【高三总复习】8-7 圆锥曲线的综合问题(理)(人教B版) 含解析

8 7 圆锥曲线的综合问题 理 基础巩固强化 1 2012 潍坊教学质量监测 椭圆 1 的离心率为 e 点 x2 4 y2 3 1 e 是圆 x2 y2 4x 4y 4 0 的一条弦的中点 则此弦所在直线 的方程是 A 3x 2y 4 0 B 4x 6y 7 0 C 3x 2y 2 0 D 4x 6y 1 0 答案 B 解析 依题意得 e 圆心坐标为 2 2 圆心 2 2 与点 1 的 1 2 1 2 连线的斜率为 则所求直线的斜率等于 所以所求直线方 2 1 2 2 1 3 2 2 3 程是 y x 1 即 4x 6y 7 0 选 B 1 2 2 3 2 2012 大连部分中学联考 已知抛物线 y2 2px p 0 过其焦 点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A B 两点 若线段 AB 的中点的纵 坐标为 2 则该抛物线的标准方程为 A x 1 B x 1 C x 2 D x 2 答案 B 解析 令 A x1 y1 B x2 y2 因为抛物线的焦点 F 0 所以 p 2 过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y x 即 x y 将其代入 p 2 p 2 y2 2px 2p y 2py p2 所以 y2 2py p2 0 所以 p 2 p 2 所以抛物线的方程为 y2 4x 准线方程为 x 1 故 y1 y2 2 选 B 3 2011 长安一中 高新一中 交大附中 师大附中 西安中 学一模 已知双曲线 x2 1 的左顶点为 A1 右焦点为 F2 P 为双 y2 3 曲线右支上一点 则 的最小值为 PA1 PF2 A 2 B 81 16 C 1 D 0 答案 A 解析 由已知得 A1 1 0 F2 2 0 设 P x y x 1 则 PA1 1 x y 2 x y 4x2 x 5 令 f x 4x2 x 5 则 PF2 f x 在 x 1 上单调递增 所以当 x 1 时 函数 f x 取最小值 即 PA1 取最小值 最小值为 2 PF2 4 2011 大纲全国理 10 已知抛物线 C y2 4x 的焦点为 F 直线 y 2x 4 与 C 交于 A B 两点 则 cos AFB A B 4 5 3 5 C D 3 5 4 5 答案 D 解析 方法一 联立Error Error 解得Error Error 或Error Error 不妨设 A 在 x 轴上方 A 4 4 B 1 2 F 点坐标为 1 0 3 4 0 2 FA FB cos AFB FA FB FA FB 8 5 2 4 5 方法二 同上求得 A 4 4 B 1 2 AB 3 AF 5 BF 2 5 由余弦定理知 cos AFB AF 2 BF 2 AB 2 2 AF BF 4 5 5 设 F 是抛物线 C1 y2 2px p 0 的焦点 点 A 是抛物线 C1 与双曲线 C2 1 a 0 b 0 的一条渐近线的一个公共点 且 x2 a2 y2 b2 AF x 轴 则双曲线的离心率为 A 2 B 3 C D 5 25 答案 D 解析 由题意可知 抛物线 C1的焦点为 F 0 因为 AF x 轴 p 2 则 A p 不妨取 A p 则双曲线 C2的渐近线的斜率为 p 2 p 2 2 p p 2 b a b a 4 e2 5 e c2 a2 a25 6 2011 海南一模 若 AB 是过椭圆 1 a b 0 中心的一 x2 a2 y2 b2 条弦 M 是椭圆上任意一点 且 AM BM 与两坐标轴均不平行 kAM kBM分别表示直线 AM BM 的斜率 则 kAM kBM A B c2 a2 b2 a2 C D c2 b2 a2 b2 答案 B 解析 解法一 直接法 设 A x1 y1 M x0 y0 则 B x1 y1 kAM kBM y0 y1 x0 x1 y0 y1 x0 x1 y2 0 y2 1 x2 0 x2 1 b2 a2x2 0 b2 b2 a2x2 1 b2 x2 0 x2 1 b2 a2 解法二 特殊值法 因为四个选项为确定值 取 A a 0 B a 0 M 0 b 可得 kAM kBM b2 a2 7 2012 安徽文 14 过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛 物线于 A B 两点 若 AF 3 则 BF 答案 3 2 解析 本题考查抛物线定义 直线与抛物线的位置关系 解法 1 设 A x1 y1 B x2 y2 由 AF 3 及抛物线定义可知 x1 1 3 x1 2 A 2 2 则直线 AF 斜率为 k 2 2 2 2 0 2 12 所以 AB 方程为 y 2 x 1 2 由Error Error 联立消去 y 得 2x2 5x 2 0 解之得 x1 2 x2 B 1 2 1 22 所以 BF x2 1 1 1 2 3 2 解法 2 如图 l 为抛物线的准线 AA1 l 于 A1 BB1 l 于 B1 BM AA1于 M 交 FO 于 N 则由 BFN BAM 得 BF BF BF 3 2 BF 