分类加法计数原理与分步乘法计数原理.ppt

1 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号 总共能够编出多少种不同的号码 先找找感觉 一 课前热身训练 26 10 36 从甲地到乙地 可以乘火车 也可以乘汽车 还可以乘轮船 一天中 火车有4班 汽车有2班 轮船有3班 那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法 分析 从甲地到乙地有3类方法 第一类方法 乘火车 有4种方法 第二类方法 乘汽车 有2种方法 第三类方法 乘轮船 有3种方法 所以从甲地到乙地共有4 2 3 9种方法 先找找感觉 一 课前热身训练 分类计数原理 完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法 思考 用前6个大写英文字母和1 9九个阿拉伯数字 以A1 A2 B1 B2 的方式给教室里的座位编号 总共能编出多少个不同的号码 字母数字得到的号码A 123456789 A1A2A3A4A5A6A7A8A9 树形图 由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码 而且它们各个不同 因此共有6 9 54个不同的号码 汽车有2班 那么两天中 从甲地到乙地共有多少种不同的走法 所有走法 如何计算所有不同走法的种数 乘火车有3种走法 乘汽车有2种走法 乘一次火车再换乘一次汽车从甲地到乙地 共有3 2 6种不同的走法 从甲地到乙地 要从甲地先乘火车到丙地 再于次日从丙地乘汽车到乙地 从一天中 火车有3班 分步计数原理 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法 分步计数原理和分类计数原理的共同点 分类计数原理又称作加法原理 分步计数原理又称作乘法原理 计算做一件事情完成它的所有不同方法种数的问题 完成一件事 共有n类办法 关键词 分类 区别1 完成一件事 共分n个步骤 关键词 分步 区别2 区别3 每类办法都能独立地完成这件事情 它是独立的 一次的 且每次得到的是最后结果 只须一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果 任何一步都不能独立完成这件事 缺少任何一步也不能完成这件事 只有各个步骤都完成了 才能完成这件事 各类办法是互斥的 并列的 独立的 各步之间是关联的 独立的 关联 确保不遗漏 独立 确保不重复 即 类类互斥 步步独立 例 书架的第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育书 1 从书架上任取1本书 有多少种不同的取法 2 从书架的第1 2 3层各取1本书 有多少种不同的取法 解 1 从书架上任取一本书 有三类办法 第1类办法是 从第1层取1本计算机书 有4种方法 第2类办法是 从第2层取1本文艺书 有3种方法 第3类办法是 从第3层取1本体育书 有2种方法 根据分类计数原理 不同取法的种数是 答 从书架上任取1本书 有9种不同的取法 例1书架的第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育书 2 从书架的第1 2 3层各取1本书 有多少种不同的取法 解 2 从书架的1 2 3层各取1本书 可以分3步来完成 第1步 从第1层取1本计算机书 有4种方法 第2步 从第2层取1本文艺书 有3种方法 第3步 从第3层取1本体育书 有2种方法 根据分步计数原理 从书架的1 2 3层各取1本书 不同取法的种数是 答 从书架的1 2 3层各取1本书 有24种不同的取法 例 要从甲 乙 丙3幅不同的画中选出2幅 分别挂在左 右两边墙上的指定位置 问共有多少种不同的挂法 例 某县的部分电话号码是057764 后面每个数字来自0 9这10个数 问可以产生多少个不同的电话号码 变式 若要求最后6个数字不重复 则又有多少种不同的电话号码 057764 151200 10 10 106 分析 分析 10 9 8 例 一个三位密码锁 各位上数字由0 1 2 3 4 5 6 7 8 9十个数字组成 可以设置多少种三位数的密码 各位上的数字允许重复 首位数字不为0的密码数是多少 首位数字是0的密码数又是多少 分析 按密码位数 从左到右依次设置第一位 第二位 第三位 需分为三步完成 第一步 m1 10 第二步 m2 10 第三步 m2 10 根据乘法原理 共可以设置N 10 10 10 103种三位数的密码 答 首位数字不为0的密码数是N 9 10 10 9 102种 首位数字是0的密码数是N 1 10 10 102种 由此可以看出 首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数 点评 分类原理中的 分类 要全面 不能遗漏 但也不能重复 交叉 类 与 类之间是并列的 互斥的 独立的 也就是说 完成一件事情 