反思总结圆的相关问题可以从几何图形去考虑，并归结为圆心及半径的问题，进行相关计算求解，比较 d与 r 的大小，即几何法。也可联立方程，利用方程组解决，消去一个变量将方程组化为一个一元二次方程，再利用一元二次方程的判别式判断直线与圆的位置关系，直线与圆相离方程没有实数解0，直线与圆相切方程有一个实数解=0，直线与圆相交方程有两个实数解0，即代10 / 12数法。请同学们独立完成以下小结。小结直线与圆的位置关系几何法：直线：Ax+By+c=0圆：d=直线与圆相离 dr直线与圆相交 d=r直线与圆相切 d代数法：直线：Ax+By+c=0圆：联立：削去 y，得 ax2+bx+c=0且判别式=b2-4ac直线与圆相离方程没有实数解0直线与圆相切方程有一个实数解=0直线与圆相交方程有两个实数解0例 3：已知圆的方程是 x2+y2=2，当 b 为何值时，直线 y=-x+b 与圆有两个交点;有一个交点;没有交点?分析：直线与圆的位置关系问题，可利用二次方程根的判别式的知识，采用待定系数法来确定圆的切线方程，此方法还可以扩展到求其他圆锥曲线的切线及相交问题。11 / 12解法 1：联立得 2x2-2bx+b2-2=0=(-2b)2-42(b2-2)=-4b2+16当0，即-2当=0，即 b=2 或-2 时，直线与圆相切，直线与圆有一个交点。当2 时，直线与圆相离，直线与圆没有交点。解法 2：圆心 c(0,0)到 x+y-b=0 的距离为：当 d当 d=r，即 b=2 或-2 时，直线与圆相切，直线与圆有一个交点。当 d2 时，直线与圆相离，直线与圆没有交点。练习判断以下直线与圆的位置关系。+5=0 与(x-2)2+(y-2)2=1=-2x 与 x2+y2-4x-