3 BF 3 2 8 设直线 l y 2x 2 若 l 与椭圆 x2 1 的交点为 y2 4 A B 点 P 为椭圆上的动点 则使 PAB 的面积为 1 的点 P 的 2 个数为 答案 3 解析 设与 l 平行且与椭圆相切的直线方程为 y 2x b 代入 x2 1 中消去 y 得 8x2 4bx b2 4 0 y2 4 由 16b2 32 b2 4 0 得 b 2 2 显见 y 2x 2 与两轴交点为椭圆的两顶点 A 1 0 B 0 2 直线 y 2x 2与 l 距离 d 2 2 2 2 5 欲使 S ABP AB h h 1 须使 h d h 1 2 5 22 2 2 2 5 直线 y 2x 2与椭圆切点 及 y 2x 4 2与椭圆交点均满足 22 这样的点 P 有 3 个 9 已知 F 是椭圆 1 a 0 b 0 的左焦点 若椭圆上存 x2 a2 y2 b2 在点 P 使得直线 PF 与圆 x2 y2 b2相切 当直线 PF 的倾斜角为 时 此椭圆的离心率是 2 3 答案 2 7 7 解析 解法 1 设直线 PF 与圆 x2 y2 b2的切点为 M 则依题 意得 OM MF 直线 PF 的倾斜角为 2 3 OFP sin 椭圆的离心率 e 3 3 b c 3 2 c a c c2 b2 1 1 b c 2 1 1 3 2 2 2 7 7 解法 2 依题意可知 PF y x c c 3a2 b2 又 O 到 PF 的距离为 b 即 b b2 a2 c2 3c 2 3c2 4 4a2 7c2 e c a 2 7 7 10 2012 昆明一中测试 过抛物线 C x2 2py p 0 的焦点 F 作 直线 l 与抛物线 C 交于 A B 两点 当点 A 的纵坐标为 1 时 AF 2 1 求抛物线 C 的方程 2 若直线 l 的斜率为 2 问抛物线 C 上是否存在一点 M 使得 MA MB 并说明理由 解析 1 由抛物线的定义得 AF 等于点 A 到准线 y 的距 p 2 离 1 2 p 2 p 2 抛物线 C 的方程为 x2 4y 2 抛物线 C 的焦点为 F 0 1 直线 l 的方程 y 2x 1 设点 A B M 的坐标分别为 x1 x2 x0 x2 1 4 x2 2 4 x2 0 4 由方程组Error Error 消去 y 得 x2 4 2x 1 即 x2 8x 4 0 由韦达定理得 x1 x2 8 x1x2 4 MA MB 0 MA MB x1 x0 x2 x0 0 x2 1 4 x2 0 4 x2 2 4 x2 0 4 x1 x0 x2 x0 x1 x0 x2 x0 x1 x0 x2 x0 0 1 16 M 不与 A B 重合 x1 x0 x2 x0 0 1 x1 x0 x2 x0 0 x1x2 x1 x2 x0 x 16 0 1 162 0 x 8x0 12 0 64 48 0 2 0 方程 x 8x0 12 0 有解 即抛物线 C 上存在一点 M 使得 2 0 MA MB 能力拓展提升 11 2011 新课标全国文 9 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点 且 与 C 的对称轴垂直 l 与 C 交于 A B 两点 AB 12 P 为 C 的准 线上一点 则 ABP 的面积为 A 18 B 24 C 36 D 48 答案 C 解析 设抛物线为 y2 2px 则焦点 F 准线 x 由 p 2 0 p 2 AB 2p 12 知 p 6 所以 F 到准线距离为 6 所以三角形面积为 S 12 6 36 1 2 12 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左右焦点分别为 x2 a2 y2 b2 F1 F2 P 为右支上一点 点 Q 满足 1 1 0 且 2a F1Q QP F1Q 2 0 则 OT 的值为 F2T TQ PT F2Q A 4a B 2a C a D a 2 答案 C 解析 由题知 Q F1 P 三点共线 F2 T Q 三点共 线 PF1 PF2 2a F1Q PQ PF2 又 PT QF2 T 为等腰三 角形 QPF2底边 QF2的中点 连接 OT 则 OT 为 F1QF2的中位线 所 以 OT a 13 2011 海南五校联考 已知抛物线 x2 4y 的焦点为 F 准线 与 y 轴的交点为 M N 为抛物线上的一点 且 NF MN 则 3 2 NMF 答案 30 解析 作 NH 垂直于准线于 H 由抛物线的定义得 NH NF sin HMN NH MN NF MN 3 2 得 HMN 60 NMF 90 60 30 14 2012 山东苍山县期末 已知圆 C x2 y2 6x 4y 8 0 以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点 则适合 上述条件的双曲线的标准方程为 答案 1 x2 4 y2 12 解析 在 C 方程中 令 x 0 得 y2 4y 8 0 无解 令 y 0 得 x2 6x 8 0 x 2 或 4 故双曲线方程中 a 2 c 4 b2 c2 a2 12 双曲线的标准方程为 1 x2 4 y2 12 15 2011 