每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法 若完成某件事情有n类办法 即它们两两的交为空集 n类的并为全集 分步原理中的 分步 程序要正确 步 与 步 之间是连续的 不间断的 缺一不可 但也不能重复 交叉 若完成某件事情需n步 则必须且只需依次完成这n个步骤后 这件事情才算完成 在运用 分类原理 分步原理 处理具体应用题时 除要弄清是 分类 还是 分步 外 还要搞清楚 分类 或 分步 的具体标准 在 分类 或 分步 过程中 标准必须一致 才能保证不重复 不遗漏 1 如图 要给地图A B C D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 课堂练习 解 按地图A B C D四个区域依次分四步完成 第一步 m1 3种 第二步 m2 2种 第三步 m3 1种 第四步 m4 1种 所以根据乘法原理 得到不同的涂色方案种数共有N 3 2 1 1 6种 1 如图 要给地图A B C D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 若用2色 4色 5色等 结果又怎样呢 答 它们的涂色方案种数分别是0 4 3 2 2 48 5 4 3 3 180种等 思考 2 如图 该电路 从A到B共有多少条不同的线路可通电 A B 解 从总体上看由A到B的通电线路可分三类 第一类 m1 3条第二类 m2 1条第三类 m3 2 2 4 条所以 根据分类原理 从A到B共有N 3 1 4 8条不同的线路可通电 在解题有时既要分类又要分步 解 从总体上看 如 蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法 从局部上看每类又需两步完成 所以 第一类 m1 1 2 2条第二类 m2 1 2 2条第三类 m3 1 2 2条所以 根据加法原理 从顶点A到顶点C1最近路线共有N 2 2 2 6条 3 一蚂蚁沿着长方体的棱 从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条 4 如图 从甲地到乙地有2条路可通 从乙地到丙地有3条路可通 从甲地到丁地有4条路可通 从丁地到丙地有2条路可通 从甲地到丙地共有多少种不同的走法 甲地 乙地 丙地 丁地 解 从总体上看 由甲到丙有两类不同的走法 第一类 由甲经乙去丙 又需分两步 所以m1 2 3 6种不同的走法 第二类 由甲经丁去丙 也需分两步 所以m2 4 2 8种不同的走法 所以从甲地到丙地共有N 6 8 14种不同的走法 请同学们回答下面的问题 1 本节课学习了那些主要内容 答 分类原理和分步原理 2 加法原理和乘法原理的共同点是什么 不同点什么 答 共同点是 它们都是研究完成一件事情 共有多少种不同的方法 不同点是 它们研究完成一件事情的方式不同 分类原理是 分类完成 即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事 分步原理是 分步完成 即这些方法需要分步 各个步骤顺次相依 且每一步都完成了 才能完成这件事情 小结 例 给程序模块命名 需要用3个字符 其中首个字符要求用字母A G或U Z 后两个要求用数字1 9 问最多可以给多少个程序命名 例 核糖核酸 RNA 分子是在生物细胞中发现的化学成分 一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链 长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据 总共有 个不同的碱基 分别用A C G U表示 在一个RNA分子中 各种碱基能够以任意次序出现 所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关 假设有一类RNA分子由100个碱基组成 那么能有多少种不同的RNA分子 例 电子元件很容易实现电路的通与断 电位的高与底等两种状态 而这也是最容易控制的两种状态 因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法 即二进制 为了使计算机能够识别字符 需要对字符进行编码 每个字符可以用一个或多个字节来表示 其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位 每个字节由 个二进制位构成 问 1 一个字节 8位 最多可以表示多少个不同的字符 2 计算机汉字国标码 GB码 包含了6763个汉字 一个汉字为一个字符 要对这些汉字进行编码 每个汉字至少要用多少个字节表示 例 计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试 程序员需要知道到底有多少条执行路径 即程序从开始到结束的路线 以便知道需要提供多少个测试数据 一般的 一个程序模块又许多子模块组成 它的一个具有许多执行路径的程序模块 问