安徽模拟 点 A B 分别为椭圆 1 长轴的左 x2 36 y2 20 右端点 点 F 是椭圆的右焦点 点 P 在椭圆上 且位于 x 轴上方 PA PF 1 求点 P 的坐标 2 设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点 M 到直线 AP 的距离等于 MB 求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值 解析 1 由已知可得点 A 6 0 F 4 0 设点 P 的坐标是 x y 则 x 6 y x 4 y AP FP 由已知得Error Error 消去 y 得 2x2 9x 18 0 x 或 x 6 3 2 由于 y 0 只能 x 于是 y 3 2 5 3 2 所以点 P 的坐标是 3 2 5 3 2 2 直线 AP 的方程是 x y 6 0 3 设点 M 的坐标是 m 0 则 M 到直线 AP 的距离是 于是 m 6 m 6 2 m 6 2 又 6 m 6 解得 m 2 椭圆上的点 x y 到点 M 的距离是 d d2 x 2 2 y2 x2 4x 4 20 x2 5 9 x 2 15 4 9 9 2 由于 6 x 6 所以当 x 时 d 取最小值 9 215 16 2012 吉林省实验中学模拟 如图所示 在 DEM 中 ED 0 8 N 在 y 轴上 且 点 E 在 x EM OD DN 1 2 DE DM 轴上移动 1 求点 M 的轨迹方程 2 过点 F 0 1 作互相垂直的两条直线 l1 l2 l1与点 M 的轨迹交 于点 A B l2与点 M 的轨迹交于点 C Q 求 的最小值 AC QB 解析 1 设 M x y E a 0 由条件知 D 0 8 N 在 y 轴上且 N 为 EM 的中点 x a a 8 x a y a x a ED EM ED EM 8y 2x2 8y 0 x2 4y x 0 点 M 的轨迹方程为 x2 4y x 0 2 设 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 Q x4 y4 直线 l1 y kx 1 k 0 则直线 l2 y x 1 1 k 由Error Error 消去 y 得 x2 4kx 4 0 x1 x2 4k x1x2 4 由Error Error 消去 y 得 x2 x 4 0 4 k x3 x4 x3x4 4 4 k A B 在直线 l1上 y1 kx1 1 y2 kx2 1 C Q 在直线 l2上 y3 x3 1 y4 x4 1 1 k 1 k x3 x1 y3 y1 x2 x4 y2 y4 AC QB x3 x1 x2 x4 y3 y1 y2 y4 x3 x1 x2 x4 x3 kx1 kx2 x4 1 k 1 k x3x2 x1x2 x3x4 x1x4 x2x3 k2x1x2 x3x4 x1x4 1 k2 1 k2 x1x2 1 x3x4 4 1 k2 4 1 8 4 k2 1 k2 1 k2 16 等号在 k2 时取得 1 k2 1 k2 即 k 1 时成立 的最小值为 16 AC QB 1 2011 辽宁沈阳二中检测 已知曲线 C y 2x2 点 A 0 2 及点 B 3 a 从点 A 观察点 B 要使视线不被曲线 C 挡住 则实 数 a 的取值范围是 A 4 B 4 C 10 D 10 答案 D 解析 过点 A 0 2 作曲线 C y 2x2的切线 设方程为 y kx 2 代入 y 2x2得 2x2 kx 2 0 令 k2 16 0 得 k 4 当 k 4 时 切线为 l B 点在直线 x 3 上运动 直线 y 4x 2 与 x 3 的交点为 M 3 10 当点 B 3 a 满足 a 10 时 视线不被曲线 C 挡住 故选 D 2 2011 海南五校联考 如图 正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A D 为双曲线的两个焦点 其余 4 个顶点都在双曲线上 则该双曲 线的离心率是 A 1 B 1 33 C D 32 答案 A 解析 设正六边形的边长为 1 则 AE ED 1 3 AD 2 2a AE ED 1 2c AD 2 3 e 1 2c 2a 2 3 13 3 已知椭圆 1 a b 0 双曲线 1 和抛物线 x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 y2 2px p 0 的离心率分别为 e1 e2 e3 则 A e1e2 e3 B e1e2 e3 C e1e2b 0 0 4 1 e1e20 则将 x x2 b2 4 y2 b2 y 4 代入椭圆方程得 3 4 b2 1 y2 8b2y b4 12b2 0 3 椭圆与直线 x y 4 0 有且仅有一个公共点 3 8b2 2 4 4 b2 1 b4 12b2 0 3 即 b2 4 b2 3 0 b2 3 长轴长为 2 2 故选 C b2 47 5 已知双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点为 F 若过点 x2 a2 y2 b2 F 且倾斜角为